Відмінності між версіями «Інтеграли Френеля та інтеграл ймовірностей»

Матеріал з Вікі ЦДУ
Перейти до: навігація, пошук
(→‎Інтеровні інтеграли додаткової функції помилок)
 
(не показані 2 проміжні версії цього учасника)
Рядок 1: Рядок 1:
 
[[Файл:250px-Fresnel Integrals (Unnormalised).svg.png|250px|thumb|
 
[[Файл:250px-Fresnel Integrals (Unnormalised).svg.png|250px|thumb|
−
<font color=#b30000>''S''(''x'')</font> и <font color=#00b300>''C''(''x'')</font>. Максимальное значение для ''C''(''x'') примерно равно 0.977451424. Если использовать <math>\pi t^2</math> вместо <math>t^2</math>, то график изменит вертикальный и горизонтальный масштаб (см. ниже).]]
+
<font color=#b30000>''S''(''x'')</font> и <font color=#00b300>''C''(''x'')</font>.Максимальне значення для''C''(''x'') приблизно дорівнює 0.977451424. Якщо використовувати <math>\pi t^2</math> замість <math>t^2</math>, то графік змінить вертикальний и горизонтальний масштаб (см. ниже).]]
  
−
'''Интегралы Френеля''' ''S''(''x'') и ''C''(''x'') — это [[специальные функции]], названные в честь [[Френель, Огюстен Жан|Огюстена Жана Френеля]] и используемые в [[Оптика|оптике]]. Они возникают при расчёте [[Дифракция Френеля|дифракции Френеля]] и определяются как
+
'''Інтеграли Френеля''' ''S''(''x'') и ''C''(''x'') — це [[спеціальні функції]], названі на честь [[Френель, Огюстен Жан|Огюстена Жана Френеля]] і використовуються в [[Оптиці|оптиці]]. Вони виникають при розрахунку [[Дифракція Френеля|дифракції Френеля]] і визначаються як
  
 
: <math>S(x)=\int\limits_0^x \sin(t^2)\,dt,\quad C(x)=\int\limits_0^x \cos(t^2)\,dt.</math>
 
: <math>S(x)=\int\limits_0^x \sin(t^2)\,dt,\quad C(x)=\int\limits_0^x \cos(t^2)\,dt.</math>
  
−
Параметрический график ''S''(''x'') и ''C''(''x'') даёт кривую на плоскости, называемую '''спиралью Корню''' или '''клотоидой'''.
+
Параметричний графік ''S''(''x'') и ''C''(''x'') дає криву на площині, яка має назву '''спіраль Корню'''
  
−
== Разложение в ряд ==
+
== Розклад в ряд ==
−
[[Файл:Fresnel Integrals (Normalised).svg|250px|thumb|
+
[[Файл:250px-Fresnel Integrals (Normalised).svg.png|250px|thumb]]
−
Нормализованные интегралы Френеля, <font color=#b30000>''S''(''x'')</font> и <font color=#00b300>''C''(''x'')</font>. На этих кривых аргумент подынтегральных тригонометрических функций равен <math>\pi t^2 /2</math>, а не <math>t^2</math>, как на рисунке выше.]]
+
  
−
Интегралы Френеля могут быть представлены [[Ряд Тейлора|степенными рядами]], сходящимися при всех ''x'':
+
Інтеграли Френеля можуть бути представлені [[Ряд Тейлора|степеневими рядами]], збіжними при всіх ''x'':
  
 
: <math>S(x)=\int\limits_0^x \sin(t^2)\,dt=\sum_{n=0}^{\infin}(-1)^n\frac{x^{4n+3}}{(4n+3)(2n+1)!},</math>
 
: <math>S(x)=\int\limits_0^x \sin(t^2)\,dt=\sum_{n=0}^{\infin}(-1)^n\frac{x^{4n+3}}{(4n+3)(2n+1)!},</math>
 
: <math>C(x)=\int\limits_0^x \cos(t^2)\,dt=\sum_{n=0}^{\infin}(-1)^n\frac{x^{4n+1}}{(4n+1)(2n)!}.</math>
 
: <math>C(x)=\int\limits_0^x \cos(t^2)\,dt=\sum_{n=0}^{\infin}(-1)^n\frac{x^{4n+1}}{(4n+1)(2n)!}.</math>
  
−
Некоторые авторы<ref>Уравнения 7.3.1 — 7.3.2</ref> используют в качестве аргумента тригонометрических подынтегральных функций <math>\frac{\pi}{2}t^2</math>. Полученные функции получаются из определённых выше сжатием графика по оси ''Y'' в <math>\sqrt{\frac{2}{\pi}}</math> раз и растяжением вдоль оси ''X'' во столько же раз.
+
Рівняння 7.3.1 — 7.3.2</ref> використовують в якості аргумента тригонометричних підінтегральних функцій <math>\frac{\pi}{2}t^2</math>.
  
−
== Спираль Корню ==
+
== Спіраль Корню ==
 
[[Файл:480px-Cornu Spiral.svg.png|250px|thumb|
 
[[Файл:480px-Cornu Spiral.svg.png|250px|thumb|
−
Спираль Корню (''x'',''y'')=(''C''(''t''), ''S''(''t'')). Спираль стремится к центрам отверстий при <math>t \rightarrow +\infty</math>.]]
+
Спіраль Корню (''x'',''y'')=(''C''(''t''), ''S''(''t'')). Спіраль збігається до центрів отворів при <math>t \rightarrow +\infty</math>.]]
−
{{основная статья|Клотоида}}
+
−
'''Спираль Корню''', также известная как '''клотоида''', — это кривая, являющаяся параметрическим графиком ''S''(''t'') от ''C''(''t''). Спираль Корню была придумана [[Мари Альфред Корню|Мари Альфредом Корню]] для облегчения расчёта дифракции в прикладных задачах.
+
  
−
Так как
 
  
−
: <math>C\,'(t)^2 + S\,'(t)^2 = \sin^2(t^2) + \cos^2(t^2) = 1, </math>
 
  
−
то в такой параметризации [[касательный вектор]] имеет единичную длину, так что ''t'' является длиной кривой, измеряемой от точки (0,0). Следовательно, обе ветви спирали имеют бесконечную длину.
 
  
−
[[Кривизна кривой|Кривизна]] этой кривой в любой точке пропорциональна длине дуги, заключённой между этой точкой и началом координат. Благодаря этому свойству она применяется в строительстве дорог, так как угловое ускорение машины, движущейся по этой кривой с постоянной скоростью, будет изменяться линейно
 
  
−
== Свойства ==
+
=Функція помилок=
 +
'''функція помилок'''
 +
: <math>\operatorname{erf}\,x = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int\limits_0^x e^{-t^2}\,dt</math>.
  
−
* ''C''(''x'') и ''S''(''x'') — нечётные функции ''x''.
+
'''Додаткова функція помилок''':
  
−
* Используя разложение в ряд, можно построить [[аналитическое продолжение]] интегралов Френеля на всю комплексную плоскость. Комплексные интегралы Френеля выражаются через [[Функция ошибок|функцию ошибок]] как
+
: <math>\operatorname{erfc}\,x = 1-\operatorname{erf}\,x = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int\limits_x^{\infty} e^{-t^2}\,dt</math>.
  
−
:: <math>S(x)=\frac{\sqrt{\pi}}{4} \left( \sqrt{i}\,\mathrm{erf}(\sqrt{i}\,x) + \sqrt{-i}\,\mathrm{erf}(\sqrt{-i}\,x) \right)</math>
+
'''Комплексна функція помилок''':
−
:: <math>C(x)=\frac{\sqrt{\pi}}{4} \left( \sqrt{-i}\,\mathrm{erf}(\sqrt{i}\,x) + \sqrt{i}\,\mathrm{erf}(\sqrt{-i}\,x) \right)</math>.
+
  
−
* Интегралы Френеля не выражаются через [[элементарные функции]], кроме частных случаев. [[Предел (математика)|Предел]] этих функций при <math>x \rightarrow \infty</math> равен
+
: <math>w(x) = e^{-x^2}\operatorname{erfc}\,(-ix)</math>.
  
−
:: <math>\int\limits_{0}^{\infty} \cos t^2\,dt = \int\limits_{0}^{\infty} \sin t^2\,dt = \frac{\sqrt{2\pi}}{4} = \sqrt{\frac{\pi}{8}}.</math>
+
== Властивості ==
  
−
=== Вычисление ===
+
* :
−
[[Файл:Fresnel Integral Contour.svg|right|250px|thumb|Контур, используемый для вычисления предельного значения интегралов Френеля.]]
+
: <math>\operatorname{erf}\,(-x) = -\operatorname{erf}\,x.</math>
−
Пределы функций ''C'' и ''S'' при <math>x \rightarrow \infty</math> могут быть найдены с помощью контурного интегрирования. Для этого берётся контурный интеграл функции
+
  
−
: <math>e^{-\frac{1}{2}t^2}</math>
+
*
 +
: <math>\operatorname{erf}\,\bar{x} = \overline{\operatorname{erf}\,x} </math>
  
−
по границе сектора на комплексной плоскости, образованного осью абсцисс, лучом <math>y=x</math>, <math>x \geqslant 0</math> и окружностью радиуса ''R'' с центром в начале координат.
+
*
 +
: <math>\operatorname{erf}\,x= \frac{2}{\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^\infin\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{n! (2n+1)} =\frac{2}{\sqrt{\pi}} \left(x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{10}-\frac{x^7}{42}+\frac{x^9}{216}-\ \cdots\right)</math>
  
−
При <math>R \rightarrow \infty</math> интеграл по дуге стремится к 0, интеграл по вещественной оси стремится к значению [[Интеграл Пуассона|интеграла Пуассона]]
+
*
 +
: <math>\operatorname{erf}\,x= \frac{2}{\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^\infin\left(x \prod_{i=1}^n{\frac{-(2i-1) x^2}{i (2i+1)}}\right) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \sum_{n=0}^\infin \frac{x}{2n+1} \prod_{i=1}^n \frac{-x^2}{i}</math>
 +
поскольку <math>\frac{-(2i-1) x^2}{i (2i+1)}</math> — співмножник, перетворюючий <math>i</math>-й член ряда в <math>(i+1)</math>-й, рахуючи першим членом <math>x</math>.
  
−
: <math> \int\limits_{0}^{\infty} e^{-\frac{1}{2}t^2}dt =
 
−
\sqrt{\frac {\pi}{2}}, </math>
 
  
−
и, после некоторых преобразований, интеграл вдоль оставшегося луча может быть выражен через предельное значение интеграла Френеля.
 
  
−
== См. также ==
+
== Асимптотичний розклад ==
−
* [[Дифракция Френеля]]
+
  
−
== Примечания ==
+
При великих <math>x</math> полезно [[асимптотичний разклад]] для додаткової функції помилок:
−
* ''Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds.'' Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. — New York: Dover, 1972. ''[http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_297.htm (См. часть 7)]'' {{ref-en}}
+
: <math>\operatorname{erfc}\,x = \frac{e^{-x^2}}{x\sqrt{\pi}}\left [1+\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{(2x^2)^n}\right ]=\frac{e^{-x^2}}{x\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{(2n)!}{n!(2x)^{2n}}.\,</math>
−
{{примечания}}
+
  
−
== Внешние ссылки ==
+
== Функції ==
−
* {{MathWorld|title=Fresnel Integrals|urlname=FresnelIntegrals}} {{ref-en}}
+
−
* {{MathWorld|title=Cornu Spiral|urlname=CornuSpiral}} {{ref-en}}
+
−
* R. Nave, [http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/phyopt/cornu.html#c1 The Cornu spiral], ''Hyperphysics'' (2002) ''(Использует πt²/2 вместо t².)'' {{ref-en}}
+
−
* {{cite web
+
−
|url=http://fy.chalmers.se/LISEBERG/eng/loop_pe.html
+
−
|title=Roller Coaster Loop Shapes
+
−
|accessdate=2008-08-13}} {{ref-en}}
+
  
−
[[Категория:Физическая оптика]]
 
−
[[Категория:Специальные функции]]
 
  
−
[[en:Fresnel integral]]
+
 
 +
: <math>\operatorname{erf}\,x=
 +
\frac{2x}{\sqrt{\pi}}\,_1F_1\left(\frac{1}{2},\frac{3}{2},-x^2\right).</math>
 +
 
 +
 
 +
 
 +
: <math>\operatorname{erf}\,x=\operatorname{sign}\,x\,P\left(\frac{1}{2}, x^2\right)={\operatorname{sign}\,x \over \sqrt{\pi}}\gamma\left(\frac{1}{2}, x^2\right).</math>
 +
 
 +
=== Узагальнені функції помилок ===
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<math>E_n(x) = \frac{n!}{\sqrt{\pi}} \int\limits_0^x e^{-t^n}\,dt
 +
=\frac{n!}{\sqrt{\pi}}\sum_{p=0}^\infin(-1)^p\frac{x^{np+1}}{(np+1)p!}\,.</math>
 +
 
 +
 
 +
* <math>E_0(x)</math> — прямая линия, проходящая через начало координат: <math>E_0(x)=\frac{x}{e \sqrt{\pi}}</math>
 +
* <math>E_2(x)</math> — функция ошибок <math>\operatorname{erf}\,x</math>.
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<math>E_n(x) = \frac{x\left(x^n\right)^{-1/n}\Gamma(n)\left(\Gamma\left(\frac{1}{n}\right)-\Gamma\left(\frac{1}{n},x^n\right)\right)}{\sqrt\pi},
 +
\quad \quad
 +
x>0</math>
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<math>\operatorname{erf}\,x = 1 - \frac{\Gamma\left(\frac{1}{2},x^2\right)}{\sqrt\pi}</math>
 +
 
 +
=== Інтеровні інтеграли додаткової функції помилок ===
 +
 
 +
 
 +
<math>
 +
i^n\,\operatorname{erfc}\,z = \int\limits_z^\infty i^{n-1}\,\operatorname{erfc}\,\zeta\,d\zeta.\,
 +
</math>
 +
 
 +
 
 +
<math>
 +
i^n\,\operatorname{erfc}\,z
 +
=
 +
\sum_{j=0}^\infty \frac{(-z)^j}{2^{n-j}j!\,\Gamma \left( 1 + \frac{n-j}{2}\right)}\,,
 +
</math>
 +
 
 +
<math>
 +
i^{2m}\,\operatorname{erfc}\,(-z)
 +
= -i^{2m}\,\operatorname{erfc}\,z
 +
+ \sum_{q=0}^m \frac{z^{2q}}{2^{2(m-q)-1}(2q)!(m-q)!}
 +
</math>
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<math>
 +
i^{2m+1}\,\operatorname{erfc}\,(-z)
 +
=i^{2m+1}\,\operatorname{erfc}\,z
 +
+ \sum_{q=0}^m \frac{z^{2q+1}}{2^{2(m-q)-1}(2q+1)! (m-q)!}\,.
 +
</math>
 +
Виконала: [[Користувач: Олечка Бугай|Бугай Ольга Миколаївна]]
 +
 
 +
[[category: Вибрані статті з математичного аналізу]]

Поточна версія на 10:17, 21 травня 2010

S(x) и C(x).Максимальне значення дляC(x) приблизно дорівнює 0.977451424. Якщо використовувати Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \pi t^2 
замість Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): t^2
, то графік змінить вертикальний и горизонтальний масштаб (см. ниже).

Інтеграли Френеля S(x) и C(x) — це спеціальні функції, названі на честь Огюстена Жана Френеля і використовуються в оптиці. Вони виникають при розрахунку дифракції Френеля і визначаються як

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): S(x)=\int\limits_0^x \sin(t^2)\,dt,\quad C(x)=\int\limits_0^x \cos(t^2)\,dt.


Параметричний графік S(x) и C(x) дає криву на площині, яка має назву спіраль Корню

Розклад в ряд

250px-Fresnel Integrals (Normalised).svg.png

Інтеграли Френеля можуть бути представлені степеневими рядами, збіжними при всіх x:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): S(x)=\int\limits_0^x \sin(t^2)\,dt=\sum_{n=0}^{\infin}(-1)^n\frac{x^{4n+3}}{(4n+3)(2n+1)!},
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): C(x)=\int\limits_0^x \cos(t^2)\,dt=\sum_{n=0}^{\infin}(-1)^n\frac{x^{4n+1}}{(4n+1)(2n)!}.


Рівняння 7.3.1 — 7.3.2</ref> використовують в якості аргумента тригонометричних підінтегральних функцій Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \frac{\pi}{2}t^2 .

Спіраль Корню

Спіраль Корню (x,y)=(C(t), S(t)). Спіраль збігається до центрів отворів при Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): t \rightarrow +\infty .



Функція помилок

функція помилок

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \operatorname{erf}\,x = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int\limits_0^x e^{-t^2}\,dt

.

Додаткова функція помилок:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \operatorname{erfc}\,x = 1-\operatorname{erf}\,x = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int\limits_x^{\infty} e^{-t^2}\,dt

.

Комплексна функція помилок:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): w(x) = e^{-x^2}\operatorname{erfc}\,(-ix)

.

Властивості

  •  :
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \operatorname{erf}\,(-x) = -\operatorname{erf}\,x.


Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \operatorname{erf}\,\bar{x} = \overline{\operatorname{erf}\,x}


Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \operatorname{erf}\,x= \frac{2}{\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^\infin\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{n! (2n+1)} =\frac{2}{\sqrt{\pi}} \left(x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{10}-\frac{x^7}{42}+\frac{x^9}{216}-\ \cdots\right)


Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \operatorname{erf}\,x= \frac{2}{\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^\infin\left(x \prod_{i=1}^n{\frac{-(2i-1) x^2}{i (2i+1)}}\right) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \sum_{n=0}^\infin \frac{x}{2n+1} \prod_{i=1}^n \frac{-x^2}{i}

поскольку Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \frac{-(2i-1) x^2}{i (2i+1)} 

— співмножник, перетворюючий Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): i

-й член ряда в Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (i+1) -й, рахуючи першим членом Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x .


Асимптотичний розклад

При великих Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x 

полезно асимптотичний разклад для додаткової функції помилок:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \operatorname{erfc}\,x = \frac{e^{-x^2}}{x\sqrt{\pi}}\left [1+\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{(2x^2)^n}\right ]=\frac{e^{-x^2}}{x\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{(2n)!}{n!(2x)^{2n}}.\,


Функції

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \operatorname{erf}\,x= \frac{2x}{\sqrt{\pi}}\,_1F_1\left(\frac{1}{2},\frac{3}{2},-x^2\right).



Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \operatorname{erf}\,x=\operatorname{sign}\,x\,P\left(\frac{1}{2}, x^2\right)={\operatorname{sign}\,x \over \sqrt{\pi}}\gamma\left(\frac{1}{2}, x^2\right).


Узагальнені функції помилок

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): E_n(x) = \frac{n!}{\sqrt{\pi}} \int\limits_0^x e^{-t^n}\,dt =\frac{n!}{\sqrt{\pi}}\sum_{p=0}^\infin(-1)^p\frac{x^{np+1}}{(np+1)p!}\,.


  • Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): E_0(x) 
— прямая линия, проходящая через начало координат: Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): E_0(x)=\frac{x}{e \sqrt{\pi}}
  • Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): E_2(x) 
— функция ошибок Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \operatorname{erf}\,x

. 


Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): E_n(x) = \frac{x\left(x^n\right)^{-1/n}\Gamma(n)\left(\Gamma\left(\frac{1}{n}\right)-\Gamma\left(\frac{1}{n},x^n\right)\right)}{\sqrt\pi}, \quad \quad x>0




Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \operatorname{erf}\,x = 1 - \frac{\Gamma\left(\frac{1}{2},x^2\right)}{\sqrt\pi}


Інтеровні інтеграли додаткової функції помилок

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  i^n\,\operatorname{erfc}\,z = \int\limits_z^\infty i^{n-1}\,\operatorname{erfc}\,\zeta\,d\zeta.\, 



Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  i^n\,\operatorname{erfc}\,z  =  \sum_{j=0}^\infty \frac{(-z)^j}{2^{n-j}j!\,\Gamma \left( 1 + \frac{n-j}{2}\right)}\,, 



Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  i^{2m}\,\operatorname{erfc}\,(-z) = -i^{2m}\,\operatorname{erfc}\,z + \sum_{q=0}^m \frac{z^{2q}}{2^{2(m-q)-1}(2q)!(m-q)!} 




Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  i^{2m+1}\,\operatorname{erfc}\,(-z) =i^{2m+1}\,\operatorname{erfc}\,z + \sum_{q=0}^m \frac{z^{2q+1}}{2^{2(m-q)-1}(2q+1)! (m-q)!}\,.

Виконала: Бугай Ольга Миколаївна

Отримано з https://wiki.cusu.edu.ua/index.php?title=Інтеграли_Френеля_та_інтеграл_ймовірностей&oldid=29350