Відмінності між версіями «Функції Беселя цілого порядку»

Матеріал з Вікі ЦДУ
Перейти до: навігація, пошук
 
(не показані 14 проміжних версій 2 учасників)
Рядок 1: Рядок 1:
−
'''<font color='red' size=3> Циліндричними функціями - </font>''' називається розвиток рівняння Бесcеля. У 17 пункті отримано першу циліндричну функцію - функція Бесcеля I роду у вигляді степеневого ряду. Цю функцію можна записати через γ-функцію:
+
'''<font color='Blue' size=3>Рівняння Бесселя  </font>''' виникає під час знаходження рішень рівняння Лапласа і рівняння Гельмгольца в циліндрових і сферичних координатах. Тому функції Бесселя застосовуються при рішенні багатьох задач про розповсюдження хвиль, статичні потенціали тощо, наприклад:
−
:<math>{J_{m}(z)}=\int_0^\infty {e}^{-t}{t}^{z+1}dt\Rightarrow {I_m(z)}=(\frac{z}{2})^m\sum^{\infty}_{k=1}\frac{(-1)^k}{k!J(m+k+1)} </math>
+
−
:Ще однією циліндричною функцією( розв'язком рівняння Бесcеля) є функція Бесcеля I роду
+
−
==Функція Неймана (або Бесcеля I роду):==
+
−
:<math>{N_m(z)}=\frac{1}{sinm\pi}[J_m(z)cos\pi-J_{-m}(z)]</math> якщо <math>m \not\in \mathbf{Z}</math>
+
−
:<math>{N_m(z)}={(-1)}^mN_{-m}(z)=\frac{2}{\pi}J_m(z)(\ln\frac{z}{2}+c)-\frac{1}{\pi}(\frac{z}{2})^m\sum^{\infty}_{k=1}\frac{(-1)^k}{k!(m+k)!}(\frac{z}{2})^2k(\sum^{k}_{i=1}\frac{1}{i}+\sum^{m+k}_{i=1}{\frac{1}{i}})-{\frac{1}{\pi}}{(\frac{z}{2})^{-m}}\sum^{m-1}_{k=0}\frac{(m-k-1)!}{k!}(\frac{z}{2})^2k</math>
+
−
:якщо <math>m \not\in \mathbf{Z}</math> <math>c=-\int_0^\infty {e}^{-t}lntdt=0.577216</math>, с - стала Ейлера-Маскероні.
+
−
==='''<font color='red' size=3> На основі функцій Бесcеля I та II роду можна побудувати іншу пару циліндричних функцій</font>'''===
+
−
:Функція Генкеля I роду:
+
−
:<math>{H_m}^{(1)}(z)=J_{m}(z)+iN_{m}(z)</math>
+
−
:Функція Генкеля II роду:
+
−
:<math>{H_m}^{(2)}(z)=J_{m}(z)-iN_{m}(z)</math>
+
−
:Кожна циліндрична функція <math>~{Z_{m}(z)}</math> порядку m може бути представлена як лінійна комбінація <math>~J_{m}(k)</math> та <math>~N_{m}(k)</math> або лінійними комбінаціями :<math>{H_m}^{(1)}(z)</math> та <math>{H_m}^{(2)}(z)</math>
+
−
:<math>~Z_{m}(z)=aJ_{m}(z)+b\Nu_{m}(z) </math>
+
−
:<math>~Z_{m}(z)=\alpha{H_m}^{(1)}(z)+\beta{H_m}^{(2)}(z) </math>
+
−
Якобіан (визначник Вронського): <math>~W(J_{m}(z),N_m(z))=\frac{2}{z\pi} </math>
+
−
:<math>~W({H_m}^{(1)}(z),{H_m}^{(2)}(z))=-\frac{4i}{z\pi} </math>
+
−
:<math>~W(J_{m}(z),J_{-m}(z))=\frac{-2sinm\pi}{z\pi} </math> при <math>m \in \mathbf{Z}, W=0, J_{m} і J_{-m} - </math>лінійно залежні
+
−
==Рекурентні співвідношення між функціями Бесселя:==
+
−
:<math>~Z_{m+1}(z)=\frac{Z_{m}}{z}Z_{m}(z)-Z_{m-1}(z)=</math>(відсутні похідні) <math>~=\frac{m}{z}Z_{m}(z)-\frac{d}{dz}Z_{m}(z)={-z}^m\frac{d}{dz}({z}^{-m}Z_{m}(z))</math>
+
  
−
==Циліндричні функції, порядок яких дорівнює половині непарного цілого числа, виражаються через елементарні функції==
+
електромагнітні хвилі в циліндровому хвилеводі;
−
+
−
:<math>~{J_{\frac{1}{2}}(z)}=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{sinz}{\sqrt{z}}</math>
+
−
:<math>~{J_{-{\frac{1}{2}}}(z)}=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{cosz}{\sqrt{z}}</math>
+
−
:<math>~{J_{\frac{3}{2}}(z)}=\sqrt{\frac{2}{\pi}}(-\frac{cosz}{\sqrt{z}}+\frac{sinz}{z\sqrt{z}})</math>
+
−
:<math>~{J_{-{\frac{3}{2}}}(z)}=\sqrt{\frac{2}{\pi}}(-\frac{sinz}{\sqrt{z}}-\frac{cosz}{z\sqrt{z}})</math>
+
−
:<math>~{J_{k+\frac{1}{2}}(z)}=\sqrt{\frac{2}{\pi}}z^{k+\frac{1}{2}}(-\frac{1}{z}{\frac{d}{dz}})^{k}\frac{sint}{z}</math>  <math>~(k=1,2,...)</math>
+
−
:<math>~{H_{\frac{1}{2}}^{(1)}(z)}=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{1}{i}\frac{e^{iz}}{\sqrt{z}}</math>
+
−
:<math>~{H_{-\frac{1}{2}}^{(1)}(z)}=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{e^{iz}}{\sqrt{z}}</math>
+
−
:<math>~{H_{\frac{1}{2}}^{(2)}(z)}=-\sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{1}{i}\frac{e^{-iz}}{\sqrt{z}}</math>
+
−
:<math>~{H_{\frac{1}{2}}^{(2)}(z)}=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{e^{-iz}}{\sqrt{z}}</math>
+
  
−
==Інтегральні представлення функції Бесселя==
+
-теплопровідність в циліндрових об'єктах;
  
−
:<math>~{J_{m}(z)}=\frac{1}{\pi}\int_a^b cos(mt-zsint)dt</math> <math>~m=0,1,2,...</math>
+
-форми коливання тонкої круглої мембрани
  
 +
-швидкість частинок в циліндрі, що заповнена рідиною і обертається навколо своєї осі.
 +
 +
Функції Бесселя застосовуються і в рішенні інших задач, наприклад, при обробці сигналів.
 +
 +
 +
'''<font color='Salmon' size=3>Функції Бесселя цілого порядку. </font>'''
  
 
Функція Бесселя невід'ємного цілого порядку можна отримати як коефіцієнти розвинення в ряд по додатних та від'ємних степенях змінної S функції <math>{e^{\frac{z}{2}(s-\frac{1}{s})}}</math>(ряд Лорана)
 
Функція Бесселя невід'ємного цілого порядку можна отримати як коефіцієнти розвинення в ряд по додатних та від'ємних степенях змінної S функції <math>{e^{\frac{z}{2}(s-\frac{1}{s})}}</math>(ряд Лорана)
  
−
<math>{e^{\frac{z}{2}(s-\frac{1}{s})}}={J_{0}(z)}\neq\sum^{\infty}_{m=1}(S^m+(-S)^{-m})^{e^{\frac{z}{2}(s-\frac{1}{s})}}{J_{m}(z)} </math>
+
<math>{e^{\frac{z}{2}(s-\frac{1}{s})}}={J_{0}(z)}+\sum^{\infty}_{m=1}(S^m+(-S)^{-m})^{e^{\frac{z}{2}(s-\frac{1}{s})}}{J_{m}(z)} </math>
  
−
або <math>{\cos(z\mathrm{sin}\, t)={J_{0}(z)}+2\sum^{\infty}_{k=1}{J_{2k}(z)}\mathrm{cos}\, kt}</math>
+
або як коефіціент рядів Фур'є:
 +
 
 +
<math>{\cos(z\mathrm{sin}\, t)={J_{0}(z)}+2\sum^{\infty}_{k=1}{J_{2k}(z)}\mathrm{cos}\, kt}</math>
  
 
<math>{\sin(z\mathrm{sin}\, t)=2\sum^{\infty}_{k=1}{J_{2k-1}(z)}\sin{(2k-1)}t}</math>
 
<math>{\sin(z\mathrm{sin}\, t)=2\sum^{\infty}_{k=1}{J_{2k-1}(z)}\sin{(2k-1)}t}</math>
  
−
<math>{e\pm{iz\mathrm{sin}\, t}=\sum^{\infty}_{m=\infty}{J_{m}(z)}e^{-mt}}</math>
+
або <math>{e^{\pm{iz\mathrm{sin}}\, t}=\sum^{\infty}_{m=\infty}{J_{m}(z)}e^{-imt}}</math>
 +
 
 +
 
 +
Часткові випадки:<math>{1={J_{0}(z)}+2\sum^{\infty}_{k=1}{J_{2k}(z)}}</math>
 +
 
 +
<math>{z^n=2^n\sum^{\infty}_{k=0}\frac{(m+2k)(n+k-1)}{k!}{J_{2k+n}}}</math>
 +
 
 +
Z беретьсь з множини комплексних чисел.
 +
 +
[[Файл:600px-BesselJ_plot.svg.png]] '''<font color='Blue' size=3>Бесселя першого роду</font>'''  <math>{J_{m}(x)}</math>
 +
 
 +
 
 +
[[Файл:BesselY_plot.svg.png]] '<font color='Blue' size=3>Неймана </font>''' <math>{N_{m}(x)}</math>
 +
 
 +
 
 +
 
 +
'''<font color='red' size=3>Умови ортогональності функції Бесселя. </font>'''
 +
 
 +
Нехай є нулі <math>{\mu_{i}}</math> і <math>{\mu_{k}}</math> функції Бесселя  <math>{{J_{m}(x)}}</math>.
 +
Тоді <math>{\int_0^1{J_{m}}(\mu_{i}x){S_{m}}(\mu_{k}x)tdx:=\begin{cases} 0, \mbox{i}\neq{k} \\ \frac{1}{2}{J^2_{m+1}}({\mu{i}}),i=k, \end{cases}}</math>
 +
 
 +
Ряд Фур'є-Бесселя для довільної функції  <math>{f(x)}</math>  на [0,1] мае вигляд:<math>{f(x)\thicksim \sum^{\infty}_{k=1}{a}{k}{J_{m}}(\mu_{k}x)}</math>.
 +
 
 +
<math>{{a}{k}=\frac{2}{{J_{m+1}}(\mu_{k})}\int_1^t{t}{f}(x){J_{m}}(\mu_{k}{t})dt}</math>.
 +
 
 +
 
 +
[http://alglib.sources.ru/specialfunctions/bessel.php ALGLIB]
 +
 
 +
 
 +
[[category: Вибрані статті з математичного аналізу]]

Поточна версія на 07:22, 21 травня 2010

Рівняння Бесселя виникає під час знаходження рішень рівняння Лапласа і рівняння Гельмгольца в циліндрових і сферичних координатах. Тому функції Бесселя застосовуються при рішенні багатьох задач про розповсюдження хвиль, статичні потенціали тощо, наприклад:

електромагнітні хвилі в циліндровому хвилеводі;

-теплопровідність в циліндрових об'єктах;

-форми коливання тонкої круглої мембрани

-швидкість частинок в циліндрі, що заповнена рідиною і обертається навколо своєї осі.

Функції Бесселя застосовуються і в рішенні інших задач, наприклад, при обробці сигналів.


Функції Бесселя цілого порядку.

Функція Бесселя невід'ємного цілого порядку можна отримати як коефіцієнти розвинення в ряд по додатних та від'ємних степенях змінної S функції Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {e^{\frac{z}{2}(s-\frac{1}{s})}} (ряд Лорана)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {e^{\frac{z}{2}(s-\frac{1}{s})}}={J_{0}(z)}+\sum^{\infty}_{m=1}(S^m+(-S)^{-m})^{e^{\frac{z}{2}(s-\frac{1}{s})}}{J_{m}(z)}


або як коефіціент рядів Фур'є:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\cos(z\mathrm{sin}\, t)={J_{0}(z)}+2\sum^{\infty}_{k=1}{J_{2k}(z)}\mathrm{cos}\, kt}


Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\sin(z\mathrm{sin}\, t)=2\sum^{\infty}_{k=1}{J_{2k-1}(z)}\sin{(2k-1)}t}


або Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {e^{\pm{iz\mathrm{sin}}\, t}=\sum^{\infty}_{m=\infty}{J_{m}(z)}e^{-imt}}


Часткові випадки:Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {1={J_{0}(z)}+2\sum^{\infty}_{k=1}{J_{2k}(z)}}


Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {z^n=2^n\sum^{\infty}_{k=0}\frac{(m+2k)(n+k-1)}{k!}{J_{2k+n}}}


Z беретьсь з множини комплексних чисел.

600px-BesselJ plot.svg.png Бесселя першого роду Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {J_{m}(x)}


BesselY plot.svg.png 'Неймана Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {N_{m}(x)}


Умови ортогональності функції Бесселя.

Нехай є нулі Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\mu_{i}} 

і Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\mu_{k}}
функції Бесселя  Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {{J_{m}(x)}}

. Тоді Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\int_0^1{J_{m}}(\mu_{i}x){S_{m}}(\mu_{k}x)tdx:=\begin{cases} 0, \mbox{i}\neq{k} \\ \frac{1}{2}{J^2_{m+1}}({\mu{i}}),i=k, \end{cases}}


Ряд Фур'є-Бесселя для довільної функції Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {f(x)} 

 на [0,1] мае вигляд:Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {f(x)\thicksim \sum^{\infty}_{k=1}{a}{k}{J_{m}}(\mu_{k}x)}

.

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {{a}{k}=\frac{2}{{J_{m+1}}(\mu_{k})}\int_1^t{t}{f}(x){J_{m}}(\mu_{k}{t})dt} .


ALGLIB

Отримано з https://wiki.cusu.edu.ua/index.php?title=Функції_Беселя_цілого_порядку&oldid=29309