Відмінності між версіями «Інтеграл Фур'є»

Матеріал з Вікі ЦДУ
Перейти до: навігація, пошук
 
(не показано одну проміжну версію цього учасника)
Рядок 1: Рядок 1:
−
'''Жан Батист Жозеф Фурье''' ({{lang-fr|Jean Baptiste Joseph Fourier}}; [[21 марта]] [[1768]], [[Осер]], [[Франция]] — [[16 мая]] [[1830]], [[Париж]]), [[Франция|французский]] математик и физик.
+
'''Жан Батист Жозеф Фурье''' (Jean Baptiste Joseph Fourier}; 21 марта 1768, Осер, Франция — 16 мая 1830, Париж), французский математик и физик.
 
== Научные достижения ==
 
== Научные достижения ==
−
* Монографии «Аналитическая теория тепла», в которой был дан вывод уравнения теплопроводности в твёрдом теле, и разработка методов его интегрирования при различных граничных условиях. Метод Фурье состоял в представлении функций в виде тригонометрических [[ряд Фурье|рядов Фурье]].
+
* Монографии «Аналитическая теория тепла», в которой был дан вывод уравнения теплопроводности в твёрдом теле, и разработка методов его интегрирования при различных граничных условиях. Метод Фурье состоял в представлении функций в виде тригонометрических рядов Фурье.
−
* Нашёл формулу представления функции с помощью [[интеграл]]а, играющую важную роль в современной математике.
+
* Нашёл формулу представления функции с помощью интеграла, играющую важную роль в современной математике.
  
−
Интеграл Фурье
 
  
 +
'''Інтеграл Фур'є'''
  
−
Достаточные условия представимости функции в интеграл Фурье.
 
−
Для того, чтобы f(x) была представлена интегралом Фурье во всех точках непрерывности и правильных точках разрыва, достаточно:
 
  
−
1) абсолютной интегрируемости на 
+
Розглянем [-''l,l''] <math>f(x)=\frac{a_0}{2} +\sum_{n=1}^{\infty} \big[ a_n \cos(\frac{nx\pi}{l}) + b_n \sin(\frac{nx\pi}{l}) \big]</math>
  
−
  (т.е. интеграл сходится)
+
де коефіцієнти Фур’є <math>a_n</math> та  <math>b_n</math>  обчислюються за такими формулами:
  
−
2) на  любом  конечном отрезке [-L, L] функция была бы кусочно-гладкой
 
  
−
3) в точках разрыва функции, ее интеграл Фурье определяется полусуммой левого и правого пределов в этих точках, а в точках непрерывности к самой функции f(x)
+
:<math>a_0= \frac1{l} \int\limits_{-l}^{l} f(x)dx</math>
−
Интегралом Фурье функции f(x) называется интеграл вида:
+
  
−
+
 
−
, где  ,
+
:<math>a_n= \frac1{l} \int\limits_{-l}^{l} f(x)\cos(\frac{nx\pi}{l})dx</math>
−
.
+
 
 +
 
 +
:<math> b_n= \frac1{l} \int\limits_{-l}^{l} f(x)\sin(\frac{nx\pi}{l})dx</math>
 +
 
 +
 
 +
 
 +
:<math>f(x)=\frac{a_0}{2} +\sum_{n=1}^{\infty} \big[ a_n \cos(\frac{nx\pi}{l}) + b_n \sin(\frac{nx\pi}{l}) \big]=\frac1{2l} \int\limits_{-l}^{l} f(x)dx+\frac1{l} \sum_{n=1}^{\infty}\int\limits_{-l}^{l} f(t)\cos(\frac{nt\pi}{l})dt\cos(\frac{nx\pi}{l})+</math>
 +
 
 +
 
 +
:<math>+\frac1{l} \int\limits_{-l}^{l} f(t)\sin(\frac{nt\pi}{l})dt\sin(\frac{nx\pi}{l})=\frac1{2l} \int\limits_{-l}^{l} f(x)dx+\frac1{l} \sum_{n=1}^{\infty}\int\limits_{-l}^{l} f(t)[\cos(\frac{nt\pi}{l})\cos(\frac{nx\pi}{l})+sin(\frac{nt\pi}{l})\sin(\frac{nx\pi}{l})]dt=</math>
 +
 
 +
:<math>=\frac1{2l} \int\limits_{-l}^{l} f(x)dx+\frac1{l} \sum_{n=1}^{\infty}\int\limits_{-l}^{l} f(x)\cos\frac{n\pi}{l}({t-x})dt</math>
 +
 
 +
Зробимо граничний перехід
 +
 
 +
Отже,для неперервної на <math>[-\infty;\infty]</math>
 +
:<math>f(x)=(\frac{1}{\pi})\int_0^\infty {d}\alpha\int_{-\infty}^\infty f(t)\cos\alpha({t-x})dt </math> - Інтеграл Фур'є .
 +
 
 +
Виконала: [[Користувач:Покатенко Анна|Покатенко Анна Олександрівна ]]
 +
 
 +
[[category: Вибрані статті з математичного аналізу]]

Поточна версія на 23:26, 20 травня 2010

Жан Батист Жозеф Фурье (Jean Baptiste Joseph Fourier}; 21 марта 1768, Осер, Франция — 16 мая 1830, Париж), французский математик и физик.

Научные достижения

  • Монографии «Аналитическая теория тепла», в которой был дан вывод уравнения теплопроводности в твёрдом теле, и разработка методов его интегрирования при различных граничных условиях. Метод Фурье состоял в представлении функций в виде тригонометрических рядов Фурье.
  • Нашёл формулу представления функции с помощью интеграла, играющую важную роль в современной математике.


Інтеграл Фур'є


Розглянем [-l,l] Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)=\frac{a_0}{2} +\sum_{n=1}^{\infty} \big[ a_n \cos(\frac{nx\pi}{l}) + b_n \sin(\frac{nx\pi}{l}) \big]


де коефіцієнти Фур’є Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): a_n 

та  Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b_n
 обчислюються за такими формулами:


Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): a_0= \frac1{l} \int\limits_{-l}^{l} f(x)dx


Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): a_n= \frac1{l} \int\limits_{-l}^{l} f(x)\cos(\frac{nx\pi}{l})dx


Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b_n= \frac1{l} \int\limits_{-l}^{l} f(x)\sin(\frac{nx\pi}{l})dx



Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)=\frac{a_0}{2} +\sum_{n=1}^{\infty} \big[ a_n \cos(\frac{nx\pi}{l}) + b_n \sin(\frac{nx\pi}{l}) \big]=\frac1{2l} \int\limits_{-l}^{l} f(x)dx+\frac1{l} \sum_{n=1}^{\infty}\int\limits_{-l}^{l} f(t)\cos(\frac{nt\pi}{l})dt\cos(\frac{nx\pi}{l})+


Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): +\frac1{l} \int\limits_{-l}^{l} f(t)\sin(\frac{nt\pi}{l})dt\sin(\frac{nx\pi}{l})=\frac1{2l} \int\limits_{-l}^{l} f(x)dx+\frac1{l} \sum_{n=1}^{\infty}\int\limits_{-l}^{l} f(t)[\cos(\frac{nt\pi}{l})\cos(\frac{nx\pi}{l})+sin(\frac{nt\pi}{l})\sin(\frac{nx\pi}{l})]dt=


Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): =\frac1{2l} \int\limits_{-l}^{l} f(x)dx+\frac1{l} \sum_{n=1}^{\infty}\int\limits_{-l}^{l} f(x)\cos\frac{n\pi}{l}({t-x})dt


Зробимо граничний перехід

Отже,для неперервної на Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): [-\infty;\infty]

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)=(\frac{1}{\pi})\int_0^\infty {d}\alpha\int_{-\infty}^\infty f(t)\cos\alpha({t-x})dt 
- Інтеграл Фур'є .

Виконала: Покатенко Анна Олександрівна

Отримано з https://wiki.cusu.edu.ua/index.php?title=Інтеграл_Фур%27є&oldid=29266