Відмінності між версіями «Інтеграл Фур'є»
Матеріал з Вікі ЦДУ
| (не показані 64 проміжні версії цього учасника) | |||
| Рядок 1: | Рядок 1: | ||
| − | '''Жан Батист Жозеф Фурье''' ( | + | '''Жан Батист Жозеф Фурье''' (Jean Baptiste Joseph Fourier}; 21 марта 1768, Осер, Франция — 16 мая 1830, Париж), французский математик и физик. |
== Научные достижения == | == Научные достижения == | ||
| − | * Монографии «Аналитическая теория тепла», в которой был дан вывод уравнения теплопроводности в твёрдом теле, и разработка методов его интегрирования при различных граничных условиях. Метод Фурье состоял в представлении функций в виде тригонометрических | + | * Монографии «Аналитическая теория тепла», в которой был дан вывод уравнения теплопроводности в твёрдом теле, и разработка методов его интегрирования при различных граничных условиях. Метод Фурье состоял в представлении функций в виде тригонометрических рядов Фурье. |
| − | * Нашёл формулу представления функции с помощью | + | * Нашёл формулу представления функции с помощью интеграла, играющую важную роль в современной математике. |
| + | |||
| + | |||
| + | '''Інтеграл Фур'є''' | ||
| + | |||
| + | |||
| + | Розглянем [-''l,l''] <math>f(x)=\frac{a_0}{2} +\sum_{n=1}^{\infty} \big[ a_n \cos(\frac{nx\pi}{l}) + b_n \sin(\frac{nx\pi}{l}) \big]</math> | ||
| + | |||
| + | де коефіцієнти Фур’є <math>a_n</math> та <math>b_n</math> обчислюються за такими формулами: | ||
| + | |||
| + | |||
| + | :<math>a_0= \frac1{l} \int\limits_{-l}^{l} f(x)dx</math> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | :<math>a_n= \frac1{l} \int\limits_{-l}^{l} f(x)\cos(\frac{nx\pi}{l})dx</math> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | :<math> b_n= \frac1{l} \int\limits_{-l}^{l} f(x)\sin(\frac{nx\pi}{l})dx</math> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | :<math>f(x)=\frac{a_0}{2} +\sum_{n=1}^{\infty} \big[ a_n \cos(\frac{nx\pi}{l}) + b_n \sin(\frac{nx\pi}{l}) \big]=\frac1{2l} \int\limits_{-l}^{l} f(x)dx+\frac1{l} \sum_{n=1}^{\infty}\int\limits_{-l}^{l} f(t)\cos(\frac{nt\pi}{l})dt\cos(\frac{nx\pi}{l})+</math> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | :<math>+\frac1{l} \int\limits_{-l}^{l} f(t)\sin(\frac{nt\pi}{l})dt\sin(\frac{nx\pi}{l})=\frac1{2l} \int\limits_{-l}^{l} f(x)dx+\frac1{l} \sum_{n=1}^{\infty}\int\limits_{-l}^{l} f(t)[\cos(\frac{nt\pi}{l})\cos(\frac{nx\pi}{l})+sin(\frac{nt\pi}{l})\sin(\frac{nx\pi}{l})]dt=</math> | ||
| + | |||
| + | :<math>=\frac1{2l} \int\limits_{-l}^{l} f(x)dx+\frac1{l} \sum_{n=1}^{\infty}\int\limits_{-l}^{l} f(x)\cos\frac{n\pi}{l}({t-x})dt</math> | ||
| + | |||
| + | Зробимо граничний перехід | ||
| + | |||
| + | Отже,для неперервної на <math>[-\infty;\infty]</math> | ||
| + | :<math>f(x)=(\frac{1}{\pi})\int_0^\infty {d}\alpha\int_{-\infty}^\infty f(t)\cos\alpha({t-x})dt </math> - Інтеграл Фур'є . | ||
| + | |||
| + | Виконала: [[Користувач:Покатенко Анна|Покатенко Анна Олександрівна ]] | ||
| + | |||
| + | [[category: Вибрані статті з математичного аналізу]] | ||
Поточна версія на 23:26, 20 травня 2010
Жан Батист Жозеф Фурье (Jean Baptiste Joseph Fourier}; 21 марта 1768, Осер, Франция — 16 мая 1830, Париж), французский математик и физик.
Научные достижения
- Монографии «Аналитическая теория тепла», в которой был дан вывод уравнения теплопроводности в твёрдом теле, и разработка методов его интегрирования при различных граничных условиях. Метод Фурье состоял в представлении функций в виде тригонометрических рядов Фурье.
- Нашёл формулу представления функции с помощью интеграла, играющую важную роль в современной математике.
Інтеграл Фур'є
Розглянем [-l,l] Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)=\frac{a_0}{2} +\sum_{n=1}^{\infty} \big[ a_n \cos(\frac{nx\pi}{l}) + b_n \sin(\frac{nx\pi}{l}) \big]
де коефіцієнти Фур’є Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): a_n
та Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b_n обчислюються за такими формулами:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): a_0= \frac1{l} \int\limits_{-l}^{l} f(x)dx
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): a_n= \frac1{l} \int\limits_{-l}^{l} f(x)\cos(\frac{nx\pi}{l})dx
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b_n= \frac1{l} \int\limits_{-l}^{l} f(x)\sin(\frac{nx\pi}{l})dx
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)=\frac{a_0}{2} +\sum_{n=1}^{\infty} \big[ a_n \cos(\frac{nx\pi}{l}) + b_n \sin(\frac{nx\pi}{l}) \big]=\frac1{2l} \int\limits_{-l}^{l} f(x)dx+\frac1{l} \sum_{n=1}^{\infty}\int\limits_{-l}^{l} f(t)\cos(\frac{nt\pi}{l})dt\cos(\frac{nx\pi}{l})+
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): +\frac1{l} \int\limits_{-l}^{l} f(t)\sin(\frac{nt\pi}{l})dt\sin(\frac{nx\pi}{l})=\frac1{2l} \int\limits_{-l}^{l} f(x)dx+\frac1{l} \sum_{n=1}^{\infty}\int\limits_{-l}^{l} f(t)[\cos(\frac{nt\pi}{l})\cos(\frac{nx\pi}{l})+sin(\frac{nt\pi}{l})\sin(\frac{nx\pi}{l})]dt=
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): =\frac1{2l} \int\limits_{-l}^{l} f(x)dx+\frac1{l} \sum_{n=1}^{\infty}\int\limits_{-l}^{l} f(x)\cos\frac{n\pi}{l}({t-x})dt
Зробимо граничний перехід
Отже,для неперервної на Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): [-\infty;\infty]
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)=(\frac{1}{\pi})\int_0^\infty {d}\alpha\int_{-\infty}^\infty f(t)\cos\alpha({t-x})dt
- Інтеграл Фур'є .
Виконала: Покатенко Анна Олександрівна
