Відмінності між версіями «Розв’язок рівняння Лапласа у циліндричних координатах. Рівняння Беселя»

Матеріал з Вікі ЦДУ
Перейти до: навігація, пошук
(Інші форми рівняння Лапласа)
 
(не показано 17 проміжних версій цього учасника)
Рядок 1: Рядок 1:
'''Рівняння Лапласа''' - однорідне лінійне рівняння в часткових похідних другого порядку еліптичного типу.  
+
==Рівняння Лапласа==
 +
 
 +
'''Рівняння Лапласа''' - однорідне лінійне рівняння в частинних похідних другого порядку еліптичного типу.  
  
 
:<math> \Delta u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 0 </math>.
 
:<math> \Delta u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 0 </math>.
Рядок 9: Рядок 11:
 
Відповідне неоднорідне рівняння називається [http://uk.wikipedia.org/wiki/Рівняння_Пуассона рівнянням Пуассона].
 
Відповідне неоднорідне рівняння називається [http://uk.wikipedia.org/wiki/Рівняння_Пуассона рівнянням Пуассона].
  
'''Рівняння [[Лаплас]]а''' - рівняння в частинних похідних. У тривимірному просторі рівняння Лапласа записується так:
+
'''Рівняння Лапласа''' - рівняння в частинних похідних. У тривимірному просторі рівняння Лапласа записується так:
 
: <math>\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 0</math>
 
: <math>\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 0</math>
 
і є частковим випадком рівняння Гельмгольца.
 
і є частковим випадком рівняння Гельмгольца.
Рядок 16: Рядок 18:
 
: <math>\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}  = 0</math>
 
: <math>\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}  = 0</math>
  
Також і в''n''-вимірному просторі. У цьому випадку до нуля прирівнюється сума''n''других похідних.
+
Також і в''n''-вимірному просторі. У цьому випадку до нуля прирівнюється сума ''n'' других похідних.
 
За допомогою диференціального оператора
 
За допомогою диференціального оператора
 
: <math>\triangle = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} + ...</math>
 
: <math>\triangle = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} + ...</math>
 
- [http://ru.wikipedia.org/wiki/Оператор_Лапласа оператора Лапласа] - це рівняння записується (для будь-якої розмірності) однаково як <math>\triangle u = 0</math>
 
- [http://ru.wikipedia.org/wiki/Оператор_Лапласа оператора Лапласа] - це рівняння записується (для будь-якої розмірності) однаково як <math>\triangle u = 0</math>
  
 +
===Інші форми рівняння Лапласа===
 +
В сферичних координатах <math>\ (r,\theta,\varphi)</math> рівняння має вигляд
 +
 +
: <math>{1 \over r^2} {\partial \over \partial r}
 +
  \left( r^2 {\partial f \over \partial r} \right)
 +
+ {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta}
 +
  \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right)
 +
+ {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2} = 0</math>
 +
 +
В полярних координатах r, φ рівняння має вигляд
 +
: <math>\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r} \left(r\frac{\partial u}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2}\frac{\partial ^2 u}{\partial \phi ^2} = 0</math>
 +
 +
==Оператор Лапласа==
 
'''Оператор Лапласа''' - диференціальний оператор, який діє в лінійному просторі гладких функцій, який позначають символом <math>\ \Delta</math>. Функції <math>F\ </math> він ставить у відповідність функцію <math>\left({\partial^2 \over \partial x_1^2} + {\partial^2 \over \partial x_2^2} + \ldots  + {\partial^2 \over \partial x_n^2}\right)F</math>.  
 
'''Оператор Лапласа''' - диференціальний оператор, який діє в лінійному просторі гладких функцій, який позначають символом <math>\ \Delta</math>. Функції <math>F\ </math> він ставить у відповідність функцію <math>\left({\partial^2 \over \partial x_1^2} + {\partial^2 \over \partial x_2^2} + \ldots  + {\partial^2 \over \partial x_n^2}\right)F</math>.  
 
   
 
   
Оператор Лапласа еквівалентний послідовному взяття операцій [[градієнт]]а і [[Дивергенція | дивергенції]]: <math>\Delta=\operatorname{div}\,\operatorname{grad}</math>, таким чином значення оператора Лапласа у точці може бути витлумачено як щільність джерел (стоків) [[Потенційне поле | потенційного векторного поля]] <math>\ \operatorname{grad}F</math> в цій точці. У декартовій системі координат оператор Лапласа часто позначається наступним чином <math>\Delta=\nabla\cdot\nabla=\nabla^2</math>, тобто у вигляді скалярного добутку [[Оператор Набла | оператора Набла]] на себе.
+
Оператор Лапласа еквівалентний послідовному взяття операцій градієнта і дивергенції: <math>\Delta=\operatorname{div}\,\operatorname{grad}</math>, таким чином значення оператора Лапласа у точці може бути витлумачено як щільність джерел (стоків) потенційного векторного поля <math>\ \operatorname{grad}F</math> в цій точці. У декартовій системі координат оператор Лапласа часто позначається наступним чином <math>\Delta=\nabla\cdot\nabla=\nabla^2</math>, тобто у вигляді скалярного добутку оператора Набла на себе.
 +
 
 +
== Вирази для оператора Лапласа у різних криволінійних системах координат ==
 +
У довільних ортогональних криволінійних координатах в тривимірному просторі
 +
<math>q_1,\ q_2,\ q_3</math>:
 +
: <math>\Delta f (q_1,\ q_2,\ q_3) = \operatorname{div}\,\operatorname{grad}\,f(q_1,\ q_2,\ q_3) = </math>
 +
: <math>=\frac{1}{H_1H_2H_3}\left[ \frac{\partial}{\partial q_1}\left( \frac{H_2H_3}{H_1}\frac{\partial f}{\partial q_1} \right) + \frac{\partial}{\partial q_2}\left( \frac{H_1H_3}{H_2}\frac{\partial f}{\partial q_2} \right) +  \frac{\partial}{\partial q_3}\left( \frac{H_1H_2}{H_3}\frac{\partial f}{\partial q_3} \right)\right],</math>
 +
: де <math>H_i\ </math> — коефіцієнти Ляме.
 +
 
 +
=== Циліндричні координати ===
 +
У циліндричних координатах поза прямою <math>\ r=0</math>:
 +
: <math> \Delta f
 +
= {1 \over r} {\partial \over \partial r}
 +
  \left( r {\partial f \over \partial r} \right)
 +
+ {\partial^2f \over \partial z^2}
 +
+ {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}
 +
</math>
 +
 
 +
=== Сферичні координати ===
 +
У сферичних координатах поза початком відліку (у тривимірному просторі):
 +
: <math> \Delta f
 +
= {1 \over r^2} {\partial \over \partial r}
 +
  \left( r^2 {\partial f \over \partial r} \right)
 +
+ {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta}
 +
  \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right)
 +
+ {1 \over r^2\sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}
 +
</math>
 +
 
 +
або
 +
 
 +
: <math> \Delta f
 +
= {1 \over r} {\partial^2 \over \partial r^2}
 +
  \left( rf \right)
 +
+ {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta}
 +
  \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right)
 +
+ {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}.
 +
</math>
 +
 
 +
В випадку якщо <math>\ f=f(r)</math> в n-вимірному простррі:
 +
 
 +
: <math> \Delta f =  {d^2 f\over dr^2} + {n-1 \over r } {df\over dr}.</math>
 +
 
 +
=== Параболічні координати ===
 +
 
 +
В параболічних координатах (у тривимірному просторі) поза початком відліку:
 +
: <math>
 +
\Delta f= \frac{1}{\sigma^{2} + \tau^{2}}
 +
\left[
 +
\frac{1}{\sigma} \frac{\partial }{\partial \sigma}
 +
\left( \sigma \frac{\partial f}{\partial \sigma} \right) +
 +
\frac{1}{\tau} \frac{\partial }{\partial \tau}
 +
\left( \tau \frac{\partial f}{\partial \tau} \right)\right] +
 +
\frac{1}{\sigma^2\tau^2}\frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2}
 +
</math>
  
 +
=== Цилиндричні параболічні координати ===
  
 +
В координатах параболічного циліндра поза початком відліку:
  
 +
: <math>\Delta F(u,v,z) = \frac{1}{c^2(u^2+v^2)} \left[ \frac{\partial^2 F }{\partial u^2}+ \frac{\partial^2 F }{\partial v^2}\right] + \frac{\partial^2 F }{\partial z^2}</math>
  
 +
== Рівняння Беселя ==
  
 +
: <math>x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} + (x^2 - \alpha^2)y = 0</math>
  
  
 +
==Корисні посилання==
 +
[http://www.exponenta.ru/educat/systemat/tikhonenko/bound/index.asp#2 Розв'язання рівняння Лапласа в середовищі Maple]
  
 +
Виконав: [[Користувач:Користувач Чуйков Артем Сергійович|Чуйков Артем]]
 
[[category: Вибрані статті з математичного аналізу]]
 
[[category: Вибрані статті з математичного аналізу]]

Поточна версія на 17:45, 20 травня 2010

Рівняння Лапласа

Рівняння Лапласа - однорідне лінійне рівняння в частинних похідних другого порядку еліптичного типу.

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Delta u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 0

.

Рівняння Лапласа описує електростатичне поле в просторі без електричних зарядів. Рівнянням Лапласа описується стаціонарний розподіл температури у просторовому тілі.

Функції, які задовільняють рівнянню Лапласа, називаються гармонічними.

Відповідне неоднорідне рівняння називається рівнянням Пуассона.

Рівняння Лапласа - рівняння в частинних похідних. У тривимірному просторі рівняння Лапласа записується так:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 0

і є частковим випадком рівняння Гельмгольца.

У двовимірному просторі рівняння Лапласа записується:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0


Також і вn-вимірному просторі. У цьому випадку до нуля прирівнюється сума n других похідних. За допомогою диференціального оператора

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \triangle = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} + ...

- оператора Лапласа - це рівняння записується (для будь-якої розмірності) однаково як Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \triangle u = 0


Інші форми рівняння Лапласа

В сферичних координатах Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ (r,\theta,\varphi)

рівняння має вигляд
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {1 \over r^2} {\partial \over \partial r} \left( r^2 {\partial f \over \partial r} \right) + {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) + {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2} = 0


В полярних координатах r, φ рівняння має вигляд

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r} \left(r\frac{\partial u}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2}\frac{\partial ^2 u}{\partial \phi ^2} = 0


Оператор Лапласа

Оператор Лапласа - диференціальний оператор, який діє в лінійному просторі гладких функцій, який позначають символом Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ \Delta . Функції Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F\

він ставить у відповідність функцію Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \left({\partial^2 \over \partial x_1^2} + {\partial^2 \over \partial x_2^2} + \ldots  + {\partial^2 \over \partial x_n^2}\right)F

.

Оператор Лапласа еквівалентний послідовному взяття операцій градієнта і дивергенції: Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Delta=\operatorname{div}\,\operatorname{grad} , таким чином значення оператора Лапласа у точці може бути витлумачено як щільність джерел (стоків) потенційного векторного поля Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ \operatorname{grad}F

в цій точці. У декартовій системі координат оператор Лапласа часто позначається наступним чином Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Delta=\nabla\cdot\nabla=\nabla^2

, тобто у вигляді скалярного добутку оператора Набла на себе.

Вирази для оператора Лапласа у різних криволінійних системах координат

У довільних ортогональних криволінійних координатах в тривимірному просторі Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): q_1,\ q_2,\ q_3

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Delta f (q_1,\ q_2,\ q_3) = \operatorname{div}\,\operatorname{grad}\,f(q_1,\ q_2,\ q_3) =
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): =\frac{1}{H_1H_2H_3}\left[ \frac{\partial}{\partial q_1}\left( \frac{H_2H_3}{H_1}\frac{\partial f}{\partial q_1} \right) + \frac{\partial}{\partial q_2}\left( \frac{H_1H_3}{H_2}\frac{\partial f}{\partial q_2} \right) + \frac{\partial}{\partial q_3}\left( \frac{H_1H_2}{H_3}\frac{\partial f}{\partial q_3} \right)\right],
де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): H_i\

 — коефіцієнти Ляме.

Циліндричні координати

У циліндричних координатах поза прямою Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ r=0

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Delta f = {1 \over r} {\partial \over \partial r} \left( r {\partial f \over \partial r} \right) + {\partial^2f \over \partial z^2} + {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}


Сферичні координати

У сферичних координатах поза початком відліку (у тривимірному просторі):

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Delta f = {1 \over r^2} {\partial \over \partial r} \left( r^2 {\partial f \over \partial r} \right) + {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) + {1 \over r^2\sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}


або

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Delta f = {1 \over r} {\partial^2 \over \partial r^2} \left( rf \right) + {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) + {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}.


В випадку якщо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ f=f(r)

в n-вимірному простррі:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Delta f = {d^2 f\over dr^2} + {n-1 \over r } {df\over dr}.


Параболічні координати

В параболічних координатах (у тривимірному просторі) поза початком відліку:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Delta f= \frac{1}{\sigma^{2} + \tau^{2}} \left[ \frac{1}{\sigma} \frac{\partial }{\partial \sigma} \left( \sigma \frac{\partial f}{\partial \sigma} \right) + \frac{1}{\tau} \frac{\partial }{\partial \tau} \left( \tau \frac{\partial f}{\partial \tau} \right)\right] + \frac{1}{\sigma^2\tau^2}\frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2}


Цилиндричні параболічні координати

В координатах параболічного циліндра поза початком відліку:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Delta F(u,v,z) = \frac{1}{c^2(u^2+v^2)} \left[ \frac{\partial^2 F }{\partial u^2}+ \frac{\partial^2 F }{\partial v^2}\right] + \frac{\partial^2 F }{\partial z^2}


Рівняння Беселя

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} + (x^2 - \alpha^2)y = 0


Корисні посилання

Розв'язання рівняння Лапласа в середовищі Maple

Виконав: Чуйков Артем