Відмінності між версіями «Теорема про диференціювання»

Матеріал з Вікі ЦДУ
Перейти до: навігація, пошук
(Теорема про диференціювання)
(Теорема про диференціювання)
 
(не показані 2 проміжні версії цього учасника)
Рядок 1: Рядок 1:
 
==Теорема про диференціювання==
 
==Теорема про диференціювання==
 
* ''Преобразование Фурье и дифференцирование''. Если <math>f,\;f'\in L_1(\R)</math>, то
 
: <math>\widehat{(f')}=i\omega\widehat{f}.</math>
 
Из этой формулы легко выводится формула для <math>n</math>-й производной:
 
: <math>\widehat{(f^{(n)})}=(i\omega)^n\widehat{f}.</math>
 
Формулы верны и в случае обобщённых функций.
 
  
  
 +
'''Теорема про диференціювання:'''
 +
Перетворення Фур'є для диференційовної функції виконується за правилом:
 
: <math>~F (f'(x)) = {-i\alpha}F(\alpha).</math>
 
: <math>~F (f'(x)) = {-i\alpha}F(\alpha).</math>
 
: <math>~F {(f^{(n)}(x))} = ({-i\alpha})^nF(\alpha).</math>
 
: <math>~F {(f^{(n)}(x))} = ({-i\alpha})^nF(\alpha).</math>
Доведення :
+
'''Доведення :'''
  
 
Формулу для n-тої похідної доведемо методом математичної індукції:
 
Формулу для n-тої похідної доведемо методом математичної індукції:
 
+
Для n=1:
 
: <math>~F (f'(x)) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}f'(t)e^{it\alpha}\,dt=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}(e^{it\alpha}f(t)\Bigr|_{-\infty}^{\infty}-{i\alpha}\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{it\alpha}\,dt)
 
: <math>~F (f'(x)) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}f'(t)e^{it\alpha}\,dt=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}(e^{it\alpha}f(t)\Bigr|_{-\infty}^{\infty}-{i\alpha}\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{it\alpha}\,dt)
 
={-i\alpha} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{it\alpha}\,dt
 
={-i\alpha} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{it\alpha}\,dt
 
={-i\alpha}F(\alpha).</math>
 
={-i\alpha}F(\alpha).</math>
 +
Припустимо,що правило виконується і для n-1.
 +
Аналогічно, як для n=1, можна довести, що правило вірне і для n-тої похідної.
 +
: <math>~F {(f^{(n)}(x))} = ({-i\alpha})^nF(\alpha).</math>

Поточна версія на 12:35, 20 травня 2010

Теорема про диференціювання

Теорема про диференціювання: Перетворення Фур'є для диференційовної функції виконується за правилом:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~F (f'(x)) = {-i\alpha}F(\alpha).
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~F {(f^{(n)}(x))} = ({-i\alpha})^nF(\alpha).

Доведення :

Формулу для n-тої похідної доведемо методом математичної індукції: Для n=1:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~F (f'(x)) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}f'(t)e^{it\alpha}\,dt=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}(e^{it\alpha}f(t)\Bigr|_{-\infty}^{\infty}-{i\alpha}\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{it\alpha}\,dt) ={-i\alpha} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{it\alpha}\,dt ={-i\alpha}F(\alpha).

Припустимо,що правило виконується і для n-1. Аналогічно, як для n=1, можна довести, що правило вірне і для n-тої похідної.

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~F {(f^{(n)}(x))} = ({-i\alpha})^nF(\alpha).