Відмінності між версіями «Теорема про диференціювання»
Матеріал з Вікі ЦДУ
(→Теорема про диференціювання) |
(→Теорема про диференціювання) |
||
| (не показані 3 проміжні версії цього учасника) | |||
| Рядок 1: | Рядок 1: | ||
==Теорема про диференціювання== | ==Теорема про диференціювання== | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| + | '''Теорема про диференціювання:''' | ||
| + | Перетворення Фур'є для диференційовної функції виконується за правилом: | ||
: <math>~F (f'(x)) = {-i\alpha}F(\alpha).</math> | : <math>~F (f'(x)) = {-i\alpha}F(\alpha).</math> | ||
: <math>~F {(f^{(n)}(x))} = ({-i\alpha})^nF(\alpha).</math> | : <math>~F {(f^{(n)}(x))} = ({-i\alpha})^nF(\alpha).</math> | ||
| − | Доведення : | + | '''Доведення :''' |
| − | + | ||
| − | + | ||
| + | Формулу для n-тої похідної доведемо методом математичної індукції: | ||
| + | Для n=1: | ||
: <math>~F (f'(x)) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}f'(t)e^{it\alpha}\,dt=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}(e^{it\alpha}f(t)\Bigr|_{-\infty}^{\infty}-{i\alpha}\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{it\alpha}\,dt) | : <math>~F (f'(x)) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}f'(t)e^{it\alpha}\,dt=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}(e^{it\alpha}f(t)\Bigr|_{-\infty}^{\infty}-{i\alpha}\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{it\alpha}\,dt) | ||
={-i\alpha} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{it\alpha}\,dt | ={-i\alpha} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{it\alpha}\,dt | ||
={-i\alpha}F(\alpha).</math> | ={-i\alpha}F(\alpha).</math> | ||
| + | Припустимо,що правило виконується і для n-1. | ||
| + | Аналогічно, як для n=1, можна довести, що правило вірне і для n-тої похідної. | ||
| + | : <math>~F {(f^{(n)}(x))} = ({-i\alpha})^nF(\alpha).</math> | ||
Поточна версія на 12:35, 20 травня 2010
Теорема про диференціювання
Теорема про диференціювання: Перетворення Фур'є для диференційовної функції виконується за правилом:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~F (f'(x)) = {-i\alpha}F(\alpha).
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~F {(f^{(n)}(x))} = ({-i\alpha})^nF(\alpha).
Доведення :
Формулу для n-тої похідної доведемо методом математичної індукції: Для n=1:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~F (f'(x)) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}f'(t)e^{it\alpha}\,dt=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}(e^{it\alpha}f(t)\Bigr|_{-\infty}^{\infty}-{i\alpha}\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{it\alpha}\,dt) ={-i\alpha} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{it\alpha}\,dt ={-i\alpha}F(\alpha).
Припустимо,що правило виконується і для n-1. Аналогічно, як для n=1, можна довести, що правило вірне і для n-тої похідної.
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~F {(f^{(n)}(x))} = ({-i\alpha})^nF(\alpha).
