Відмінності між версіями «Функції Беселя цілого порядку»
| Рядок 16: | Рядок 16: | ||
Функція Бесселя невід'ємного цілого порядку можна отримати як коефіцієнти розвинення в ряд по додатних та від'ємних степенях змінної S функції <math>{e^{\frac{z}{2}(s-\frac{1}{s})}}</math>(ряд Лорана) | Функція Бесселя невід'ємного цілого порядку можна отримати як коефіцієнти розвинення в ряд по додатних та від'ємних степенях змінної S функції <math>{e^{\frac{z}{2}(s-\frac{1}{s})}}</math>(ряд Лорана) | ||
| − | <math>{e^{\frac{z}{2}(s-\frac{1}{s})}}={J_{0}(z)} | + | <math>{e^{\frac{z}{2}(s-\frac{1}{s})}}={J_{0}(z)}+\sum^{\infty}_{m=1}(S^m+(-S)^{-m})^{e^{\frac{z}{2}(s-\frac{1}{s})}}{J_{m}(z)} </math> |
| − | або <math>{\cos(z\mathrm{sin}\, t)={J_{0}(z)}+2\sum^{\infty}_{k=1}{J_{2k}(z)}\mathrm{cos}\, kt}</math> | + | або як коефіціент рядів Фур'є: |
| + | |||
| + | <math>{\cos(z\mathrm{sin}\, t)={J_{0}(z)}+2\sum^{\infty}_{k=1}{J_{2k}(z)}\mathrm{cos}\, kt}</math> | ||
<math>{\sin(z\mathrm{sin}\, t)=2\sum^{\infty}_{k=1}{J_{2k-1}(z)}\sin{(2k-1)}t}</math> | <math>{\sin(z\mathrm{sin}\, t)=2\sum^{\infty}_{k=1}{J_{2k-1}(z)}\sin{(2k-1)}t}</math> | ||
| − | або <math>{e | + | або <math>{e^{iz\mathrm{sin}\, t}=\sum^{\infty}_{m=\infty}{J_{m}(z)}e^{-imt}}</math> |
Часткові випадки:<math>{1={J_{0}(z)}+2\sum^{\infty}_{k=1}{J_{2k}(z)}}</math> | Часткові випадки:<math>{1={J_{0}(z)}+2\sum^{\infty}_{k=1}{J_{2k}(z)}}</math> | ||
| − | <math>{z^n=2^n\sum^{\infty}_{k=0}\frac{(m+2k)(n+k-1)}{k!}}</math> | + | <math>{z^n=2^n\sum^{\infty}_{k=0}\frac{(m+2k)(n+k-1)}{k!}{J_{2k+n}}</math> |
| − | Z беретьсь з множини комплексних чисел. | + | Z беретьсь з множини комплексних чисел. [[Файл:600px-BesselJ_plot.svg]] |
'''<font color='red' size=3>Умови ортогональності функції Бесселя. </font>''' | '''<font color='red' size=3>Умови ортогональності функції Бесселя. </font>''' | ||
| − | Нехай є нулі <math>{\ | + | Нехай є нулі <math>{\mu_{i}}</math> і <math>{\mu_{k}}</math> функції Бесселя <math>{{J_{m}(x)}}</math>. |
| − | Тоді <math>{\int_0^1{J_{m}}(\ | + | Тоді <math>{\int_0^1{J_{m}}(\mu_{i}x){S_{m}}(\mu_{k}x)tdx:=\begin{cases} 0, \mbox{i}\neq{k} \\ \frac{1}{2}{J^2_{m+1}}({\mu{i}}),i=k, \end{cases}}</math> |
| − | Ряд Фур'є-Бесселя для довільної функції <math>{f(x)}</math> на | + | Ряд Фур'є-Бесселя для довільної функції <math>{f(x)}</math> на [0,1] мае вигляд:<math>{f(x)\thicksim \sum^{\infty}_{k=1}{a}{k}{J_{m}}(\mu{k},x)}</math>(нулі функції). |
| − | <math>{{a}{k}=\frac{2}{{ | + | <math>{{a}{k}=\frac{2}{{J_{m+1}}\mu{k}}\int_1^t{t}{f}(x){J_{m}}(\mu{k}{t})dt}</math>. |
Версія за 10:44, 20 травня 2010
Рівняння Бесселя виникає під час знаходження рішень рівняння Лапласа і рівняння Гельмгольца в циліндрових і сферичних координатах. Тому функції Бесселя застосовуються при рішенні багатьох задач про розповсюдження хвиль, статичні потенціали тощо, наприклад:
електромагнітні хвилі в циліндровому хвилеводі;
-теплопровідність в циліндрових об'єктах;
-форми коливання тонкої круглої мембрани
-швидкість частинок в циліндрі, що заповнена рідиною і обертається навколо своєї осі.
Функції Бесселя застосовуються і в рішенні інших задач, наприклад, при обробці сигналів.
Функції Бесселя цілого порядку.
Функція Бесселя невід'ємного цілого порядку можна отримати як коефіцієнти розвинення в ряд по додатних та від'ємних степенях змінної S функції Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {e^{\frac{z}{2}(s-\frac{1}{s})}} (ряд Лорана)
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {e^{\frac{z}{2}(s-\frac{1}{s})}}={J_{0}(z)}+\sum^{\infty}_{m=1}(S^m+(-S)^{-m})^{e^{\frac{z}{2}(s-\frac{1}{s})}}{J_{m}(z)}
або як коефіціент рядів Фур'є:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\cos(z\mathrm{sin}\, t)={J_{0}(z)}+2\sum^{\infty}_{k=1}{J_{2k}(z)}\mathrm{cos}\, kt}
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\sin(z\mathrm{sin}\, t)=2\sum^{\infty}_{k=1}{J_{2k-1}(z)}\sin{(2k-1)}t}
або Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {e^{iz\mathrm{sin}\, t}=\sum^{\infty}_{m=\infty}{J_{m}(z)}e^{-imt}}
Часткові випадки:Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {1={J_{0}(z)}+2\sum^{\infty}_{k=1}{J_{2k}(z)}}
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {z^n=2^n\sum^{\infty}_{k=0}\frac{(m+2k)(n+k-1)}{k!}{J_{2k+n}}
Z беретьсь з множини комплексних чисел. Файл:600px-BesselJ plot.svg
Умови ортогональності функції Бесселя.
Нехай є нулі Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\mu_{i}}
і Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\mu_{k}}
функції Бесселя Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {{J_{m}(x)}}
. Тоді Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\int_0^1{J_{m}}(\mu_{i}x){S_{m}}(\mu_{k}x)tdx:=\begin{cases} 0, \mbox{i}\neq{k} \\ \frac{1}{2}{J^2_{m+1}}({\mu{i}}),i=k, \end{cases}}
Ряд Фур'є-Бесселя для довільної функції Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {f(x)}
на [0,1] мае вигляд:Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {f(x)\thicksim \sum^{\infty}_{k=1}{a}{k}{J_{m}}(\mu{k},x)}
(нулі функції).
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {{a}{k}=\frac{2}{{J_{m+1}}\mu{k}}\int_1^t{t}{f}(x){J_{m}}(\mu{k}{t})dt} .
