Відмінності між версіями «Функції Беселя цілого порядку»

Матеріал з Вікі ЦДУ
Перейти до: навігація, пошук
Рядок 35: Рядок 35:
 
Нехай є нулі <math>{\mu{i}}</math> і <math>{\mu{k}}</math> функції Бесселя  <math>{{J_{m}(x)}}</math>.
 
Нехай є нулі <math>{\mu{i}}</math> і <math>{\mu{k}}</math> функції Бесселя  <math>{{J_{m}(x)}}</math>.
 
Тоді <math>{\int_0^1{J_{m}}(\mu{i}(x)){S_{m}}(\mu{k}(x))tdx:=\begin{cases} 0, \mbox{i}\neq{k} \\ \frac{1}{2}{S^2_{m+1}}({\mu{i}})i=k, \end{cases}}</math>
 
Тоді <math>{\int_0^1{J_{m}}(\mu{i}(x)){S_{m}}(\mu{k}(x))tdx:=\begin{cases} 0, \mbox{i}\neq{k} \\ \frac{1}{2}{S^2_{m+1}}({\mu{i}})i=k, \end{cases}}</math>
 +
 +
Ряд Фур'є-Бесселя для довільної функції  <math>{f(x)}</math>  на (0,1) мае вигляд:<math>{f(x)\thicksim \sum^{\infty}_{k=1}{a}{k}{J_{m}}(\mu{k},x)}</math>(нулі функції).

Версія за 17:28, 19 травня 2010

Рівняння Бесселя виникає під час знаходження рішень рівняння Лапласа і рівняння Гельмгольца в циліндрових і сферичних координатах. Тому функції Бесселя застосовуються при рішенні багатьох задач про розповсюдження хвиль, статичні потенціали тощо, наприклад:

електромагнітні хвилі в циліндровому хвилеводі;

-теплопровідність в циліндрових об'єктах;

-форми коливання тонкої круглої мембрани

-швидкість частинок в циліндрі, що заповнена рідиною і обертається навколо своєї осі.

Функції Бесселя застосовуються і в рішенні інших задач, наприклад, при обробці сигналів.


Функції Бесселя цілого порядку.

Функція Бесселя невід'ємного цілого порядку можна отримати як коефіцієнти розвинення в ряд по додатних та від'ємних степенях змінної S функції Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {e^{\frac{z}{2}(s-\frac{1}{s})}} (ряд Лорана)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {e^{\frac{z}{2}(s-\frac{1}{s})}}={J_{0}(z)}\neq\sum^{\infty}_{m=1}(S^m+(-S)^{-m})^{e^{\frac{z}{2}(s-\frac{1}{s})}}{J_{m}(z)}


або Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\cos(z\mathrm{sin}\, t)={J_{0}(z)}+2\sum^{\infty}_{k=1}{J_{2k}(z)}\mathrm{cos}\, kt}


Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\sin(z\mathrm{sin}\, t)=2\sum^{\infty}_{k=1}{J_{2k-1}(z)}\sin{(2k-1)}t}


або Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {e\pm{iz\mathrm{sin}\, t}=\sum^{\infty}_{m=\infty}{J_{m}(z)}e^{-mt}}


Часткові випадки:Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {1={J_{0}(z)}+2\sum^{\infty}_{k=1}{J_{2k}(z)}}


Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {z^n=2^n\sum^{\infty}_{k=0}\frac{(m+2k)(n+k-1)}{k!}}


Z беретьсь з множини комплексних чисел.

Умови ортогональності функції Бесселя.

Нехай є нулі Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\mu{i}}

і Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\mu{k}}
функції Бесселя  Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {{J_{m}(x)}}

. Тоді Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\int_0^1{J_{m}}(\mu{i}(x)){S_{m}}(\mu{k}(x))tdx:=\begin{cases} 0, \mbox{i}\neq{k} \\ \frac{1}{2}{S^2_{m+1}}({\mu{i}})i=k, \end{cases}}


Ряд Фур'є-Бесселя для довільної функції Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {f(x)}

 на (0,1) мае вигляд:Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {f(x)\thicksim \sum^{\infty}_{k=1}{a}{k}{J_{m}}(\mu{k},x)}

(нулі функції).