Відмінності між версіями «Циліндричні функції»
Матеріал з Вікі ЦДУ
| Рядок 1: | Рядок 1: | ||
| − | '''<font color='red' size=3> Циліндричними функціями - </font>''' називається розвиток рівняння | + | '''<font color='red' size=3> Циліндричними функціями - </font>''' називається розвиток рівняння Бесcеля. У 17 пункті отримано першу циліндричну функцію - функція Бесcеля I роду у вигляді степеневого ряду. Цю функцію можна записати через γ-функцію: |
:<math>{J_{m}(z)}=\int_0^\infty {e}^{-t}{t}^{z+1}dt\Rightarrow {I_m(z)}=(\frac{z}{2})^m\sum^{\infty}_{k=1}\frac{(-1)^k}{k!J(m+k+1)} </math> | :<math>{J_{m}(z)}=\int_0^\infty {e}^{-t}{t}^{z+1}dt\Rightarrow {I_m(z)}=(\frac{z}{2})^m\sum^{\infty}_{k=1}\frac{(-1)^k}{k!J(m+k+1)} </math> | ||
| − | :Ще однією циліндричною функцією( розв'язком рівняння | + | :Ще однією циліндричною функцією( розв'язком рівняння Бесcеля) є функція Бесcеля I роду |
| − | :Функція Неймана (або | + | :Функція Неймана (або Бесcеля I роду): |
:<math>{N_m(z)}=\frac{1}{sinm\pi}[J_m(z)cos\pi-J_{-m}(z)]</math> якщо <math>m \not\in \mathbf{Z}</math> | :<math>{N_m(z)}=\frac{1}{sinm\pi}[J_m(z)cos\pi-J_{-m}(z)]</math> якщо <math>m \not\in \mathbf{Z}</math> | ||
:<math>{N_m(z)}={(-1)}^mN_{-m}(z)=\frac{2}{\pi}J_m(z)(\ln\frac{z}{2}+c)-\frac{1}{\pi}(\frac{z}{2})^m\sum^{\infty}_{k=1}\frac{(-1)^k}{k!(m+k)!}(\frac{z}{2})^2k(\sum^{k}_{i=1}\frac{1}{i}+\sum^{m+k}_{i=1}{\frac{1}{i}})-{\frac{1}{\pi}}{(\frac{z}{2})^{-m}}\sum^{m-1}_{k=0}\frac{(m-k-1)!}{k!}(\frac{z}{2})^2k</math> | :<math>{N_m(z)}={(-1)}^mN_{-m}(z)=\frac{2}{\pi}J_m(z)(\ln\frac{z}{2}+c)-\frac{1}{\pi}(\frac{z}{2})^m\sum^{\infty}_{k=1}\frac{(-1)^k}{k!(m+k)!}(\frac{z}{2})^2k(\sum^{k}_{i=1}\frac{1}{i}+\sum^{m+k}_{i=1}{\frac{1}{i}})-{\frac{1}{\pi}}{(\frac{z}{2})^{-m}}\sum^{m-1}_{k=0}\frac{(m-k-1)!}{k!}(\frac{z}{2})^2k</math> | ||
:якщо <math>m \not\in \mathbf{Z}</math> <math>c=-\int_0^\infty {e}^{-t}lntdt=0.577216</math>, с - стала Ейлера-Маскероні. | :якщо <math>m \not\in \mathbf{Z}</math> <math>c=-\int_0^\infty {e}^{-t}lntdt=0.577216</math>, с - стала Ейлера-Маскероні. | ||
| − | : На основі функцій | + | : На основі функцій Бесcеля I та II роду можна побудувати іншу пару циліндричних функцій |
: Функція Генкеля I роду: | : Функція Генкеля I роду: | ||
:<math>{H_m}^{(1)}(z)=J_{m}(z)+iN_{m}(z)</math> | :<math>{H_m}^{(1)}(z)=J_{m}(z)+iN_{m}(z)</math> | ||
: Функція Генкеля II роду: | : Функція Генкеля II роду: | ||
:<math>{H_m}^{(2)}(z)=J_{m}(z)-iN_{m}(z)</math> | :<math>{H_m}^{(2)}(z)=J_{m}(z)-iN_{m}(z)</math> | ||
| − | :Кожна циліндрична функція <math>{Z_{m}(z)}</math> порядку m може бути представлена як лінійна комбінація <math>J_{m}(k)</math> та <math>N_{m}(k)</math> або лінійними комбінаціями :<math>{H_m}^{(1)}(z)</math> та <math>{H_m}^{(2)}(z)</math> | + | :Кожна циліндрична функція <math>~{Z_{m}(z)}</math> порядку m може бути представлена як лінійна комбінація <math>~J_{m}(k)</math> та <math>~N_{m}(k)</math> або лінійними комбінаціями :<math>{H_m}^{(1)}(z)</math> та <math>{H_m}^{(2)}(z)</math> |
| − | :<math>~Z_{m}(z)= | + | :<math>~Z_{m}(z)=aJ_{m}(z)+b\Nu_{m}(z) </math> |
| + | :<math>~Z_{m}(z)=\alpha{H_m}^{(1)}(z)+\beta{H_m}^{(2)}(z) </math> | ||
| + | Якобіан (визначник Вронського): <math>~W(J_{m}(z),N_m(z))=\frac{2}{z\pi} </math> | ||
| + | :<math>~W({H_m}^{(1)}(z),{H_m}^{(2)}(z))=-\frac{4i}{z\pi} </math> | ||
| + | :<math>~W(J_{m}(z),J_{-m}(z))=\frac{-2sinm\pi}{z\pi} </math> при <math>m \in \mathbf{z}, W=0, J_{m} і J_{-m} - </math>лінійно залежні | ||
Версія за 22:45, 17 травня 2010
Циліндричними функціями - називається розвиток рівняння Бесcеля. У 17 пункті отримано першу циліндричну функцію - функція Бесcеля I роду у вигляді степеневого ряду. Цю функцію можна записати через γ-функцію:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {J_{m}(z)}=\int_0^\infty {e}^{-t}{t}^{z+1}dt\Rightarrow {I_m(z)}=(\frac{z}{2})^m\sum^{\infty}_{k=1}\frac{(-1)^k}{k!J(m+k+1)}
- Ще однією циліндричною функцією( розв'язком рівняння Бесcеля) є функція Бесcеля I роду
- Функція Неймана (або Бесcеля I роду):
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {N_m(z)}=\frac{1}{sinm\pi}[J_m(z)cos\pi-J_{-m}(z)]
якщо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): m \not\in \mathbf{Z}
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {N_m(z)}={(-1)}^mN_{-m}(z)=\frac{2}{\pi}J_m(z)(\ln\frac{z}{2}+c)-\frac{1}{\pi}(\frac{z}{2})^m\sum^{\infty}_{k=1}\frac{(-1)^k}{k!(m+k)!}(\frac{z}{2})^2k(\sum^{k}_{i=1}\frac{1}{i}+\sum^{m+k}_{i=1}{\frac{1}{i}})-{\frac{1}{\pi}}{(\frac{z}{2})^{-m}}\sum^{m-1}_{k=0}\frac{(m-k-1)!}{k!}(\frac{z}{2})^2k
- якщо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): m \not\in \mathbf{Z}
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): c=-\int_0^\infty {e}^{-t}lntdt=0.577216
, с - стала Ейлера-Маскероні.
- На основі функцій Бесcеля I та II роду можна побудувати іншу пару циліндричних функцій
- Функція Генкеля I роду:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {H_m}^{(1)}(z)=J_{m}(z)+iN_{m}(z)
- Функція Генкеля II роду:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {H_m}^{(2)}(z)=J_{m}(z)-iN_{m}(z)
- Кожна циліндрична функція Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~{Z_{m}(z)}
порядку m може бути представлена як лінійна комбінація Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~J_{m}(k)
та Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~N_{m}(k)
або лінійними комбінаціями :Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {H_m}^{(1)}(z)
та Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {H_m}^{(2)}(z)
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~Z_{m}(z)=aJ_{m}(z)+b\Nu_{m}(z)
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~Z_{m}(z)=\alpha{H_m}^{(1)}(z)+\beta{H_m}^{(2)}(z)
Якобіан (визначник Вронського): Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~W(J_{m}(z),N_m(z))=\frac{2}{z\pi}
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~W({H_m}^{(1)}(z),{H_m}^{(2)}(z))=-\frac{4i}{z\pi}
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~W(J_{m}(z),J_{-m}(z))=\frac{-2sinm\pi}{z\pi}
при Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): m \in \mathbf{z}, W=0, J_{m} і J_{-m} -
лінійно залежні
