Відмінності між версіями «Циліндричні функції»
Матеріал з Вікі ЦДУ
| Рядок 11: | Рядок 11: | ||
: Функція Генкеля II роду: | : Функція Генкеля II роду: | ||
:<math>{H_m}^{(2)}(z)=J_{m}(z)-iN_{m}(z)</math> | :<math>{H_m}^{(2)}(z)=J_{m}(z)-iN_{m}(z)</math> | ||
| − | :Кожна циліндрична функція <math>{ | + | :Кожна циліндрична функція <math>{Z_{m}(z)}</math> порядку m може бути представлена як лінійна комбінація <math>J_{m}(k)</math> та <math>N_{m}(k)</math> або лінійними комбінаціями :<math>{H_m}^{(1)}(z)</math> та <math>{H_m}^{(2)}(z)</math> |
| + | :<math>{Z_m}(z)=\{J_m}(z)+\b{N_m}(z)</math> | ||
Версія за 22:15, 17 травня 2010
Циліндричними функціями - називається розвиток рівняння Беселя. У 17 пункті отримано першу циліндричну функцію - функція Беселя I роду у вигляді степеневого ряду. Цю функцію можна записати через γ-функцію:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {J_{m}(z)}=\int_0^\infty {e}^{-t}{t}^{z+1}dt\Rightarrow {I_m(z)}=(\frac{z}{2})^m\sum^{\infty}_{k=1}\frac{(-1)^k}{k!J(m+k+1)}
- Ще однією циліндричною функцією( розв'язком рівняння Беселя) є функція Беселя I роду
- Функція Неймана (або Беселя I роду):
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {N_m(z)}=\frac{1}{sinm\pi}[J_m(z)cos\pi-J_{-m}(z)]
якщо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): m \not\in \mathbf{Z}
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {N_m(z)}={(-1)}^mN_{-m}(z)=\frac{2}{\pi}J_m(z)(\ln\frac{z}{2}+c)-\frac{1}{\pi}(\frac{z}{2})^m\sum^{\infty}_{k=1}\frac{(-1)^k}{k!(m+k)!}(\frac{z}{2})^2k(\sum^{k}_{i=1}\frac{1}{i}+\sum^{m+k}_{i=1}{\frac{1}{i}})-{\frac{1}{\pi}}{(\frac{z}{2})^{-m}}\sum^{m-1}_{k=0}\frac{(m-k-1)!}{k!}(\frac{z}{2})^2k
- якщо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): m \not\in \mathbf{Z}
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): c=-\int_0^\infty {e}^{-t}lntdt=0.577216
, с - стала Ейлера-Маскероні.
- На основі функцій Беселя I та II роду можна побудувати іншу пару циліндричних функцій
- Функція Генкеля I роду:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {H_m}^{(1)}(z)=J_{m}(z)+iN_{m}(z)
- Функція Генкеля II роду:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {H_m}^{(2)}(z)=J_{m}(z)-iN_{m}(z)
- Кожна циліндрична функція Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {Z_{m}(z)}
порядку m може бути представлена як лінійна комбінація Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): J_{m}(k)
та Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): N_{m}(k)
або лінійними комбінаціями :Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {H_m}^{(1)}(z)
та Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {H_m}^{(2)}(z)
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {Z_m}(z)=\{J_m}(z)+\b{N_m}(z)
