Відмінності між версіями «Косинус та синус перетворення Фур'є»
| Рядок 14: | Рядок 14: | ||
0, & x = 0 \\ | 0, & x = 0 \\ | ||
f(-x), & x < 0 | f(-x), & x < 0 | ||
| − | \end{cases},\ | + | \end{cases},\qрозвинення непарногопродовження: |
:<math>f_1(x)=\int_0^\infty {B(alpha)}sin (\alpha\ x){d(alpha)}</math> | :<math>f_1(x)=\int_0^\infty {B(alpha)}sin (\alpha\ x){d(alpha)}</math> | ||
:Для будь-якого<math>x>=0</math> | :Для будь-якого<math>x>=0</math> | ||
Версія за 20:56, 17 травня 2010
- Розглянемо часткові випадки:
- 1.Нехай функція Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)
-парна,Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(t)cos (\alpha\ t) -парна,тоді:Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {A(alpha)}=(\frac{2}{\pi})\int_0^\infty f(t)cos(\alpha\ t)dt
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(t)sin(\alpha\ t)
-непарна,тоді:Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {B(alpha)}=0;f(x)=\int_0^\infty {A(alpha)}cos (\alpha\ x){d(alpha)}
- Якщо функція f(x)-довільна,визначена на проміжку (0; ,то парне продовження цієї функції Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f_2(x)= \begin{cases} f(x),& x \geqslant 0\\ f(-x), & x < 0
розвинення парного продовження:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f_2(x)=\int_0^\infty {A(alpha)}cos (\alpha\ x){d(alpha)}
- Для будь-якого Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x>=0
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)=\int_0^\infty {A(alpha)}cos (\alpha\ x){d(alpha)}
(*)
- 2.Нехай Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)
-непарна,тоді Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(t)cos (\alpha\ t) -непарна,Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(t)sin (\alpha\ t) -парна;Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {A(alpha)}=0
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {B(alpha)}=(\frac{2}{\pi})\int_0^\infty f(t)sin(\alpha\ t)dt
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)=\int_0^\infty {B(alpha)}sin (\alpha\ x){d(alpha)}
Якщо функція Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x) -довільна,визначена на проміжку,тоді непарне продовження буде
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x) = \begin{cases} f(x), & x > 0 \\ 0, & x = 0 \\ f(-x), & x < 0 \end{cases},\qрозвинення непарногопродовження: :<math>f_1(x)=\int_0^\infty {B(alpha)}sin (\alpha\ x){d(alpha)}
- Для будь-якогоНеможливо розібрати вираз (невідома помилка): x>=0
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)=\int_0^\infty {B(alpha)}sin (\alpha\ x){d(alpha)}
(**)
- Розглянемо формулу (*),тоді отримаємо:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)=\frac{ \sqrt{2}}{2}\\int_0^\infty
Косинус і синус інтеграли Фур'є,породжені дійсною функцією f(t),абсолютна величина якої Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\shortmid f(t)\shortmid} інтегрує по інтервалу Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {0<t<+\infty} ,визначається відповідно так:
