Відмінності між версіями «Задача з імовірнісніми обмеженнями. Загальний випадок.»

Поточна версія на 05:34, 2 червня 2017

Маємо 3 форми запису ймовірнісних умов для загального випадку:

а) Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P\{f_{i}(x)\leq{0}\}\geq{\alpha_{i}}

б) Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P\{f(x)\leq{0}\}\geq{\alpha}

в) Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P\{f_{i_{k}}(x)\leq{0},i_{k}\subset{I_{k}}\}\geq{\alpha_{i_{k}}}

де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)=\{f_1(x),\ldots,f_m(x)\}

- вектор-функція, компоненти якої залежать від випадкових параметрів ω.

Нехай Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~F_{ix}(t)

- безумовна функція розподілу випадкової величини Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~f_{i}(x)
для заданого x, а Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {F_{x}}(f_1,\ldots,f_m)
- сумісна функція розподілу системи випадкових величин Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~f_{i}(x)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_{ix}(t)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}{\ldots\int\limits_{-\infty}^{t}}{\ldots\int\limits_{-\infty}^{\infty}}\,d{F_{x}}(f_1,\ldots,f_m)

Припущення:

а) залежності тільки між випадковими параметрами, що знаходяться в одному рядку;
б) всі випадкові параметри можуть бути залежними;
в) випадкові параметри, що відповідають функціям Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f_{i_{k}}

для різних k незалежні між собою.

Позначимо через Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): g(x)=\{g_{1}(x),\ldots,g_{m}(x)\} – детермінований вектор. область зміни компонент якого для кожного x обмежується діапазоном зміни відповідної випадкової величини Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~f_{i}(x) .

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): g_{i}(x)\in\{\inf{f_{i}(x)},\sup{f_{i}(x)}\}

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): 0\leq{F_{ix}(g_{i}(x))=P\{f_{i}(x)\leq{g_{i}(x)}}\}\leq{1}

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_{x}(g(x))=P\{f_{1}(x)\leq{g_{1}(x)},\ldots,f_{m}(x)\leq{g_{m}(x)}\}=P\{f(x)\leq{g(x)}\}

Введені поняття дозволяють сформулювати детерміновані задачі, розв’язки яких співпадають з розв’язками відповідних стохастичних задач з ймовірнісними обмеженнями. Такі задачі називають детермінованими еквівалентами стохастичної задачі.

Задача (б)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f_{0}(x)\to\max

(1)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P\{f(x)\leq{0}\}\geq{\alpha}

(2)

Детермінований еквівалент цієї задачі:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f_{0}(x)\to{\max}

(3)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~F_{x}(g(x))={\alpha}

(4)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): g(x)\leq{0}

(5)

Теорема:

Якщо сумісна функція розподілу Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~F(x)

компонент випадкового вектора Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)=\{f_1(x),\ldots,f_m(x)\}
неперервна при будь-якому x, то задача (3)-(5) є детермінованим еквівалентом стохастичної задачі (1)-(2).

Доведення:

Оскільки цільові функції обох задач однакові, то ми доведемо теорему, якщо впевнимося, що обидві задачі мають одну й ту саму область визначення.

Нехай Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): g(\tilde{x})

задовольняє умовам задачі (3)-(5).

З Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~F_{\tilde{x}}(g(\tilde{x}))={\alpha}

випливає, що Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~P\{f(\tilde{x})\leq{g(\tilde{x})}\}={\alpha}

А з Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): g(\tilde{x})\leq{0}

випливає, що Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P\{f(\tilde{x})\leq{0}\}\geq{\alpha}

Тобто,Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \tilde{x}

задовольняє умовам стохастичної задачі.

Нехай тепер Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \hat{x}

– план задачі (1)-(2) з ймовірнісним обмеженням Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P\{f(\hat{x})\leq{0}\}\geq{\alpha}

Розділимо для кожного x номера компонент вектора f(x) на 3 множини: Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): I_{x}^{(1)},I_{x}^{(2)},I_{x}^{(3)}

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): i\in I_{x}^{(1)}

,якщо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~f_{i}(x)

– детермінована величина;

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): i\in I_{x}^{(2)}

,якщо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~f_{i}(x)

- випадкова величина з від’ємною верхньою гранню Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f_{i}(x)\leq{\bar{f_{i}}(x)}<0

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): i\in I_{x}^{(3)}

,якщо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~f_{i}(x)

– випадкова величина, для якої Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P\{f_{i}(x)\geq{0}\}>0

.

План Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \hat{x}

задачі (1)-(2) визначає детермінований вектор:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): g(\hat{x})=\begin{cases} f_{i}(\hat{x}),i\in I_{\hat{x}}^{(1)}\\ \bar{f_{i}}(\hat{x}),i\in I_{\hat{x}}^{(2)}\\ 0,i\in I_{\hat{x}}^{(3)} \end{cases}

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P\{f(\hat{x})\leq{0}\}=P\{f(\hat{x})\leq{g(\hat{x})}\}\geq{\alpha}

За умовою розподіл Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~F_{\hat{x}}(g(\hat{x}))

неперервний. Це означає, що існує таке Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \hat{g}(\hat{x})

,що:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \hat{g}(\hat{x})\leq{g(\hat{x})}\leq{0}

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P\{f(\hat{x})\leq{\hat{g}(\hat{x})}\}=\alpha

Таким чином вектори Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \hat{x},\hat{g}(\hat{x})

задовольняють умовам задачі (3)-(5)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \hat{g}(\hat{x})\leq{0}

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~F_{\hat{x}}(g(\hat{x}))=\alpha

Теорема доведена.

Аналогічним чином формулюється і обґрунтовується детермінована задача для стохастичних задач, ймовірнісні обмеження в яких записуються у вигляді (а) та (в).

Наприклад, детермінований варіант задачі

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f_{0}(x)\to\max

(6)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P\{f_{i}(x)\leq{0}\}\geq{\alpha_{i}}

(7)

формулюється наступним чином.

Потрібно знайти детерміновані вектори x і Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): g(x)=\{g_1(x),\ldots,g_m(x)\}

для яких:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f_{0}(x)\to\max

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~F_{ix}(g_{i}(x))=\alpha_{i}

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): g_{i}(x)\leq{0}

Для неперервної функції розподілу Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~F_{ix}

детермінований еквівалент задачі (6)-(7) матиме вигляд:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f_{0}(x)\to\max

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~F_{ix}^{-1}(\alpha_{i})\leq{0}

(8)

Природно, що якщо стохастична задача окрім імовірнісних обмежень містить детерміновані умови, то вони переносяться і в еквівалентну задачу.

Виконала: Лисенко Наталія

@@ Рядок 1: / Рядок 1: @@
-Наведемо 3 форми запису ймовірнісних умов для загального випадку:
+Маємо 3 форми запису ймовірнісних умов для загального випадку:
 *а) <math>P\{f_{i}(x)\leq{0}\}\geq{\alpha_{i}}</math>
 *б) <math>P\{f(x)\leq{0}\}\geq{\alpha}</math>
@@ Рядок 26: / Рядок 28: @@
 Задача (б)
-<math>f_{0}(x)\to\max</math>
+<math>f_{0}(x)\to\max</math>                                                                                                         (1)
-<math>P\{f(x)\leq{0}\}\geq{\alpha}</math>
+<math>P\{f(x)\leq{0}\}\geq{\alpha}</math>                                                                                            (2)
 Детермінований еквівалент цієї задачі:
-<math>f_{0}(x)\to{\max}</math>
+<math>f_{0}(x)\to{\max}</math>                                                                                                       (3)
+<math>~F_{x}(g(x))={\alpha}</math>                                                                                                   (4)
+<math>g(x)\leq{0}</math>                                                                                                             (5)
+Теорема:
+Якщо сумісна функція розподілу <math>~F(x)</math> компонент випадкового вектора <math>f(x)=\{f_1(x),\ldots,f_m(x)\}</math> неперервна при будь-якому x, то задача (3)-(5) є детермінованим еквівалентом стохастичної задачі (1)-(2).
+Доведення:
+Оскільки цільові функції обох задач однакові, то ми доведемо теорему, якщо впевнимося, що обидві задачі мають одну й ту саму область визначення.
+Нехай <math>g(\tilde{x})</math> задовольняє умовам задачі (3)-(5).
+З <math>~F_{\tilde{x}}(g(\tilde{x}))={\alpha}</math> випливає, що <math>~P\{f(\tilde{x})\leq{g(\tilde{x})}\}={\alpha}</math>
+А з <math>g(\tilde{x})\leq{0}</math> випливає, що <math>P\{f(\tilde{x})\leq{0}\}\geq{\alpha}</math>
+Тобто,<math>\tilde{x}</math> задовольняє умовам стохастичної задачі.
+Нехай тепер <math>\hat{x}</math> – план задачі (1)-(2) з ймовірнісним обмеженням <math>P\{f(\hat{x})\leq{0}\}\geq{\alpha}</math>
+Розділимо для кожного x номера компонент вектора f(x) на 3 множини: <math>I_{x}^{(1)},I_{x}^{(2)},I_{x}^{(3)}</math>
+*<math>i\in I_{x}^{(1)}</math>,якщо <math>~f_{i}(x)</math> – детермінована величина;
+*<math>i\in I_{x}^{(2)}</math>,якщо <math>~f_{i}(x)</math> - випадкова величина з від’ємною верхньою гранню <math>f_{i}(x)\leq{\bar{f_{i}}(x)}<0 </math>;
+*<math>i\in I_{x}^{(3)}</math>,якщо <math>~f_{i}(x)</math> – випадкова величина, для якої <math>P\{f_{i}(x)\geq{0}\}>0</math>.
+План <math>\hat{x}</math> задачі (1)-(2) визначає детермінований вектор:
+<math>g(\hat{x})=\begin{cases}
+f_{i}(\hat{x}),i\in I_{\hat{x}}^{(1)}\\
+\bar{f_{i}}(\hat{x}),i\in I_{\hat{x}}^{(2)}\\
+,i\in I_{\hat{x}}^{(3)}
+\end{cases}</math>
+<math>P\{f(\hat{x})\leq{0}\}=P\{f(\hat{x})\leq{g(\hat{x})}\}\geq{\alpha}</math>
+За умовою розподіл <math>~F_{\hat{x}}(g(\hat{x}))</math> неперервний. Це означає, що існує таке <math>\hat{g}(\hat{x})</math>,що:
+<math>\hat{g}(\hat{x})\leq{g(\hat{x})}\leq{0}</math>
+<math>P\{f(\hat{x})\leq{\hat{g}(\hat{x})}\}=\alpha</math>
+Таким чином вектори <math>\hat{x},\hat{g}(\hat{x})</math> задовольняють умовам задачі (3)-(5)
+<math>\hat{g}(\hat{x})\leq{0}</math>
+<math>~F_{\hat{x}}(g(\hat{x}))=\alpha</math>
+Теорема доведена.
+Аналогічним чином формулюється і обґрунтовується детермінована задача для стохастичних задач, ймовірнісні обмеження в яких записуються у вигляді (а) та (в).
+Наприклад, детермінований варіант задачі
+<math>f_{0}(x)\to\max</math>                          (6)
+<math>P\{f_{i}(x)\leq{0}\}\geq{\alpha_{i}}</math>     (7)
+формулюється наступним чином.
+Потрібно знайти детерміновані вектори x і <math>g(x)=\{g_1(x),\ldots,g_m(x)\}</math> для яких:
+<math>f_{0}(x)\to\max</math>
+<math>~F_{ix}(g_{i}(x))=\alpha_{i}</math>
+<math>g_{i}(x)\leq{0}</math>
+Для неперервної функції розподілу <math>~F_{ix}</math> детермінований еквівалент задачі (6)-(7) матиме вигляд:
+<math>f_{0}(x)\to\max</math>
+<math>~F_{ix}^{-1}(\alpha_{i})\leq{0}</math>           (8)
-<math>~F_{x}(g(x))={\alpha}</math>
+ Природно, що якщо стохастична задача окрім імовірнісних обмежень містить детерміновані умови, то вони переносяться і в еквівалентну задачу.
-<math>g(x)\leq{0}</math>
+Виконала: [[Користувач:Лисенко Наталія|Лисенко Наталія]]

Відмінності між версіями «Задача з імовірнісніми обмеженнями. Загальний випадок.»

Поточна версія на 05:34, 2 червня 2017

Навігаційне меню

Перегляди

Особисті інструменти

Навігація

Пошук

Інструменти

портфоліо