Поточна версія на 11:16, 6 листопада 2015

Назва курсу

Математичний аналіз/Теорія границь

Мета та завдання навчального курсу

Мета курсу полягає в наданні майбутнім спеціалістам базових знань у галузі математичного аналізу, ознайомлення та оволодіння сучасними математичними методами, сприяння розитку логічного та аналітичного мислення студентів.

Завдання курсу є навчання студентів теоретичним основам і методам математичного аналізу та застосуванню цих методів для розв’язання практичних задач.

У результаті вивчення навчального курсу студент повинен:

знати: основні поняття математичного аналізу такі як функція однієї та декількох змінних, границя та неперервність функції, властивості границь числових послідовностей та функцій, основні поняття диференціального та інтегрального числення;

вміти: застосовувати теоретичний матеріал для практичного розв'язання задач, доводити твердження.

Робоча програма курсу

Автор (автори) курсу

Білецька Юлія Григорівна

Учасники

Сторінка координування курсу "Математичний аналіз/Теорія границь" Білецька Юлія Григорівна

Графік консультацій

Структура

Змістовий модуль 1. Вступ до математичного аналізу. Теорія границь

Тема 1. Дiйснi числа

Тема 2. Числовi послiдовностi. Границя числової послідовності

Тема 3. Гpаниця функцiї однiєї змiнної

Тема 4. Непеpеpвнi та piвномipно непеpеpвнi функцiї

Змістовий модуль 2. Диференціальне числення

Тема 5. Дифеpенцiйне числення функцiї однiєї змiнної

Тема 6. Поняття п-вимірного евклідового простору та функції багатьох змінних

Тема 7. Диференціальне числення функцій векторного аргументу

Змістовий модуль 3. Інтегральне числення функції однієї змінної

Тема 8. Невизначений інтеграл

Тема 9. Визначений інтеграл та його застосування

Тема 10. Невласні інтеграли

Зміст курсу

Змістовий модуль І. Вступ до математичного аналізу. Теорія границь

Тема 1. Дiйснi числа

Дії над множинами. Числові множини. Аксіома Кантора. Обмежені множини. Найбільше та найменше значення. Верхня та нижня грань. Модуль числа та його властивості. Елементарні функції та їх властивості. Область визначення, парність, монотонність, періодичність.

Теоретичний матеріал

Практичні завдання

Самостійна робота

Самостійна робота до теми "Дiйснi числа"

Тема 2. Числовi послiдовностi. Границя числової послідовності

Числові послідовності. Збiжнi послiдовностi та їх властивостi. Кpитеpiй Кошi збiжностi послiдовностi. Пiдпослiдовнiсть. Границя числової послідовності. Нескінченно малі та нескінченно великі послідовності. Теореми про границю суми, різниці добутку та частки послідовностей. Невизначеності. Граничний перехід в нерівностях. Монотонні послідовності. Число е.

Теоретичний матеріал

Лекція №1

Практичні завдання

Практичне №1

Самостійна робота

Самостійна робота №1

Тема 3. Гpаниця функцiї однiєї змiнної

Теоретичний матеріал

Означення границі функції неперервного аргументу Перша чудова границя. Властивості функцій, які мають скінчення границю.Друга чудова границя. Наслідки. Нескінченно малі та нескінченно великі функції в околі точки та нескінченності. Теореми про границю суми, різниці, добутку та частки.

Лекція №2

Практичні завдання

Практична №2

Самостійна робота

Самостійна робота №2

Тема 4. Непеpеpвнi та piвномipно непеpеpвнi функцiї

Непеpеpвнiсть функцiї в точцi. Класифiкацiя точок pозpиву. Функцiї, непеpеpвнi на сегментi. Неперервність суми, різниці, добутку та частки функції. Одностороння неперервність. Точки розриву. Неперервність елементарних функцій.Рiвномipно непеpеpвна функцiя. Теоpема Кантоpа.

Змістовий модуль ІІ. Диференціальне числення

Тема 5. Дифеpенцiйне числення функцiї однiєї змiнної

Похідна. Диференційовність. Диференціал. Необхідна умова диференційовності. Похідна суми, різниці, добутку і частки. Похідна оберненої функції.Похідні елементарних функцій Похідні і диференціали вищих порядків. Функції, задані параметрично. Похідна параметрично заданої функції. Похідна складної функції Теореми Роля, Лагранжа і Коші. Многочлен і формула Тейлора. Сталість та монотонність функції. Локальні екстремуми. Найбільші та найменші значення функції. Напрям опуклості. Точки перегину. Необхідні та достатні умови існування. Асимптоти. Вертикальні асимптоти. Критерій існування похилої асимптоти. Горизонтальні асимптоти. Повне дослідження функції та побудова її графіка.

Теоретичний матеріал

Практичні завдання

Самостійна робота

Тема 6. Поняття п-вимірного евклідового простору та функції багатьох змінних

Простір Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): <R^n> . Збіжність і компактність в Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): <R^n> . Поняття функцій багатьох змінних. Границя, неперервність.Локальні та глобальні властивості неперервних функцій кількох змінних.

Теоретичний матеріал

Практичні завдання

Самостійна робота

Тема 7. Диференціальне числення функцій векторного аргументу

Частинні похідні. Диференційовність. Достатня умова диференційовності. Геометричний зміст диференціалу. Похідні складених функцій. Інваріантність форми першого диференціалу. Похідна за напрямом. Вектор-градієнт від скалярної функції. Неявна функція однієї змінної та її похідні. Частинні похідні вищих порядків. Диференціал вищих порядків. Неінваріантність форми другого диференціалу. Формула Тейлора для функції двох змінних. Екстремум функції двох змінних. Необхідна умова існування екстремуму. Достатня умова існування екстремуму. Найбільше та найменше значення функції в області. Умовний екстремум та методи його знаходження.

Теоретичний матеріал

Практичні завдання

Самостійна робота

Змістовий модуль 3. Інтегральне числення функції однієї змінної

Тема 8. Невизначений інтеграл

Означення первісної функції на проміжку. Невизначений інтеграл і його властивості. Таблиця первісних деяких елементарних функцій. Формула заміни змінної та формула інтегрування частинами для невизначеного інтегралу. Інтегрування раціональних функцій. Інтегрування деяких ірраціональностей та деяких трансцендентних функцій.

Теоретичний матеріал

Практичні завдання

Самостійна робота

Тема 9. Визначений інтеграл та його застосування

Означення інтегральних сум Рімана та інтеграла Рімана. Необхідна умова інтегрованості функції за Ріманом. Нижні (верхні) суми Дарбу та їх властивості. Означення нижнього (верхнього) інтеграла Дарбу. Критерії Дарбу і Рімана інтегрованості функції за Ріманом. Класи функцій, інтегрованих за Ріманом Властивості визначеного інтеграла. Неперервність та диференційовність функції, заданої інтегралом Рімана із змінною верхньою межею інтегрування. Існування первісної у неперервної функції. Формула Ньютона-Лейбніца. Відновлення функції за її похідною. Формула інтегрування частинами для інтеграла Рімана. Теорема про заміну змінної в інтегралі Рімана. Застосування визначеного інтеграла до геометрії: площа криволінійної трапеції, довжина кривої, об’єм тіла обертання. Механічні застосування інтеграла.

Теоретичний матеріал

Практичні завдання

Самостійна робота

Тема 10. Невласні інтеграли

Невласний інтеграл по необмеженому проміжку та від необмеженої функції. Обчислення невласних інтегралів. Ознака порівняння збіжності невласних інтегралів і її наслідки. Еталонні інтеграли. Зв'язок з числовими рядами. Абсолютна та умовна збіжності невласних інтегралів. Головне значення невласного інтеграла в розумінні Коші.

Теоретичний матеріал

Практичні завдання

Самостійна робота

Ресурси

Рекомендована література

Базова

1. Давидов М. О. Курс математичного аналізу. 4.1, 4.2, 4.3.
2. Шкіль М. І. Математичний аналіз. 4.1, 4.2.
3. Фіхтенгольц Г. М. Основи математичного аналізу. 4.1, 4.2.
4. Задачник по курсу математичного аналізу/ під редакцією Н. Я. Виленника. ч.1, ч.2.
5. Демидович Б. П. Збірник задач і вправ по математичному аналізу.
6. Берман Г. Н. Збірник задач по курсу математичного аналізу.
7. Кузнєцов Л. А. Збірник задач по вищій математиці.
8. Метричні простори./ Методичка по математичному аналізу// Романов В. А., Воринний А. Н.

Допоміжна

1. Нікольський С. М. Курс математичного аналізу. т. 1, т. 2. – Наука, 1973.
2. Ільїн В. А., Позняк Е. Г. Основи математичного аналізу. 4.1, 4.2.
3. Будак Б. М., Фомін С. В. Кратні інтеграли і ряди. – Наука, 1967.

Інформаційні ресурси

1. http://math.ru
2. http://exponenta.ru

---