Версія за 21:17, 8 жовтня 2015

Назва курсу

Теорія міри та інтеграла (ТМІ)

Програма з курсу «Теорія міри та інтегралу» відповідає навчальному плану для держуніверситетів. Курс «Теорія міри та інтегралу» є необхідною складовою частиною базової теоретичної підготовки студента-математика та основою для подальшого вивчення спеціальний дисциплін.

Він дає можливість засвоїти основні теоретичні відомості з абстрактної теорії міри та теорії інтегралу Лебега, а також практичні вміння та навички що до обчислення міри множин на прямій та інтегрування функцій однієї змінної. Курс «Теорія міри та інтегралу» розрахований для студентів 3 курсу математичного факультету спеціальності «Статистика».

Робоча програма курсу

Мета та завдання навчального курсу

Мета полягає у викладенні основних понять і фактів сучасної теорія міри та інтегралу на базі теорії множин, вищої алгебри та математичного аналізу.

Завданням є розглянути основні поняття теорії міри, вимірних функцій та інтегралу, навчити типовим методам обчислення мір множин, інтегралів від вимірних функцій та застосуванню цих методів в різних розділах математики, сприяти засвоєнню знань, необхідних для подальшого вивчення теорії інтегральних рівнянь та функціонального аналізу.

У результаті вивчення навчального курсу студент повинен

знати:

• поняття міри та вимірних множин;
• поняття півкільця, кільця, алгебри та сигма- кільця, алгебри;
• борелівську класифікацію множин;
• алгоритм побудови міри Лебега;
• означення вимірної функції;
• властивості вимірних функцій;
• означення та способи обчислення інтегралу Лебега, невизначеного інтеграла Лебега, інтегралів Лебега-Стільтьєса;
• основні твердження про збіжність інтегралів та вимірних функцій.

вміти:

• перевіряти замкненість, відкритість, вимірність множин, належність до відповідних борелівських класів;
• перевіряти вимірність та інтегрованість за Лебегом функцій;
• обчислювати міру Лебега, Лебега-Стільтьєса різних множин;
• визначати значення інтеграла Лебега, Лебега-Стільтьєса в різних випадках;
• знаходити зв'язок з інтегралом Рімана;
• застосовувати теорему Фубіні.

Автор (автори) курсу

Гаєвський Микола Вікторович

Учасники

студенти 37 групи

Графік навчання

Структура

Тема 1. Основні класи множин.

1. Кільце, алгебра, півкільце. Їхні приклади і властивості.

2. Мінімальні класи множин, що містять даний клас. Теорема про кільце, породжене півкільцем.

3. Борельові множини. Теорема про монотонний клас, породжений кільцем.

Тема 2. Продовження міри. 4. Основні класи функцій множин. Міра, елементарні властивості міри. Теореми про неперервність міри.

5. Продовження міри з півкільця на породжене кільце. Зовнішня міра та її основні властивості. Вимірність за Каратеодорі.

6. Теорема Каратедорі про клас вимірних множин. Повна міра. Повнота міри, визначеної в теоремі Каратеодорі. Вимірність за Каратеодорі елементів вихідного кільця. Єдиність продовження міри з кільця на породжене сигма-кільце. Наближення значень міри її значеннями на кільці.

7. Означення міри Лебега та міри Лебега–Стілтьєса.

Тема 3. Вимірні функції

8. Вимірні функції, критерій вимірності (дійсної) функції. Борельові функції, приклади.

9. Арифметичні дії над вимірними функціями. Вимірність послідовності вимірних функцій.

10. Прості вимірні функції. Апроксимація вимірних функцій простими.

11. Властивості, що виконуються майже скрізь. Збіжність майже скрізь, теореми про єдиність та про вимірність границі. Теорема Єгорова. Збіжність за мірою.

Тема 4. Побудова та основні властивості інтеграла Лебега

12. Означення інтеграла Лебега. Теорема про наближення значення інтеграла інтегралами від простих функцій.

13. Елементарні властивості інтеграла Лебега. сигма–адитивність інтеграла Лебега як функції множин.

14. Подальші елементарні властивості інтеграла Лебега. Теорема про лінійність інтеграла для невід’ємних вимірних та для інтегровних функцій.

Тема 5. Граничні теореми для інтеграла Лебега та їх застосування.

15. Граничний перехід під знаком інтеграла Лебега. Теорема про монотонну збіжність. Теорема Б.Леві. Лема Фату. Теорема Лебега про мажоровану збіжність.

16. Порівняння інтеграла Рімана та інтеграла Лебега. Критерій Лебега інтегровності за Ріманом. Порівняння невласного інтеграла Рімана та інтеграла Лебега. Інтеграл Лебега–Стілтьєса на прямій.

17. Інтеграл Лебега від невід’ємної необмеженої функції. Сумовні функції довільного знака.

18. Неперервність та диференційовність інтеграла Лебега, що залежить від параметра. Заміна змінної в інтегралі Лебега.

19. Подвійні та повторні інтеграли. Теорема Фубіні.

Запитання до екзамену

Питання, які виносяться на іспит

1. Кільце, алгебра, півкільце, півалгебра, –кільце, –алгебра, монотонний клас. Їх приклади та властивості. 2. Мінімальні класи множин, що містять даний клас. Теорема про кільце, породжене півкільцем. Борельові множини. 3. Теорема про монотонний клас, породжений кільцем. 4. Основні класи функцій множин. Міра, елементарні властивості міри. 5. Теореми про неперервність міри. 6. Теорема про міру Жордана як міру в сенсі нашого означення. 7. Теорема про міру, породжену неспадною функцією на . 8. Продовження міри з півкільця на породжене кільце. 9. Зовнішня міра та її основні властивості. 10. Вимірність за Каратеодорі. Теорема Каратедорі про клас вимірних множин. 11. Повна міра. Повнота міри, визначеної в теоремі Каратеодорі. Вимірність за Каратеодорі елементів вихідного кільця. 12. Єдиність продовження міри з кільця на породжене -кільце. Наближення значень міри її значеннями на кільці. 13. Означення міри Лебега на . Існування невимірної множини. 14. Означення міри Лебега–Стілтьєса на . Регулярність цієї міри. 15. Означення міри Лебега на . Теорема про вимірність за Лебегом множин, вимірних за Жорданом. 16 .Означення та основні властивості зарядів. Формулювання теореми про розклад Гана. 17. Теорема про розклад Жордана. Означення повної варіації. 18. Вимірні відображення. Означення, основні властивості. Дійсні вимірні функції. 19.Суперпозиція вимірних відображень. 20. Властивості вимірних функцій. Теорема про наближення простими функціями. 21. Властивості, що виконуються майже скрізь. Збіжність майже скрізь, теореми про єдиність та про вимірність границі. 22. Теорема Єгорова. 23. Збіжність за мірою. Приклади про відсутність прямого зв'язку між збіжністю за мірою та збіжністю майже скрізь. Теорема Лебега про зв'язок між цими збіжностями. 24. Фундаментальність за мірою. Лема Ріса. Наслідки леми Ріса. 25. Означення інтеграла Лебега. 26. Теорема про наближення значення інтеграла інтегралами від простих функцій. 27. Елементарні властивості інтеграла Лебега. 28. -адитивність інтеграла Лебега як функції множин. 29. Подальші елементарні властивості інтеграла Лебега. 30. Теорема про лінійність інтеграла. 31. Граничні теореми для інтеграла Лебега. 32. Порівняння інтеграла Рімана та інтеграла Лебега. 33. Критерій Лебега інтегровності за Ріманом 34. Порівняння невласного інтеграла Рімана та інтеграла Лебега. Інтеграл Лебега–Стілтьєса на прямій. 35. Неперервність та диференційовність інтеграла Лебега, що залежить від параметра. Заміна змінної в інтегралі Лебега. 36. Абсолютна неперервність мір та зарядів. Теорема Радона–Никодима. Теорема Лебега про розклад заряду. 37. Абсолютно неперервні функції. Функція Кантора. 38. Вимірні множини та функції в добутку просторів. 39. Добуток мір. 40. Подвійні та повторні інтеграли. Теорема Фубіні.

Ресурси

Рекомендована література

а) основна

1. Дороговцев А.Я. Элементы общей теории меры и интеграла. — К.: Факт, 2007. — 164 с.

2. Колмогоров А.М., Фомін С.В. Елементи теорії функцій та функціонального аналізу. — К.: Наукова думка, 1977. — 578 с.

3. Натансон І.П. Основи теорії функцій дійсної змінної. К., 1950. - 546с.

4. Березанский Ю. М., Ус Г.Ф., Шефтель З. Г. Функциональный анализ. Курс лекций. — К.: Выща школа, 1990.— 600 с.

б) додаткова

5. Завдання до практичних занять з теорії міри та інтеграла для студентів спеціальностей „математика і „статистика” механіко-математичного факультету / Укладачі А.Я.Дороговцев, С.Д.Івасішен, О.Ю.Константінов, О.Г.Кукуш, О.О.Курченко, О.Н.Нестеренко, Т.О.Петрова, А.В.Чайковський. — К.: ВПЦ „Київський університет”, 2003. — 89 c.

6. Методы решения задач по функциональному анализу: Учебное пособие / В.В.Городецкий, Н.И.Нагнибида, П.П.Настасиев. — К.: Выща школа., 1990. — 479 с.

7. Кириллов А.А., Гвишиани А.Д. Теоремы и задачи функционального анализа.— М.: Наука, 1979.— 382 с.

8. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной.— М.: Наука, 1974. — 480 с.

9. Федоров В. М. Курс функционального анализа. - СПб.: Лань, 2005. - 352 с.