Відмінності між версіями «Закон Гука та межі нелінійності»

Матеріал з Вікі ЦДУ
Перейти до: навігація, пошук
(Закон Гука для тривимірного напруженого стану)
 
(не показано 4 проміжні версії 2 учасників)
Рядок 1: Рядок 1:
[[Файл:Simple harmonic oscillator.gif|thumb|Коливання гармонічного осцилятора, для якого справедливий закон Гука]]
+
'''Закон Гука''' встановлює лінійну залежність між деформацією й механічними напруженнями. Закон Гука справедливий для малих пружних деформацій. Він був сформульований Робертом Гуком у 1660.
  
'''Закон Гука''' встановлює лінійну залежність між [[деформація|деформацією]] й [[механічні напруження|механічними напруженнями]].
 
 
Закон Гука справедливий для малих [[пружна деформація|пружних деформацій]].
 
  
 
== Закон Гука для випадку одновісного напруженого стану ==
 
== Закон Гука для випадку одновісного напруженого стану ==
  
У своїй найпростішій формі закон Гука записується для деформації довгого тонкого трижень або пружина
+
У своїй найпростішій формі закон Гука записується для деформації довгого тонкого триженя або пружини
 
: <math>  F = - k x</math>,
 
: <math>  F = - k x</math>,
  
 
де F — сила, k — коефіцієнт жорсткості, х — видовження.
 
де F — сила, k — коефіцієнт жорсткості, х — видовження.
  
Ця формула не враховує зміни поперечних розмірів стрижня при розтяг у. Крім того коефіцієнт жорсткості — це властивість
+
Ця формула не враховує зміни поперечних розмірів стрижня при розтягу. Крім того коефіцієнт жорсткості — це властивість
стрижня, а не властивість матеріал у, з якого він виготовлений.
+
стрижня, а не властивість матеріалу, з якого він виготовлений.
  
 
Запис закону Гука через напруження і відносні деформації дає можливість виключити вплив конструктивних особливостей стрижень на вид залежності між силовим параметром і деформацією. Для випадку лінійного навантаження закон Гука має вигляд:
 
Запис закону Гука через напруження і відносні деформації дає можливість виключити вплив конструктивних особливостей стрижень на вид залежності між силовим параметром і деформацією. Для випадку лінійного навантаження закон Гука має вигляд:
Рядок 22: Рядок 19:
 
:<math> \epsilon = \frac{\Delta l}{l} </math> — величина відносної деформації (відносне видовження);
 
:<math> \epsilon = \frac{\Delta l}{l} </math> — величина відносної деформації (відносне видовження);
 
:''E'' – модуль Юнга.
 
:''E'' – модуль Юнга.
 +
  
 
== Закон Гука для тривимірного напруженого стану ==
 
== Закон Гука для тривимірного напруженого стану ==
Рядок 59: Рядок 57:
 
: ''G'' – модуль зсуву,
 
: ''G'' – модуль зсуву,
 
: ''E'' – модуль Юнга
 
: ''E'' – модуль Юнга
: <math>\nu</math> - [[коефіцієнт Пуассона]].
+
: <math>\nu</math> - коефіцієнт Пуассона.
 +
 
 +
Закон можна сформулювати так: ''компоненти тензора деформації в даній точці тіла знаходяться в лінійній залежності від компонентів тензора напруження тієї ж точки''.
  
Закон можна сформулювати так: ''компоненти тензора деформації в даній точці тіла знаходяться в лінійній залежності від компонентів тензора
 
напруження тієї ж точки''.
 
  
 
== Строга форма запису закону Гука ==
 
== Строга форма запису закону Гука ==
 
: <math> \sigma_{ik} = \sum_{lm} \lambda_{iklm} \varepsilon_{lm} </math>,
 
: <math> \sigma_{ik} = \sum_{lm} \lambda_{iklm} \varepsilon_{lm} </math>,
  
де <math> \sigma_{ik} </math> — [[тензор механічних напружень]], <math> \varepsilon_{lm} </math> — [[тензор деформації]], а
+
де <math> \sigma_{ik} </math> — тензор механічних напружень, <math> \varepsilon_{lm} </math> — тензор деформації, а
<math> \lambda_{iklm} </math> — тензор чертвертого рангу, який називається [[тензор модулів пружності|тензором модулів пружності]] і
+
<math> \lambda_{iklm} </math> — тензор чертвертого рангу, який називається тензор модулів пружності і
є характеристикою [[речовина|речовини]].
+
є характеристикою речовина|речовини.
 
+
Закон Гука був сформульований [[Роберт Гук|Робертом Гуком]] у [[1660]].
+

Поточна версія на 11:01, 30 травня 2014

Закон Гука встановлює лінійну залежність між деформацією й механічними напруженнями. Закон Гука справедливий для малих пружних деформацій. Він був сформульований Робертом Гуком у 1660.


Закон Гука для випадку одновісного напруженого стану

У своїй найпростішій формі закон Гука записується для деформації довгого тонкого триженя або пружини

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F = - k x

,

де F — сила, k — коефіцієнт жорсткості, х — видовження.

Ця формула не враховує зміни поперечних розмірів стрижня при розтягу. Крім того коефіцієнт жорсткості — це властивість стрижня, а не властивість матеріалу, з якого він виготовлений.

Запис закону Гука через напруження і відносні деформації дає можливість виключити вплив конструктивних особливостей стрижень на вид залежності між силовим параметром і деформацією. Для випадку лінійного навантаження закон Гука має вигляд:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \sigma = E \frac{\Delta l}{l} = E \epsilon

,

де: σ — механічне напруження, визначається, як сила, що припадає на одиницю площі поперечного перерізу тіла;

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \epsilon = \frac{\Delta l}{l}
— величина відносної деформації (відносне видовження);
E – модуль Юнга.


Закон Гука для тривимірного напруженого стану

Закон Гука для тривимірного (складного) напруженого стану у випадку ізотропного матеріалу може бути записаний у вигляді системи рівнянь:

для лінійних деформацій
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \epsilon_x = \frac {1} {E} [\sigma_x - \nu(\sigma_y + \sigma_z)]


Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \epsilon_y = \frac {1} {E} [\sigma_y - \nu(\sigma_z + \sigma_x)]


Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \epsilon_z = \frac {1} {E} [\sigma_z - \nu(\sigma_x + \sigma_y)]


для деформацій зсуву
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \gamma_{xy} = \frac {\tau_{xy}} {G}


Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \gamma_{xz} = \frac {\tau_{xz}} {G}


Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \gamma_{yz} = \frac {\tau_{yz}} {G}


де:

ε – деформація розтягу-стиску в точці,
σ – напруження розтягу-стиску,
γ – деформація зсуву (кутова) в точці,
τ – напруження зсуву (дотичне напруження) в точці,
G – модуль зсуву,
E – модуль Юнга
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \nu
- коефіцієнт Пуассона.

Закон можна сформулювати так: компоненти тензора деформації в даній точці тіла знаходяться в лінійній залежності від компонентів тензора напруження тієї ж точки.


Строга форма запису закону Гука

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \sigma_{ik} = \sum_{lm} \lambda_{iklm} \varepsilon_{lm}

,

де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \sigma_{ik}

— тензор механічних напружень, Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  \varepsilon_{lm} 
— тензор деформації, а

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \lambda_{iklm}

— тензор чертвертого рангу, який називається тензор модулів пружності і

є характеристикою речовина|речовини.