Відмінності між версіями «Зв`язок неперервного та дискретного на прикладі рівняння коливання струни»
| (не показані 9 проміжних версій 2 учасників) | |||
| Рядок 1: | Рядок 1: | ||
| − | + | ||
| + | |||
| + | |||
| + | Питання про рух, перехід поступових кількісних змін в якісні, поява у | ||
| + | цілого властивостей, яких не має жодна із його частинок, є одним із | ||
| + | ключових питань сучасного фундаментального природознавства. Ці питання | ||
| + | мають глибокі філософські коріння. Розвиток природних наук змушує ще і | ||
| + | ще раз повертатися до них. Вчених XIX ст. вразило наявність хвильових | ||
| + | властивостей у світла, який вони уявляли як потік дискретних частин. До | ||
| + | глибокого перегляду фундаментальних понять привело в XX ст. створення | ||
| + | квантової механіки. Виявилось, що дискретні і неперервні властивості | ||
| + | матерії не можна протипоставити один одному, що вони нерозривно зв’язані | ||
| + | між собою. Виявилась і друга важлива обставина. Аналіз багатьох явищ | ||
| + | потребує поєднання дискретного і неперервного підходів. І питання про | ||
| + | співвідношення тих і інших властивостей при побудові теорії виявляється | ||
| + | далеко не простим. Від його успішного вирішення часто залежить, наскільки | ||
| + | глибоко нам вдається розібратися в досліджуваному об'єкті. | ||
| + | Розглянемо задачу, при рішенні якої було розвинуто ряд ключових | ||
| + | ідей. Проведемо аналіз поведінки пружної струни, по якій ударили в | ||
| + | початковий момент часу. Зупинимося раніше на системі, що складається з | ||
| + | точкового вантажу масою'''<math>\mathbf {m}</math>''' , до якого прикріплені дві однакові пружні | ||
| + | горизонтальні нитки завдовжки '''<math>\frac {l_0} {2}</math>''',натягнуті силою '''<math>\mathbf {F_0}</math>'''(сила тяжіння | ||
| + | відсутня). При відхиленні вантажу від положення рівноваги з'являється | ||
| + | повертаюча сила, пропорційна відхиленню '''<math>F=-2F_0 sin\alpha=\frac {4F_0 u} {l_0}</math>''',тоді згідно з другим законом Ньютона маємо: | ||
| + | '''<math>\frac {d^2 u} {dt^2+w^2u}=0, w^2=\frac {4F_0}{(ml_0)}</math>''' | ||
| + | Рівняння описує коливання з круговою частотою '''<math>\mathbf {w}</math>''': | ||
| + | |||
| + | |||
| + | '''<math>\mathbf {u=Asinwt+Bcoswt}</math>''' | ||
| + | |||
| + | |||
| + | де константи А і B визначаються початковими положеннями і швидкістю | ||
| + | вантажу. Ми вирішили завдання про коливання струни, уся маса якої | ||
| + | зосереджена в центрі. Для однорідної струни з масою '''m''' і завдовжки '''<math>l_0</math>''' | ||
| + | це занадто глибоке наближення; розумніше замінити її набором із '''N''' кульок з | ||
| + | масою '''''<math>\mu=\frac {m} {N}</math>''''',розташованих на відстані '''<math>h=\frac {l_0} {N}</math>''' і сполучених нитками, натягнутими силою '''<math>F_0</math>''' (так міркували, зокрема, при виведенні рівнянь | ||
| + | коливань струни Йоганн і Данило Бернуллі). Якщо '''<math>u_k</math>''' - відхилення k-ої | ||
| + | кульки від положення рівноваги, то за умови, що різниця у відхиленнях | ||
| + | сусідніх кульок мала, <math>\mu a_k=\frac {mh} {l_0} \frac {d^2u_k} {dt^2}= F = \frac {F_0 u_{k+1}- 2u_k + u_{k-1}} {h}=>\frac {\partial^2 u_k} {\partial^2t^2}= \frac {F_ol_0} {m} \frac {u_{k+1}-2u_k - u_{k-1}} {h^2} </math> У межі при h →0 отримуємо вже відоме нам хвильове рівняння: <math>\frac {\partial^2 u} {\partial^2t^2}-c^2 \frac{\partial^2u} {\partial x^2}, c^2=\frac{F_0l_0} {m} </math> | ||
| + | Цей висновок рівняння уперше був зроблений Даламбером, який не | ||
| + | лише записав вказане рівняння, але і знайшов його загальне рішення у | ||
| + | вигляді суперпозиції двох хвиль | ||
| + | ''<math>\mathbf {u=f(x+ct)+g(x-ct)}</math>'' Проте використати це рішення для струни кінцевих розмірів непросто. | ||
| + | Дійсно, після удару по струні управо і вліво йдуть хвилі. Вони доходять до | ||
| + | кінців струни, відбиваються, йдуть у зворотний бік - встановлюється деякий | ||
| + | режим, описувати який за допомогою отриманої формули незручно. | ||
| + | Можливий інший шлях, запропонований Фур'є. Оскільки струна здійснює | ||
| + | коливальні рухи, рішення задачі шукають у виді | ||
| + | <math>\mathbf {u=(Asinwt+Bcoswt)z(x)}</math>,що дає у результаті<math>\mathbf {u=\sum_{n=0}(A_n sinw_n t+B_n cosw_t )sin \frac {pinx} {l_0}} </math> | ||
| + | Рішення знайшлося у вигляді суперпозиції стоячих хвиль, для яких на | ||
| + | довжині струни укладається ціле число '''n''' півхвиль. Власні значення <math>Lamda_n</math> | ||
| + | визначають, з якою частотою може коливатися струна в конфігурації n-ої | ||
| + | стоячої хвилі, форму якої описує власна функція | ||
| + | <math>\mathbf {z_n=sin(\frac {pinx} {l_0})}</math> Знайдені рішення по виду сильно розрізняються. Рівноправність їх не | ||
| + | очевидна. Це питання стало причиною дискусії в середині XVIII ст. | ||
| + | (суперечка про струну) між Ейлером, Даламбером і Лагранжем. Дискусія | ||
| + | дозволила переконатися не лише в еквівалентності двох рішень(адже | ||
| + | початкове завдання має рішення і воно єдине!), але і краще розібратися в | ||
| + | рівняннях. Рішення, отримане Фур'є, дає можливість з'ясувати | ||
| + | співвідношення безперервного і дискретного в цьому завданні. Якщо ми | ||
| + | маємо автомодельне рішення хвилевого рівняння у вигляді стоячої хвилі <math>\mathbf {u=c_n (t)sin(\frac {pinx} {l_0})},</math> то виявиться, що для різних <math>\mathbf {c_n (t)}</math> виходять рівняння <math>\mathbf {\frac {d^2C_2(t)}{dt^2}+w^2_nc_n(t)=0,n=0,1,2,....}</math> Але це знову рівняння коливання. Значить, струна виявляється | ||
| + | еквівалентною нескінченній безлічі незалежних вантажів, що коливаються. | ||
| + | Цікаво і інше: у безперервній задачі, що описує коливання струни, є | ||
| + | дискретний набір власних частот. Неперервне і дискретне знову виявляються | ||
| + | тісно пов'язаними. | ||
Поточна версія на 18:21, 29 травня 2014
Питання про рух, перехід поступових кількісних змін в якісні, поява у цілого властивостей, яких не має жодна із його частинок, є одним із ключових питань сучасного фундаментального природознавства. Ці питання мають глибокі філософські коріння. Розвиток природних наук змушує ще і ще раз повертатися до них. Вчених XIX ст. вразило наявність хвильових властивостей у світла, який вони уявляли як потік дискретних частин. До глибокого перегляду фундаментальних понять привело в XX ст. створення квантової механіки. Виявилось, що дискретні і неперервні властивості матерії не можна протипоставити один одному, що вони нерозривно зв’язані між собою. Виявилась і друга важлива обставина. Аналіз багатьох явищ потребує поєднання дискретного і неперервного підходів. І питання про співвідношення тих і інших властивостей при побудові теорії виявляється далеко не простим. Від його успішного вирішення часто залежить, наскільки глибоко нам вдається розібратися в досліджуваному об'єкті. Розглянемо задачу, при рішенні якої було розвинуто ряд ключових ідей. Проведемо аналіз поведінки пружної струни, по якій ударили в початковий момент часу. Зупинимося раніше на системі, що складається з точкового вантажу масоюНеможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mathbf {m} , до якого прикріплені дві однакові пружні горизонтальні нитки завдовжки Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \frac {l_0} {2} ,натягнуті силою Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mathbf {F_0} (сила тяжіння відсутня). При відхиленні вантажу від положення рівноваги з'являється повертаюча сила, пропорційна відхиленню Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F=-2F_0 sin\alpha=\frac {4F_0 u} {l_0} ,тоді згідно з другим законом Ньютона маємо: Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \frac {d^2 u} {dt^2+w^2u}=0, w^2=\frac {4F_0}{(ml_0)} Рівняння описує коливання з круговою частотою Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mathbf {w} :
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mathbf {u=Asinwt+Bcoswt}
де константи А і B визначаються початковими положеннями і швидкістю
вантажу. Ми вирішили завдання про коливання струни, уся маса якої
зосереджена в центрі. Для однорідної струни з масою m і завдовжки Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): l_0
це занадто глибоке наближення; розумніше замінити її набором із N кульок з
масою Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mu=\frac {m} {N}
,розташованих на відстані Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): h=\frac {l_0} {N}
і сполучених нитками, натягнутими силою Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_0
(так міркували, зокрема, при виведенні рівнянь
коливань струни Йоганн і Данило Бернуллі). Якщо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): u_k
- відхилення k-ої
кульки від положення рівноваги, то за умови, що різниця у відхиленнях
сусідніх кульок мала, Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mu a_k=\frac {mh} {l_0} \frac {d^2u_k} {dt^2}= F = \frac {F_0 u_{k+1}- 2u_k + u_{k-1}} {h}=>\frac {\partial^2 u_k} {\partial^2t^2}= \frac {F_ol_0} {m} \frac {u_{k+1}-2u_k - u_{k-1}} {h^2}
У межі при h →0 отримуємо вже відоме нам хвильове рівняння: Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \frac {\partial^2 u} {\partial^2t^2}-c^2 \frac{\partial^2u} {\partial x^2}, c^2=\frac{F_0l_0} {m}
Цей висновок рівняння уперше був зроблений Даламбером, який не лише записав вказане рівняння, але і знайшов його загальне рішення у вигляді суперпозиції двох хвиль Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mathbf {u=f(x+ct)+g(x-ct)} Проте використати це рішення для струни кінцевих розмірів непросто. Дійсно, після удару по струні управо і вліво йдуть хвилі. Вони доходять до кінців струни, відбиваються, йдуть у зворотний бік - встановлюється деякий режим, описувати який за допомогою отриманої формули незручно. Можливий інший шлях, запропонований Фур'є. Оскільки струна здійснює коливальні рухи, рішення задачі шукають у виді Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mathbf {u=(Asinwt+Bcoswt)z(x)} ,що дає у результатіНеможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mathbf {u=\sum_{n=0}(A_n sinw_n t+B_n cosw_t )sin \frac {pinx} {l_0}}
Рішення знайшлося у вигляді суперпозиції стоячих хвиль, для яких на довжині струни укладається ціле число n півхвиль. Власні значення Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): Lamda_n
визначають, з якою частотою може коливатися струна в конфігурації n-ої стоячої хвилі, форму якої описує власна функція Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mathbf {z_n=sin(\frac {pinx} {l_0})}
Знайдені рішення по виду сильно розрізняються. Рівноправність їх не
очевидна. Це питання стало причиною дискусії в середині XVIII ст. (суперечка про струну) між Ейлером, Даламбером і Лагранжем. Дискусія дозволила переконатися не лише в еквівалентності двох рішень(адже початкове завдання має рішення і воно єдине!), але і краще розібратися в рівняннях. Рішення, отримане Фур'є, дає можливість з'ясувати співвідношення безперервного і дискретного в цьому завданні. Якщо ми маємо автомодельне рішення хвилевого рівняння у вигляді стоячої хвилі Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mathbf {u=c_n (t)sin(\frac {pinx} {l_0})},
то виявиться, що для різних Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mathbf {c_n (t)}
виходять рівняння Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mathbf {\frac {d^2C_2(t)}{dt^2}+w^2_nc_n(t)=0,n=0,1,2,....}
Але це знову рівняння коливання. Значить, струна виявляється
еквівалентною нескінченній безлічі незалежних вантажів, що коливаються. Цікаво і інше: у безперервній задачі, що описує коливання струни, є дискретний набір власних частот. Неперервне і дискретне знову виявляються тісно пов'язаними.
