Відмінності між версіями «Зв`язок неперервного та дискретного на прикладі рівняння коливання струни»
Рядок 1: | Рядок 1: | ||
[[Медіа:Зв’язок_неперервного_та_дискретного_на_прикладі_рівняння_коливання_струни..pdf]] | [[Медіа:Зв’язок_неперервного_та_дискретного_на_прикладі_рівняння_коливання_струни..pdf]] | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Питання про рух, перехід поступових кількісних змін в якісні, поява у | ||
+ | цілого властивостей, яких не має жодна із його частинок, є одним із | ||
+ | ключових питань сучасного фундаментального природознавства. Ці питання | ||
+ | мають глибокі філософські коріння. Розвиток природних наук змушує ще і | ||
+ | ще раз повертатися до них. Вчених XIX ст. вразило наявність хвильових | ||
+ | властивостей у світла, який вони уявляли як потік дискретних частин. До | ||
+ | глибокого перегляду фундаментальних понять привело в XX ст. створення | ||
+ | квантової механіки. Виявилось, що дискретні і неперервні властивості | ||
+ | матерії не можна протипоставити один одному, що вони нерозривно зв’язані | ||
+ | між собою. Виявилась і друга важлива обставина. Аналіз багатьох явищ | ||
+ | потребує поєднання дискретного і неперервного підходів. І питання про | ||
+ | співвідношення тих і інших властивостей при побудові теорії виявляється | ||
+ | далеко не простим. Від його успішного вирішення часто залежить, наскільки | ||
+ | глибоко нам вдається розібратися в досліджуваному об'єкті. | ||
+ | Розглянемо задачу, при рішенні якої було розвинуто ряд ключових | ||
+ | ідей. Проведемо аналіз поведінки пружної струни, по якій ударили в | ||
+ | початковий момент часу. Зупинимося раніше на системі, що складається з | ||
+ | точкового вантажу масою m, до якого прикріплені дві однакові пружні | ||
+ | горизонтальні нитки завдовжки '''<math>l_0/2</math>''',натягнуті силою '''<math>F_0</math>'''(сила тяжіння | ||
+ | відсутня). При відхиленні вантажу від положення рівноваги з'являється | ||
+ | повертаюча сила, пропорційна відхиленню '''<math>F=-2F_0 sina=4F_0 u/l_0</math>''',тоді згідно з другим законом Ньютона маємо: | ||
+ | '''<math>d^2 u/dt^2+w^2u=0, w^2=4F_0/(ml_0)</math>''' | ||
+ | Рівняння описує коливання з круговою частотою '''<math>w</math>''': | ||
+ | |||
+ | '''<math>u=Asinwt+Bcoswt</math>''' | ||
+ | |||
+ | де константи А і B визначаються початковими положеннями і швидкістю | ||
+ | вантажу. Ми вирішили завдання про коливання струни, уся маса якої | ||
+ | зосереджена в центрі. Для однорідної струни з масою '''m''' і завдовжки '''<math>l_0</math>''' | ||
+ | це занадто глибоке наближення; розумніше замінити її набором із '''N''' кульок з | ||
+ | масою '''''<math>u=m/N</math>''''',розташованих на відстані '''<math>h=l_0/N</math>''' і сполучених нитками, натягнутими силою '''<math>F_0</math>''' (так міркували, зокрема, при виведенні рівнянь | ||
+ | коливань струни Йоганн і Данило Бернуллі). Якщо '''<math>u_k</math>''' - відхилення k-ої | ||
+ | кульки від положення рівноваги, то за умови, що різниця у відхиленнях | ||
+ | сусідніх кульок мала, <math>ua_k=(mh/l_0)*(d^2u_k/dt^2)=F=F_0(u_k+1)-2u_k+u_k-1/h->d^2u_k/dt^2=(F_0l_0/m)*(u_k+1-2u_k+u_k-1/h^2</math> У межі при h →0 отримуємо вже відоме нам хвильове рівняння: <math>d^2u/dt^2-c^2*d^2u/dx^2=0, c^2=F_0l_0/m</math> | ||
+ | Цей висновок рівняння уперше був зроблений Даламбером, який не | ||
+ | лише записав вказане рівняння, але і знайшов його загальне рішення у | ||
+ | вигляді суперпозиції двох хвиль | ||
+ | <math>u=f(x+ct)+g(x-ct)</math> Проте використати це рішення для струни кінцевих розмірів непросто. | ||
+ | Дійсно, після удару по струні управо і вліво йдуть хвилі. Вони доходять до | ||
+ | кінців струни, відбиваються, йдуть у зворотний бік - встановлюється деякий | ||
+ | режим, описувати який за допомогою отриманої формули незручно. | ||
+ | Можливий інший шлях, запропонований Фур'є. Оскільки струна здійснює | ||
+ | коливальні рухи, рішення задачі шукають у виді | ||
+ | <math>u=(Asinwt+Bcoswt)z(x)</math>,що дає у результаті<math>u=SUM(від беск. до n=0(A_n sinw_n t+B_n cosw_t )sin PInx/l_0 </math> | ||
+ | Рішення знайшлося у вигляді суперпозиції стоячих хвиль, для яких на | ||
+ | довжині струни укладається ціле число n півхвиль. Власні значення <math>Lamda_n</math> | ||
+ | визначають, з якою частотою може коливатися струна в конфігурації n-ої | ||
+ | стоячої хвилі, форму якої описує власна функція | ||
+ | <math>z_n=sin(PInx/l_0)</math> Знайдені рішення по виду сильно розрізняються. Рівноправність їх не | ||
+ | очевидна. Це питання стало причиною дискусії в середині XVIII ст. | ||
+ | (суперечка про струну) між Ейлером, Даламбером і Лагранжем. Дискусія | ||
+ | дозволила переконатися не лише в еквівалентності двох рішень(адже | ||
+ | початкове завдання має рішення і воно єдине!), але і краще розібратися в | ||
+ | рівняннях. Рішення, отримане Фур'є, дає можливість з'ясувати | ||
+ | співвідношення безперервного і дискретного в цьому завданні. Якщо ми | ||
+ | маємо автомодельне рішення хвилевого рівняння у вигляді стоячої хвилі <math>u=c_n (t)sin(PInx/l_0),</math> то виявиться, що для різних <math>c_n (t)</math> виходять рівняння <math>d^2C_2(t)/dt^2+w^2_nc_n(t)=0,n=0,1,2,....</math> Але це знову рівняння коливання. Значить, струна виявляється | ||
+ | еквівалентною нескінченній безлічі незалежних вантажів, що коливаються. | ||
+ | Цікаво і інше: у безперервній задачі, що описує коливання струни, є | ||
+ | дискретний набір власних частот. Неперервне і дискретне знову виявляються | ||
+ | тісно пов'язаними. |
Версія за 00:10, 26 травня 2014
Медіа:Зв’язок_неперервного_та_дискретного_на_прикладі_рівняння_коливання_струни..pdf
Питання про рух, перехід поступових кількісних змін в якісні, поява у
цілого властивостей, яких не має жодна із його частинок, є одним із
ключових питань сучасного фундаментального природознавства. Ці питання
мають глибокі філософські коріння. Розвиток природних наук змушує ще і
ще раз повертатися до них. Вчених XIX ст. вразило наявність хвильових
властивостей у світла, який вони уявляли як потік дискретних частин. До
глибокого перегляду фундаментальних понять привело в XX ст. створення
квантової механіки. Виявилось, що дискретні і неперервні властивості
матерії не можна протипоставити один одному, що вони нерозривно зв’язані
між собою. Виявилась і друга важлива обставина. Аналіз багатьох явищ
потребує поєднання дискретного і неперервного підходів. І питання про
співвідношення тих і інших властивостей при побудові теорії виявляється
далеко не простим. Від його успішного вирішення часто залежить, наскільки
глибоко нам вдається розібратися в досліджуваному об'єкті.
Розглянемо задачу, при рішенні якої було розвинуто ряд ключових
ідей. Проведемо аналіз поведінки пружної струни, по якій ударили в
початковий момент часу. Зупинимося раніше на системі, що складається з
точкового вантажу масою m, до якого прикріплені дві однакові пружні
горизонтальні нитки завдовжки Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): l_0/2
,натягнуті силою Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_0
(сила тяжіння
відсутня). При відхиленні вантажу від положення рівноваги з'являється
повертаюча сила, пропорційна відхиленню Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F=-2F_0 sina=4F_0 u/l_0
,тоді згідно з другим законом Ньютона маємо:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): d^2 u/dt^2+w^2u=0, w^2=4F_0/(ml_0)
Рівняння описує коливання з круговою частотою Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): w
:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): u=Asinwt+Bcoswt
де константи А і B визначаються початковими положеннями і швидкістю вантажу. Ми вирішили завдання про коливання струни, уся маса якої зосереджена в центрі. Для однорідної струни з масою m і завдовжки Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): l_0 це занадто глибоке наближення; розумніше замінити її набором із N кульок з масою Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): u=m/N ,розташованих на відстані Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): h=l_0/N і сполучених нитками, натягнутими силою Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_0 (так міркували, зокрема, при виведенні рівнянь коливань струни Йоганн і Данило Бернуллі). Якщо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): u_k - відхилення k-ої кульки від положення рівноваги, то за умови, що різниця у відхиленнях сусідніх кульок мала, Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ua_k=(mh/l_0)*(d^2u_k/dt^2)=F=F_0(u_k+1)-2u_k+u_k-1/h->d^2u_k/dt^2=(F_0l_0/m)*(u_k+1-2u_k+u_k-1/h^2
У межі при h →0 отримуємо вже відоме нам хвильове рівняння: Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): d^2u/dt^2-c^2*d^2u/dx^2=0, c^2=F_0l_0/m
Цей висновок рівняння уперше був зроблений Даламбером, який не лише записав вказане рівняння, але і знайшов його загальне рішення у вигляді суперпозиції двох хвиль Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): u=f(x+ct)+g(x-ct)
Проте використати це рішення для струни кінцевих розмірів непросто.
Дійсно, після удару по струні управо і вліво йдуть хвилі. Вони доходять до кінців струни, відбиваються, йдуть у зворотний бік - встановлюється деякий режим, описувати який за допомогою отриманої формули незручно. Можливий інший шлях, запропонований Фур'є. Оскільки струна здійснює коливальні рухи, рішення задачі шукають у виді Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): u=(Asinwt+Bcoswt)z(x) ,що дає у результатіНеможливо розібрати вираз (невідома помилка): u=SUM(від беск. до n=0(A_n sinw_n t+B_n cosw_t )sin PInx/l_0
Рішення знайшлося у вигляді суперпозиції стоячих хвиль, для яких на довжині струни укладається ціле число n півхвиль. Власні значення Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): Lamda_n
визначають, з якою частотою може коливатися струна в конфігурації n-ої стоячої хвилі, форму якої описує власна функція Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): z_n=sin(PInx/l_0)
Знайдені рішення по виду сильно розрізняються. Рівноправність їх не
очевидна. Це питання стало причиною дискусії в середині XVIII ст. (суперечка про струну) між Ейлером, Даламбером і Лагранжем. Дискусія дозволила переконатися не лише в еквівалентності двох рішень(адже початкове завдання має рішення і воно єдине!), але і краще розібратися в рівняннях. Рішення, отримане Фур'є, дає можливість з'ясувати співвідношення безперервного і дискретного в цьому завданні. Якщо ми маємо автомодельне рішення хвилевого рівняння у вигляді стоячої хвилі Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): u=c_n (t)sin(PInx/l_0),
то виявиться, що для різних Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): c_n (t) виходять рівняння Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): d^2C_2(t)/dt^2+w^2_nc_n(t)=0,n=0,1,2,.... Але це знову рівняння коливання. Значить, струна виявляється
еквівалентною нескінченній безлічі незалежних вантажів, що коливаються. Цікаво і інше: у безперервній задачі, що описує коливання струни, є дискретний набір власних частот. Неперервне і дискретне знову виявляються тісно пов'язаними.