Відмінності між версіями «Детермінована задача, еквівалентна до двохетапної задачі СП.»
| Рядок 1: | Рядок 1: | ||
| − | Побудуємо детерміновану задачу, еквівалентну до двохетапної задачі стохастичного програмування. Розв'язком еквівалентної задачі є попередній план ''х''. По складовим оптимального попереднього плану і реалізаціям ппараметрів умов будується задача другого етапу - задача лінійного програмування, розв'язок якої визначає необхідну компенсацію плану. | + | <font size=3> Побудуємо детерміновану задачу, еквівалентну до двохетапної задачі стохастичного програмування. Розв'язком еквівалентної задачі є попередній план ''х''. По складовим оптимального попереднього плану і реалізаціям ппараметрів умов будується задача другого етапу - задача лінійного програмування, розв'язок якої визначає необхідну компенсацію плану.</font> |
| − | Еквівалентна детермінована задача має вигляд | + | <font size=3> Еквівалентна детермінована задача має вигляд </font> |
<math> \min_{x\in K}Q(x) </math>. | <math> \min_{x\in K}Q(x) </math>. | ||
| − | Дотепер ми вивчали область визначення ''K'' попередніх планів двохетапної задачі. Дослідимо тепер цільовий функціонал ''Q(x)'' - показник якості попереднього плану. | + | <font size=3> Дотепер ми вивчали область визначення ''K'' попередніх планів двохетапної задачі. Дослідимо тепер цільовий функціонал ''Q(x)'' - показник якості попереднього плану.</font> |
| − | Виразимо ''Q(x)'' через статистичні характеристики параметрів умов задачі і доведемо, що детермінована задача, еквівалентна задачі СП, є задачею опуклого програмуваня. | + | <font size=3> Виразимо ''Q(x)'' через статистичні характеристики параметрів умов задачі і доведемо, що детермінована задача, еквівалентна задачі СП, є задачею опуклого програмуваня.</font> |
| − | '''Розглянемо задачу другого етапу''' | + | <font size=3> '''Розглянемо задачу другого етапу'''</font> |
<math> P(x, A, b)=\min_{\ y}q(y) (3.4)</math> | <math> P(x, A, b)=\min_{\ y}q(y) (3.4)</math> | ||
| Рядок 16: | Рядок 16: | ||
<math> y \geqslant 0 (3.6)</math> | <math> y \geqslant 0 (3.6)</math> | ||
| − | та двоїсту до неї | + | <font size=3> та двоїсту до неї </font> |
<math> Q(x, A, b)=\max_{\ z}z(b-Ax) (3.8)</math> | <math> Q(x, A, b)=\max_{\ z}z(b-Ax) (3.8)</math> | ||
| Рядок 22: | Рядок 22: | ||
<math> zB \leqslant q</math> (3.9) | <math> zB \leqslant q</math> (3.9) | ||
| − | для кожного ''x, A, b''. | + | <font size=3> для кожного ''x, A, b''. </font> |
| − | Будемо вважати, що задача другого етапу, а отже, і двоїста до неї задачі розв'язні. | + | <font size=3> Будемо вважати, що задача другого етапу, а отже, і двоїста до неї задачі розв'язні.</font> |
| − | За теоремою двоїстості для лінійного програмування | + | <font size=3> За теоремою двоїстості для лінійного програмування </font> |
<math> P(x, A, b)= Q(x, A, b)= z*(A, b, x)(b-Ax) </math>, | <math> P(x, A, b)= Q(x, A, b)= z*(A, b, x)(b-Ax) </math>, | ||
| − | де ''z*(A, b, x)'' - розв'язок задачі (3.8)-(3.9). | + | <font size=3> де ''z*(A, b, x)'' - розв'язок задачі (3.8)-(3.9).</font> |
| − | Враховуючи введені позначення, можна тепер двохетапну задачу (1.8)-(1.10) переписати наступним чином: | + | <font size=3> Враховуючи введені позначення, можна тепер двохетапну задачу (1.8)-(1.10) переписати наступним чином:</font> |
<math> \min_{x\in K}Q(x)=\min_{x\in K}{\bar{c}x+MQ(x, A, b)} </math> | <math> \min_{x\in K}Q(x)=\min_{x\in K}{\bar{c}x+MQ(x, A, b)} </math> | ||
| − | або | + | <font size=3> або </font> |
<math> \bar{c}x+M[z*(A, b, x)(b-Ax)]\rightarrow min, </math> (4.1) | <math> \bar{c}x+M[z*(A, b, x)(b-Ax)]\rightarrow min, </math> (4.1) | ||
| Рядок 42: | Рядок 42: | ||
<math> x \in K</math> | <math> x \in K</math> | ||
| − | Має місце твердження. | + | <font size=3> Має місце твердження.</font> |
| − | '''Теорема 4.1.''' Нехай матриця ''B'' задовольняє умовам теореми 3.3 і множина планів задачі (3.8)-(3.90) не порожня. Тоді цільова функція (4.1) еквівалентної детермінованої задачі скінченна для будь-якого <math> x \in K_2</math>. | + | <font size=3> '''Теорема 4.1.''' Нехай матриця ''B'' задовольняє умовам теореми 3.3 і множина планів задачі (3.8)-(3.90) не порожня. Тоді цільова функція (4.1) еквівалентної детермінованої задачі скінченна для будь-якого <math> x \in K_2</math>. </font> |
| − | Наступне твердження є ''теоретичною основою'' для побудови чисельних методів розв'язання двохетапної задачі. | + | <font size=3> Наступне твердження є ''теоретичною основою'' для побудови чисельних методів розв'язання двохетапної задачі. </font> |
| − | '''Теорема 4.2.''' Детермінована задача (4.1)-(4.2), еквівалентна двохетапній задачі (1.8)-(1.10), є задачею опуклого програмування. | + | <font size=3> '''Теорема 4.2.''' Детермінована задача (4.1)-(4.2), еквівалентна двохетапній задачі (1.8)-(1.10), є задачею опуклого програмування. </font> |
| − | Зауважимо, що з опуклості функції ''Q(x)'' випливає її неперервність у всіх внутрішніх точках опуклої множини ''К''. | + | <font size=3> Зауважимо, що з опуклості функції ''Q(x)'' випливає її неперервність у всіх внутрішніх точках опуклої множини ''К''. </font> |
| − | Для побудови методів розв'язання двохетапної задачі доцільно знайти вираз для опорного функціоналу до ''Q(x)'' і встановити умови диференційованості ''Q(x)''. | + | <font size=3> Для побудови методів розв'язання двохетапної задачі доцільно знайти вираз для опорного функціоналу до ''Q(x)'' і встановити умови диференційованості ''Q(x)''. </font> |
| − | Нагадаємо, що лінійний функціонал ''l'' називається опорним для опуклого вниз функціоналу <math> \phi (\lambda)</math> (субградієнтом до <math> \phi (\lambda)</math>) у точці <math> \lambda_0 \in \Lambda</math>, якщо <math> \phi (\lambda)-\phi (\lambda_0) \geq (l, \lambda-\lambda_0)</math> при всіх <math> \lambda \in \Lambda </math>. | + | <font size=3> Нагадаємо, що лінійний функціонал ''l'' називається опорним для опуклого вниз функціоналу <math> \phi (\lambda)</math> (субградієнтом до <math> \phi (\lambda)</math>) у точці <math> \lambda_0 \in \Lambda</math>, якщо <math> \phi (\lambda)-\phi (\lambda_0) \geq (l, \lambda-\lambda_0)</math> при всіх <math> \lambda \in \Lambda </math>. </font> |
| − | + | ||
| − | '''Теорема 4.3.''' Функціонал | + | <font size=3> '''Теорема 4.3.''' Функціонал </font> |
<math> M{c-z^*(A, b, x_0)A}=\int\limits_{\Omega}{c(\omega)-z^*[A(\omega), b(\omega), x_0]A(\omega)}dp </math> | <math> M{c-z^*(A, b, x_0)A}=\int\limits_{\Omega}{c(\omega)-z^*[A(\omega), b(\omega), x_0]A(\omega)}dp </math> | ||
| − | є опорним до цільового функціоналу (4.1) еквівалентної детермінованої задачі у точці <math> x_0 \in K </math>. | + | <font size=3> є опорним до цільового функціоналу (4.1) еквівалентної детермінованої задачі у точці <math> x_0 \in K </math>. </font> |
| − | '''Доведення'''. Функція ''z^*(A, b, x)'' за означенням є розв'язком задачі (3.8)-(3.9) для заданого <math> x \in K</math> і фіксованого ''A'' i ''b''. Звідси, | + | <font size=3> '''Доведення'''. Функція ''z^*(A, b, x)'' за означенням є розв'язком задачі (3.8)-(3.9) для заданого <math> x \in K</math> і фіксованого ''A'' i ''b''. Звідси, </font> |
<math> cx+z^*(A, b, x)(b-Ax) \geq cx+z^*(a, b, x_0)(b-Ax) </math>, | <math> cx+z^*(A, b, x)(b-Ax) \geq cx+z^*(a, b, x_0)(b-Ax) </math>, | ||
| − | або, що те ж саме, | + | <font size=3> або, що те ж саме, </font> |
<math> [c-z^*(A, b, x)A]x+z^*(A, b, x)b \geq [c-z^*(A, b, x)A]x+z^*(A, b, x_0)b </math>. | <math> [c-z^*(A, b, x)A]x+z^*(A, b, x)b \geq [c-z^*(A, b, x)A]x+z^*(A, b, x_0)b </math>. | ||
| − | За означенням | + | <font size=3> За означенням </font> |
<math> Q(x)=\bar{c}x+\int\limits_{\Omega}z^*(A, b, x)(b-Ax)dp </math>. | <math> Q(x)=\bar{c}x+\int\limits_{\Omega}z^*(A, b, x)(b-Ax)dp </math>. | ||
| − | Тому з останньої рівності випливає, що | + | <font size=3> Тому з останньої рівності випливає, що </font> |
<math> Q(x) \geq \int\limits_{\Omega}[c-z^*(A, b, x_0)A]xdp+\int\limits_{\Omega}z^*(A, b, x_0)bdp </math>. | <math> Q(x) \geq \int\limits_{\Omega}[c-z^*(A, b, x_0)A]xdp+\int\limits_{\Omega}z^*(A, b, x_0)bdp </math>. | ||
| − | З іншої сторони, | + | <font size=3> З іншої сторони, </font> |
<math> Q(x_0) = \int\limits_{\Omega}[c-z^*(A, b, x_0)A]x_0dp+\int\limits_{\Omega}z^*(A, b, x_0)bdp </math>. | <math> Q(x_0) = \int\limits_{\Omega}[c-z^*(A, b, x_0)A]x_0dp+\int\limits_{\Omega}z^*(A, b, x_0)bdp </math>. | ||
| − | Звідси випливає, що | + | <font size=3> Звідси випливає, що </font> |
<math> Q(x)-Q(x_0)\geq \int\limits_{\Omega}[c-z^*(A, b, x_0)A]xdp \cdot (x-x_0) </math>, (4.3) | <math> Q(x)-Q(x_0)\geq \int\limits_{\Omega}[c-z^*(A, b, x_0)A]xdp \cdot (x-x_0) </math>, (4.3) | ||
| − | що й треба було довести. | + | <font size=3> що й треба було довести. </font> |
| − | Якщо виконуються умови теореми 4.1 і ймовірнісна міра у просторі ''A'', ''b'' абсолютно неперервні відносно міри Лебега у просторі ''A'', ''b'', (тобто ймовірність попасти у шар достатньо малого радіуса скільки завгодно мала), то цільова функція ''Q(x)'' еквівалентної детермінованої задачі всюди на ''K'' неперервно диференційована. | + | <font size=3> Якщо виконуються умови теореми 4.1 і ймовірнісна міра у просторі ''A'', ''b'' абсолютно неперервні відносно міри Лебега у просторі ''A'', ''b'', (тобто ймовірність попасти у шар достатньо малого радіуса скільки завгодно мала), то цільова функція ''Q(x)'' еквівалентної детермінованої задачі всюди на ''K'' неперервно диференційована. </font> |
Версія за 19:58, 22 березня 2014
Побудуємо детерміновану задачу, еквівалентну до двохетапної задачі стохастичного програмування. Розв'язком еквівалентної задачі є попередній план х. По складовим оптимального попереднього плану і реалізаціям ппараметрів умов будується задача другого етапу - задача лінійного програмування, розв'язок якої визначає необхідну компенсацію плану.
Еквівалентна детермінована задача має вигляд Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \min_{x\in K}Q(x) .
Дотепер ми вивчали область визначення K попередніх планів двохетапної задачі. Дослідимо тепер цільовий функціонал Q(x) - показник якості попереднього плану.
Виразимо Q(x) через статистичні характеристики параметрів умов задачі і доведемо, що детермінована задача, еквівалентна задачі СП, є задачею опуклого програмуваня.
Розглянемо задачу другого етапу
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P(x, A, b)=\min_{\ y}q(y) (3.4)
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): By=b-Ax (3.5)
,
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y \geqslant 0 (3.6)
та двоїсту до неї
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): Q(x, A, b)=\max_{\ z}z(b-Ax) (3.8)
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): zB \leqslant q
(3.9)
для кожного x, A, b.
Будемо вважати, що задача другого етапу, а отже, і двоїста до неї задачі розв'язні.
За теоремою двоїстості для лінійного програмування
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P(x, A, b)= Q(x, A, b)= z*(A, b, x)(b-Ax) ,
де z*(A, b, x) - розв'язок задачі (3.8)-(3.9).
Враховуючи введені позначення, можна тепер двохетапну задачу (1.8)-(1.10) переписати наступним чином:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \min_{x\in K}Q(x)=\min_{x\in K}{\bar{c}x+MQ(x, A, b)}
або
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \bar{c}x+M[z*(A, b, x)(b-Ax)]\rightarrow min,
(4.1)
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x \in K
Має місце твердження.
Теорема 4.1. Нехай матриця B задовольняє умовам теореми 3.3 і множина планів задачі (3.8)-(3.90) не порожня. Тоді цільова функція (4.1) еквівалентної детермінованої задачі скінченна для будь-якого Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x \in K_2 .
Наступне твердження є теоретичною основою для побудови чисельних методів розв'язання двохетапної задачі.
Теорема 4.2. Детермінована задача (4.1)-(4.2), еквівалентна двохетапній задачі (1.8)-(1.10), є задачею опуклого програмування.
Зауважимо, що з опуклості функції Q(x) випливає її неперервність у всіх внутрішніх точках опуклої множини К.
Для побудови методів розв'язання двохетапної задачі доцільно знайти вираз для опорного функціоналу до Q(x) і встановити умови диференційованості Q(x).
Нагадаємо, що лінійний функціонал l називається опорним для опуклого вниз функціоналу Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \phi (\lambda)
(субградієнтом до Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \phi (\lambda)
) у точці Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \lambda_0 \in \Lambda , якщо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \phi (\lambda)-\phi (\lambda_0) \geq (l, \lambda-\lambda_0)
при всіх Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \lambda \in \Lambda
.
Теорема 4.3. Функціонал
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): M{c-z^*(A, b, x_0)A}=\int\limits_{\Omega}{c(\omega)-z^*[A(\omega), b(\omega), x_0]A(\omega)}dp
є опорним до цільового функціоналу (4.1) еквівалентної детермінованої задачі у точці Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x_0 \in K
.
Доведення. Функція z^*(A, b, x) за означенням є розв'язком задачі (3.8)-(3.9) для заданого Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x \in K
і фіксованого A i b. Звідси,
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): cx+z^*(A, b, x)(b-Ax) \geq cx+z^*(a, b, x_0)(b-Ax) ,
або, що те ж саме,
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): [c-z^*(A, b, x)A]x+z^*(A, b, x)b \geq [c-z^*(A, b, x)A]x+z^*(A, b, x_0)b .
За означенням
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): Q(x)=\bar{c}x+\int\limits_{\Omega}z^*(A, b, x)(b-Ax)dp .
Тому з останньої рівності випливає, що
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): Q(x) \geq \int\limits_{\Omega}[c-z^*(A, b, x_0)A]xdp+\int\limits_{\Omega}z^*(A, b, x_0)bdp .
З іншої сторони,
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): Q(x_0) = \int\limits_{\Omega}[c-z^*(A, b, x_0)A]x_0dp+\int\limits_{\Omega}z^*(A, b, x_0)bdp .
Звідси випливає, що
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): Q(x)-Q(x_0)\geq \int\limits_{\Omega}[c-z^*(A, b, x_0)A]xdp \cdot (x-x_0) , (4.3)
що й треба було довести.
Якщо виконуються умови теореми 4.1 і ймовірнісна міра у просторі A, b абсолютно неперервні відносно міри Лебега у просторі A, b, (тобто ймовірність попасти у шар достатньо малого радіуса скільки завгодно мала), то цільова функція Q(x) еквівалентної детермінованої задачі всюди на K неперервно диференційована.
