Відмінності між версіями «Рівняння Нерозривності»
| (не показані 2 проміжні версії цього учасника) | |||
| Рядок 4: | Рядок 4: | ||
<math>p\cdot V\cdot dx\cdot dy</math> - маса рідини, яка витікає з грань <math>\textbf{\textit{xz}}</math>. <br><br> | <math>p\cdot V\cdot dx\cdot dy</math> - маса рідини, яка витікає з грань <math>\textbf{\textit{xz}}</math>. <br><br> | ||
| − | <math>[pV+dy\cdot \frac{\partial(pV)}{dy}]dx\cdot dz</math> - маса рідини, яка витікає з <math>\textbf{\textit{xz}}</math>: <br><math>\frac{\partial(pV)}{dy}</math> - приріст <math>\textbf{\textit{pV}}</math><br><br> | + | <math>[pV+dy\cdot \frac{\partial(pV)}{dy}]dx\cdot dz</math> - маса рідини, яка витікає з <math>\textbf{\textit{xz}}</math>: <br><br><math>\frac{\partial(pV)}{dy}</math> - приріст <math>\textbf{\textit{pV}}</math><br><br> |
Вздовж осі <math>\textbf{\textit{Oy}}</math> маса рідини змінилася на величину:<br><br> | Вздовж осі <math>\textbf{\textit{Oy}}</math> маса рідини змінилася на величину:<br><br> | ||
| Рядок 10: | Рядок 10: | ||
<math>\begin{cases} \frac{\partial(pV)}{dy}dx\cdot dy\cdot dz\\ \frac{\partial(pW)}{dz}dx\cdot dy\cdot dz\\ \frac{\partial(pU)}{dx}dx\cdot dy\cdot dz\end{cases}</math><br><br> | <math>\begin{cases} \frac{\partial(pV)}{dy}dx\cdot dy\cdot dz\\ \frac{\partial(pW)}{dz}dx\cdot dy\cdot dz\\ \frac{\partial(pU)}{dx}dx\cdot dy\cdot dz\end{cases}</math><br><br> | ||
Приріст маси:<br><br> | Приріст маси:<br><br> | ||
| − | <math>[\frac{\partial(pU)}{dx}+\frac{\partial(pV)}{dy}+\frac{\partial(pW)}{dz}]dx\cdot dy\cdot dz</math><br> | + | <math>[\frac{\partial(pU)}{dx}+\frac{\partial(pV)}{dy}+\frac{\partial(pW)}{dz}]dx\cdot dy\cdot dz</math><br><br> |
З іншого боку, приріст маси може отриматись за рахунок змінної густини<br><br> | З іншого боку, приріст маси може отриматись за рахунок змінної густини<br><br> | ||
<math>dm=-\frac{\partial p}{\partial t}dx\cdot dy\cdot dz</math><br><br> | <math>dm=-\frac{\partial p}{\partial t}dx\cdot dy\cdot dz</math><br><br> | ||
| Рядок 17: | Рядок 17: | ||
<math>\frac{\partial p}{\partial t}+div\quad p\overrightarrow{V}=0</math><br><br> | <math>\frac{\partial p}{\partial t}+div\quad p\overrightarrow{V}=0</math><br><br> | ||
за умови, що <math>p\neq const</math>.<br><br> | за умови, що <math>p\neq const</math>.<br><br> | ||
| − | Припустимо <math>p=const</math>, тоді рівняння нерозривності<br> | + | Припустимо <math>p=const</math>, тоді рівняння нерозривності<br><br> |
<math>div \vec{V}=0</math><br><br> | <math>div \vec{V}=0</math><br><br> | ||
<math>\frac{\partial U}{\partial x}+\frac{\partial V}{\partial y}+\frac{\partial W}{\partial z}=0</math><br><br> | <math>\frac{\partial U}{\partial x}+\frac{\partial V}{\partial y}+\frac{\partial W}{\partial z}=0</math><br><br> | ||
Це рівняння доповнює систему рівнянь Ейлера до замкнутої системи чотирьох рівнянь відносно чотирьох невідомих функцій. | Це рівняння доповнює систему рівнянь Ейлера до замкнутої системи чотирьох рівнянь відносно чотирьох невідомих функцій. | ||
Поточна версія на 08:32, 5 червня 2009
Спираючись на закон збереження маси, отримаємо рівняння нерозривності, яке замикає систему рівнянь Ейлера.
Припустимо, що рідина рухається без виникнення пустот. Виділимо елементарний об’єм.
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): p\cdot V\cdot dx\cdot dy
- маса рідини, яка витікає з грань Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \textbf{\textit{xz}}
.
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): [pV+dy\cdot \frac{\partial(pV)}{dy}]dx\cdot dz
- маса рідини, яка витікає з Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \textbf{\textit{xz}}
-
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \frac{\partial(pV)}{dy}
- приріст Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \textbf{\textit{pV}}
Вздовж осі Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \textbf{\textit{Oy}}
маса рідини змінилася на величину:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \begin{cases} \frac{\partial(pV)}{dy}dx\cdot dy\cdot dz\\ \frac{\partial(pW)}{dz}dx\cdot dy\cdot dz\\ \frac{\partial(pU)}{dx}dx\cdot dy\cdot dz\end{cases}
Приріст маси:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): [\frac{\partial(pU)}{dx}+\frac{\partial(pV)}{dy}+\frac{\partial(pW)}{dz}]dx\cdot dy\cdot dz
З іншого боку, приріст маси може отриматись за рахунок змінної густини
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): dm=-\frac{\partial p}{\partial t}dx\cdot dy\cdot dz
Отже, можна отримати рівняння нерозривності у одному з виглядів
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \frac{\partial(pU)}{dx}+\frac{\partial(pV)}{dy}+\frac{\partial(pW)}{dz}=-\frac{\partial p}{\partial t}
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \frac{\partial p}{\partial t}+div\quad p\overrightarrow{V}=0
за умови, що Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): p\neq const
.
Припустимо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): p=const
, тоді рівняння нерозривності
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): div \vec{V}=0
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \frac{\partial U}{\partial x}+\frac{\partial V}{\partial y}+\frac{\partial W}{\partial z}=0
Це рівняння доповнює систему рівнянь Ейлера до замкнутої системи чотирьох рівнянь відносно чотирьох невідомих функцій.
