Відмінності між версіями «Рівняння Нерозривності»
| (не показано 12 проміжних версій цього учасника) | |||
| Рядок 1: | Рядок 1: | ||
[[Файл:Grafik_1.JPG|200px|thumb|left|Елементарний об`єм в 3D]] | [[Файл:Grafik_1.JPG|200px|thumb|left|Елементарний об`єм в 3D]] | ||
Спираючись на <b>закон збереження маси</b>, отримаємо рівняння нерозривності, яке замикає систему рівнянь <b>Ейлера</b>.<br> | Спираючись на <b>закон збереження маси</b>, отримаємо рівняння нерозривності, яке замикає систему рівнянь <b>Ейлера</b>.<br> | ||
| − | Припустимо, що рідина рухається без виникнення пустот. Виділимо елементарний об’єм. | + | Припустимо, що рідина рухається без виникнення пустот. Виділимо елементарний об’єм.<br><br> |
| − | <math>p\cdot V\cdot dx\cdot dy</math> - маса рідини, яка витікає з грань <math>\textbf{\textit{xz}}</math>. <br> | + | <math>p\cdot V\cdot dx\cdot dy</math> - маса рідини, яка витікає з грань <math>\textbf{\textit{xz}}</math>. <br><br> |
| − | <math>[pV+dy\cdot \frac{\partial(pV)}{dy}]dx\cdot dz</math> - маса рідини, яка витікає з <math>\textbf{\textit{xz}}</math>: <math>\frac{\partial(pV)}{dy}</math> - приріст <math>\textbf{\textit{pV}}</math><br> | + | <math>[pV+dy\cdot \frac{\partial(pV)}{dy}]dx\cdot dz</math> - маса рідини, яка витікає з <math>\textbf{\textit{xz}}</math>: <br><br><math>\frac{\partial(pV)}{dy}</math> - приріст <math>\textbf{\textit{pV}}</math><br><br> |
| − | Вздовж осі <math>\textbf{\textit{Oy}}</math> маса рідини змінилася на величину: | + | Вздовж осі <math>\textbf{\textit{Oy}}</math> маса рідини змінилася на величину:<br><br> |
| − | <math>\begin{cases} \frac{\partial(pV)}{dy}dx\cdot dy\cdot dz\\ \frac{\partial(pW)}{dz}dx\cdot dy\cdot dz\\ \frac{\partial(pU)}{dx}dx\cdot dy\cdot dz\end{cases}</math><br> | + | <math>\begin{cases} \frac{\partial(pV)}{dy}dx\cdot dy\cdot dz\\ \frac{\partial(pW)}{dz}dx\cdot dy\cdot dz\\ \frac{\partial(pU)}{dx}dx\cdot dy\cdot dz\end{cases}</math><br><br> |
| − | Приріст маси:<br> | + | Приріст маси:<br><br> |
| − | <math>[\frac{\partial(pU)}{dx}+\frac{\partial(pV)}{dy}+\frac{\partial(pW)}{dz}]dx\cdot dy\cdot dz</math> | + | <math>[\frac{\partial(pU)}{dx}+\frac{\partial(pV)}{dy}+\frac{\partial(pW)}{dz}]dx\cdot dy\cdot dz</math><br><br> |
| − | З іншого боку, приріст маси може отриматись за рахунок змінної густини | + | З іншого боку, приріст маси може отриматись за рахунок змінної густини<br><br> |
| − | <math>dm=-\frac{\partial p}{\partial t}dx\cdot dy\cdot dz</math> | + | <math>dm=-\frac{\partial p}{\partial t}dx\cdot dy\cdot dz</math><br><br> |
| − | Отже, можна отримати рівняння нерозривності у одному з виглядів | + | Отже, можна отримати рівняння нерозривності у одному з виглядів<br><br> |
| − | <math>\frac{\partial(pU)}{dx}+\frac{\partial(pV)}{dy}+\frac{\partial(pW)}{dz}=-\frac{\partial p}{\partial t}</math> | + | <math>\frac{\partial(pU)}{dx}+\frac{\partial(pV)}{dy}+\frac{\partial(pW)}{dz}=-\frac{\partial p}{\partial t}</math><br><br> |
| − | <math>frac{\partial p}{\partial t}+div\quad p\overrightarrow{V}=0</math> | + | <math>\frac{\partial p}{\partial t}+div\quad p\overrightarrow{V}=0</math><br><br> |
| − | за умови, що <math>p\neq const</math>. | + | за умови, що <math>p\neq const</math>.<br><br> |
| − | Припустимо | + | Припустимо <math>p=const</math>, тоді рівняння нерозривності<br><br> |
| − | == | + | <math>div \vec{V}=0</math><br><br> |
| + | <math>\frac{\partial U}{\partial x}+\frac{\partial V}{\partial y}+\frac{\partial W}{\partial z}=0</math><br><br> | ||
| + | Це рівняння доповнює систему рівнянь Ейлера до замкнутої системи чотирьох рівнянь відносно чотирьох невідомих функцій. | ||
Поточна версія на 08:32, 5 червня 2009
Спираючись на закон збереження маси, отримаємо рівняння нерозривності, яке замикає систему рівнянь Ейлера.
Припустимо, що рідина рухається без виникнення пустот. Виділимо елементарний об’єм.
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): p\cdot V\cdot dx\cdot dy
- маса рідини, яка витікає з грань Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \textbf{\textit{xz}}
.
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): [pV+dy\cdot \frac{\partial(pV)}{dy}]dx\cdot dz
- маса рідини, яка витікає з Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \textbf{\textit{xz}}
-
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \frac{\partial(pV)}{dy}
- приріст Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \textbf{\textit{pV}}
Вздовж осі Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \textbf{\textit{Oy}}
маса рідини змінилася на величину:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \begin{cases} \frac{\partial(pV)}{dy}dx\cdot dy\cdot dz\\ \frac{\partial(pW)}{dz}dx\cdot dy\cdot dz\\ \frac{\partial(pU)}{dx}dx\cdot dy\cdot dz\end{cases}
Приріст маси:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): [\frac{\partial(pU)}{dx}+\frac{\partial(pV)}{dy}+\frac{\partial(pW)}{dz}]dx\cdot dy\cdot dz
З іншого боку, приріст маси може отриматись за рахунок змінної густини
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): dm=-\frac{\partial p}{\partial t}dx\cdot dy\cdot dz
Отже, можна отримати рівняння нерозривності у одному з виглядів
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \frac{\partial(pU)}{dx}+\frac{\partial(pV)}{dy}+\frac{\partial(pW)}{dz}=-\frac{\partial p}{\partial t}
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \frac{\partial p}{\partial t}+div\quad p\overrightarrow{V}=0
за умови, що Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): p\neq const
.
Припустимо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): p=const
, тоді рівняння нерозривності
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): div \vec{V}=0
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \frac{\partial U}{\partial x}+\frac{\partial V}{\partial y}+\frac{\partial W}{\partial z}=0
Це рівняння доповнює систему рівнянь Ейлера до замкнутої системи чотирьох рівнянь відносно чотирьох невідомих функцій.
