Rtr - Історія редагувань

Яременко Сергій: Сторінка очищена

2011-10-22T14:55:27Z

Сторінка очищена

Яременко Сергій в 14:53, 22 жовтня 2011

2011-10-22T14:53:33Z

Яременко Сергій в 14:51, 22 жовтня 2011

2011-10-22T14:51:41Z

Яременко Сергій в 14:48, 22 жовтня 2011

2011-10-22T14:48:42Z

Яременко Сергій: /* Позиційна система */

2011-10-22T14:47:24Z

‎Позиційна система

Яременко Сергій: /* Непозиційна система */

2011-10-22T14:44:55Z

‎Непозиційна система

Яременко Сергій в 14:41, 22 жовтня 2011

2011-10-22T14:41:05Z

Яременко Сергій: Створена сторінка: {{Системи числення}} '''Систе́ма чи́слення''' ({{lang-en|number (numeration) system, notation}}) - сукупність спосо...

2011-10-22T14:39:51Z

Створена сторінка: {{Системи числення}} '''Систе́ма чи́слення''' ({{lang-en|number (numeration) system, notation}}) - сукупність спосо...

Нова сторінка

{{Системи числення}}
'''Систе́ма чи́слення''' ({{lang-en|number (numeration) system, notation}}) - сукупність способів і засобів запису чисел для проведення підрахунків.

Розрізняють такі типи систем числення:
* '''''позиційні'''''
* '''''змішані'''''
* '''''непозиційні'''''

== Позиційна система ==
{{main|Позиційні системи числення}}
У позиційних системах числення одна і та ж цифра (''числовий знак'') у записі числа набуває різних значень залежно від своєї позиції. Таким чином, позиція цифри має вагу у числі. Здебільшого вага кожної позиції кратна деякому [[Натуральні числа|натуральному числу]] <math>b</math>, <math>b>1</math>, яке називається ''основою'' системи числення.

Наприклад, якщо '''b''' - натуральне число (<math>b > 1</math>), то для представлення числа ''x'' у системі числення з основою ''b'' його подають у вигляді [[Векторний простір|лінійної комбінації]] [[Степінь|степенів]] числа ''b'':
: <math>x = \sum_{k=0}^n a_k b^k</math>, де <math>a_k</math> — цілі, <math>0 \leq a_k < b</math>

Іншими словами, основа - це кількість символів, що використовуються при записуванні чисел.

;Приклад
Наприклад, число «двісті чотири» представляється у десятковій системі числення у вигляді:
: <math> 204 = 2 \cdot 10^{2} + 0 \cdot 10^{1} + 4 \cdot 10^{0}</math>

Використовуючи позиційний принцип, можна зобразити будь-яке [[Дійсні числа|дійсне число]] за допомогою усього лиш десяти цифр у їх різних комбінаціях.

== Змішана система ==
'''Змішана система числення''' є узагальненням системи числення з основою <math>b</math> і її часто відносять до позиційних систем числення. Основою змішаної системи є послідовність чисел, що зростає, <math>\{b_k\}_{k=0}^{\infty}</math> і кожне число <math>x</math> представляється як [[Векторний простір|лінійна комбінація]]:
:<math>x = \sum_{k=0}^n a_{k}b_k</math>, де на коефіцієнти <math>a_{k}</math> (''цифри'') накладаються деякі обмеження.

Якщо <math>b_k=b^k</math> для деякого <math>b</math>, то змішана система збігається з <math>b</math>-основною системою числення.

Найвідомішим прикладом змішаної системи числення є представлення часу у вигляді кількості діб, годин, хвилин і секунд. При цьому величина ''d днів h годин m хвилин s секунд'' відповідає значенню <math>d\cdot 24\cdot 60\cdot 60 + h\cdot 60\cdot 60 + m\cdot 60 + s</math> секунд.

=== Система числення Фібоначчі ===
Представлення засновується на [[Числа Фібоначчі|числах Фібоначчі]]:
:<math>x = \sum_{k=0}^n f_k F_k</math>, де <math>F_k</math> — числа Фібоначчі, <math>f_k\in\{0,1\}</math>, при цьому у записі <math>f_nf_{n-1}\dots f_0</math> не зустрічаються дві одиниці підряд.

=== Факторіальна система числення ===
Представлення використовує [[факторіал]] натуальних чисел:
:<math>x = \sum_{k=1}^n d_k k!</math>, де <math>0\leq d_k \leq k</math>.

=== Біноміальна система числення ===
Представлення використовує [[Біноміальний коефіцієнт|біноміальні коефіцієнти]]:
:<math>x = \sum_{k=1}^n {c_k\choose k}</math>, де <math>0\leq c_1 < c_2 < \dots < c_n</math>.

=== Система числення майя ===
[[Майя (цивілізація)|Майя]] використовували двадцяткову систему числення за одним вийнятком: у другому розряді було не 20, а 18 ступенів, тобто після числа (17)(19) відразу йшло число (1)(0)(0). Це було зроблено для полегшення розрахунків календарного циклу, оскільки (1)(0)(0) дорівнювало 360, що приблизно дорівнює кількості днів у сонячному році.

== Непозиційна система ==
{{main|Непозиційні системи числення}}
У непозиційних системах числення величина, яку позначає цифра, не залежить від позиції її у числі. При цьому система може накладати обмеження на позиції цифр, наприклад, щоб вони були
розташовані по спаданню, чи згруповані за значенням. Проте це не є принциповою умовою для розуміння записаних такими системами чисел.

Типовим прикладом непозиційної системи числення є [[Римська система цифр|римська система числення]], в якій у якості цифр використовуються латинські букви:

{| align="center" class="standard"
|+
! |Римська цифра
! |Десяткове значення
|-----
| I
| 1
|-----
| V
| 5
|-----
| X
| 10
|-----
| L
| 50
|-----
| C
| 100
|-----
| D
| 500
|-----
| M
| 1000
|+
|}

Наприклад, VII = 5 + 1 + 1 = 7. Тут символи V і I означають 5 і 1, відповідно, незалежно від місця їх у числі.

== Застосування ==
У [[Нумізматика|нумізматиці]] особливо велику вагу мають [[Десяткова система числення|десяткова система]], дванадцяткова ([[Дуодецимальна система числення|дуодецимальна]]), четвертна та шісткова системи. У [[ІТ|інформаційних технологія]] застосовуються [[двійкова система числення|двійкова]], [[десяткова система числення|десяткова]], [[вісімкова система числення|вісімкова]], та [[шістнадцяткова система числення|шістнадцяткова]] системи.

== Див. також ==
* [[Позиційні системи числення]]
* [[Непозиційні системи числення]]
* [[Єгипетська система числення]]
* [[Арабська система числення]]
* [[Римська система числення]]
* [[Двійкова система числення]]
* [[Вісімкова система числення]]
* [[Десяткова система числення]]
* [[Шістнадцяткова система числення]]

== Література ==
{{section-stub}}


{{math-stub}}

[[Категорія:Системи числення]]
[[Категорія:Математична нотація]]

[[ar:نظام عد]]
[[be:Сістэма злічэння]]
[[be-x-old:Сыстэма зьлічэньня]]
[[bg:Бройна система]]
[[bs:Brojevni sistem]]
[[ca:Sistema de numeració]]
[[cs:Číselná soustava]]
[[cv:Шутлав йĕрки]]
[[da:Talsystem]]
[[de:Zahlensystem]]
[[en:Numeral system]]
[[eo:Cifereca sistemo]]
[[es:Sistema de numeración]]
[[eu:Zenbaki-sistema]]
[[fa:دستگاه شمارش]]
[[fi:Lukujärjestelmä]]
[[fr:Système de numération]]
[[gl:Sistema de numeración]]
[[he:שיטת ספירה]]
[[hi:संख्या पद्धतियाँ]]
[[hr:Brojevni sustav]]
[[ht:Sistèm nimewotasyon]]
[[hu:Számrendszerek]]
[[id:Sistem bilangan]]
[[it:Sistema di numerazione]]
[[ja:位取り記数法]]
[[jv:Sistem wilangan]]
[[ka:თვლის სისტემა]]
[[kk:Санау]]
[[ko:기수법]]
[[la:Systema numerale]]
[[lv:Skaitīšanas sistēma]]
[[mhr:Чотрадам системе]]
[[mk:Броен систем]]
[[ml:സംഖ്യാസമ്പ്രദായങ്ങൾ]]
[[ms:Sistem angka]]
[[nl:Talstelsel]]
[[no:Tallsystem]]
[[oc:Sistèma de numeracion]]
[[pl:System liczbowy]]
[[pt:Sistema de numeração]]
[[ro:Sistem de numerație]]
[[ru:Система счисления]]
[[sh:Brojevni sistem]]
[[si:සංඛ්‍යාත පද්ධති]]
[[simple:Numeral system]]
[[sl:Številski sistem]]
[[sv:Talsystem]]
[[ta:எண்ணுரு]]
[[th:ระบบเลข]]
[[tr:Sayı sistemi]]
[[yi:נומערן סיסטעם]]
[[zh:记数系统]]
[[zh-min-nan:Sò͘-jī]]

← Попередня версія		Версія за 14:55, 22 жовтня 2011
Рядок 1:		Рядок 1:
−	'''Систе́ма чи́слення''' (англ. ''number (numeration) system, notation'') - сукупність способів і засобів запису чисел для проведення підрахунків.

−	~~Розрізняють такі типи систем числення:~~
−	* '''''позиційні'''''
−	* '''''змішані'''''
−	* '''''непозиційні'''''
−
−	~~== Позиційна система ==~~
−
−	У позиційних системах числення одна і та ж цифра (''числовий знак'') у записі числа набуває різних значень залежно від своєї позиції. Таким чином, позиція цифри має вагу у числі. Здебільшого вага кожної позиції кратна деякому [[Натуральні числа\|натуральному числу]] <math>b</math>, <math>b>1</math>, яке називається ''основою'' системи числення.
−
−	Наприклад, якщо '''b''' - натуральне число (<math>b > 1</math>), то для представлення числа ''x'' у системі числення з основою ''b'' його подають у вигляді [[Векторний простір\|лінійної комбінації]] [[Степінь\|степенів]] числа ''b'':
−	~~: <math>x = \sum_{k=0}^n a_k b^k</math>, де <math>a_k</math> — цілі, <math>0 \leq a_k < b</math>~~
−
−	~~Іншими словами, основа - це кількість символів, що використовуються при записуванні чисел.~~
−
−	~~;Приклад~~
−	~~Наприклад, число «двісті чотири» представляється у десятковій системі числення у вигляді:~~
−	~~: <math> 204 = 2 \cdot 10^{2} + 0 \cdot 10^{1} + 4 \cdot 10^{0}</math>~~
−
−	Використовуючи позиційний принцип, можна зобразити будь-яке [[Дійсні числа\|дійсне число]] за допомогою усього лиш десяти цифр у їх різних комбінаціях.
−
−	~~== Змішана система ==~~
−	'''Змішана система числення''' є узагальненням системи числення з основою <math>b</math> і її часто відносять до позиційних систем числення. Основою змішаної системи є послідовність чисел, що зростає, <math>\{b_k\}_{k=0}^{\infty}</math> і кожне число <math>x</math> представляється як [[Векторний простір\|лінійна комбінація]]:
−	~~:<math>x = \sum_{k=0}^n a_{k}b_k</math>, де на коефіцієнти <math>a_{k}</math> (''цифри'') накладаються деякі обмеження.~~
−
−	~~Якщо <math>b_k=b^k</math> для деякого <math>b</math>, то змішана система збігається з <math>b</math>-основною системою числення.~~
−
−	Найвідомішим прикладом змішаної системи числення є представлення часу у вигляді кількості діб, годин, хвилин і секунд. При цьому величина ''d днів h годин m хвилин s секунд'' відповідає значенню <math>d\cdot 24\cdot 60\cdot 60 + h\cdot 60\cdot 60 + m\cdot 60 + s</math> секунд.
−
−	~~=== Система числення Фібоначчі ===~~
−	~~Представлення засновується на [[Числа Фібоначчі\|числах Фібоначчі]]:~~
−	:<math>x = \sum_{k=0}^n f_k F_k</math>, де <math>F_k</math> — числа Фібоначчі, <math>f_k\in\{0,1\}</math>, при цьому у записі <math>f_nf_{n-1}\dots f_0</math> не зустрічаються дві одиниці підряд.
−
−	~~=== Факторіальна система числення ===~~
−	~~Представлення використовує [[факторіал]] натуальних чисел:~~
−	~~:<math>x = \sum_{k=1}^n d_k k!</math>, де <math>0\leq d_k \leq k</math>.~~
−
−	~~=== Біноміальна система числення ===~~
−	~~Представлення використовує [[Біноміальний коефіцієнт\|біноміальні коефіцієнти]]:~~
−	~~:<math>x = \sum_{k=1}^n {c_k\choose k}</math>, де <math>0\leq c_1 < c_2 < \dots < c_n</math>.~~
−
−	~~=== Система числення майя ===~~
−	[[Майя (цивілізація)\|Майя]] використовували двадцяткову систему числення за одним вийнятком: у другому розряді було не 20, а 18 ступенів, тобто після числа (17)(19) відразу йшло число (1)(0)(0). Це було зроблено для полегшення розрахунків календарного циклу, оскільки (1)(0)(0) дорівнювало 360, що приблизно дорівнює кількості днів у сонячному році.
−
−	~~== Непозиційна система ==~~
−
−	У непозиційних системах числення величина, яку позначає цифра, не залежить від позиції її у числі. При цьому система може накладати обмеження на позиції цифр, наприклад, щоб вони були
−	розташовані по спаданню, чи згруповані за значенням. Проте це не є принциповою умовою для розуміння записаних такими системами чисел.
−
−	Типовим прикладом непозиційної системи числення є [[Римська система цифр\|римська система числення]], в якій у якості цифр використовуються латинські букви:
−
−	~~{\| align="center" class="standard"~~
−	\|+
−	~~! \|Римська цифра~~
−	~~! \|Десяткове значення~~
−	~~\|-----~~
−	~~\| I~~
−	~~\| 1~~
−	~~\|-----~~
−	~~\| V~~
−	~~\| 5~~
−	~~\|-----~~
−	~~\| X~~
−	~~\| 10~~
−	~~\|-----~~
−	~~\| L~~
−	~~\| 50~~
−	~~\|-----~~
−	~~\| C~~
−	~~\| 100~~
−	~~\|-----~~
−	~~\| D~~
−	~~\| 500~~
−	~~\|-----~~
−	~~\| M~~
−	~~\| 1000~~
−	\|+
−	\|}
−
−	~~Наприклад, VII = 5 + 1 + 1 = 7. Тут символи V і I означають 5 і 1, відповідно, незалежно від місця їх у числі.~~
−
−	~~== Застосування ==~~
−	У [[Нумізматика\|нумізматиці]] особливо велику вагу мають [[Десяткова система числення\|десяткова система]], дванадцяткова ([[Дуодецимальна система числення\|дуодецимальна]]), четвертна та шісткова системи. У [[ІТ\|інформаційних технологія]] застосовуються [[двійкова система числення\|двійкова]], [[десяткова система числення\|десяткова]], [[вісімкова система числення\|вісімкова]], та [[шістнадцяткова система числення\|шістнадцяткова]] системи.
−
−	~~== Див. також ==~~
−	* [[Позиційні системи числення]]
−	* [[Непозиційні системи числення]]
−	* [[Єгипетська система числення]]
−	* [[Арабська система числення]]
−	* [[Римська система числення]]
−	* [[Двійкова система числення]]
−	* [[Вісімкова система числення]]
−	* [[Десяткова система числення]]
−	* [[Шістнадцяткова система числення]]
−
−
−	~~----~~
−	~~[[ Розвиток систем числення ]]~~

@@ Рядок 95: / Рядок 95: @@
 * [[Шістнадцяткова система числення]]
 ----
 [[ Розвиток систем числення ]]

@@ Рядок 1: / Рядок 1: @@
-'''Систе́ма чи́слення''' (англ. number (numeration) system, notation) - сукупність способів і засобів запису чисел для проведення підрахунків.
+'''Систе́ма чи́слення''' (англ. ''number (numeration) system, notation'') - сукупність способів і засобів запису чисел для проведення підрахунків.
 Розрізняють такі типи систем числення:
@@ Рядок 158: / Рядок 158: @@
 [[zh:记数系统]]
 [[zh-min-nan:Sò͘-jī]]

← Попередня версія		Версія за 14:48, 22 жовтня 2011
Рядок 1:		Рядок 1:
−	'''Систе́ма чи́слення''' (~~{{lang-en\|~~number (numeration) system, notation}}) - сукупність способів і засобів запису чисел для проведення підрахунків.	+	'''Систе́ма чи́слення''' (англ. number (numeration) system, notation) - сукупність способів і засобів запису чисел для проведення підрахунків.

	Розрізняють такі типи систем числення:		Розрізняють такі типи систем числення:

← Попередня версія		Версія за 14:41, 22 жовтня 2011
Рядок 1:		Рядок 1:
−	~~{{Системи числення}}~~
	'''Систе́ма чи́слення''' ({{lang-en\|number (numeration) system, notation}}) - сукупність способів і засобів запису чисел для проведення підрахунків.		'''Систе́ма чи́слення''' ({{lang-en\|number (numeration) system, notation}}) - сукупність способів і засобів запису чисел для проведення підрахунків.

@@ Рядок 7: / Рядок 7: @@
 == Позиційна система ==
-{{main|Позиційні системи числення}}
 У позиційних системах числення одна і та ж цифра (''числовий знак'') у записі числа набуває різних значень залежно від своєї позиції. Таким чином, позиція цифри має вагу у числі. Здебільшого вага кожної позиції кратна деякому [[Натуральні числа|натуральному числу]] <math>b</math>, <math>b>1</math>, яке називається ''основою'' системи числення.

@@ Рядок 45: / Рядок 45: @@
 == Непозиційна система ==
-{{main|Непозиційні системи числення}}
 У непозиційних системах числення величина, яку позначає цифра, не залежить від позиції її у числі. При цьому система може накладати обмеження на позиції цифр, наприклад, щоб вони були
 розташовані по спаданню, чи згруповані за значенням. Проте це не є принциповою умовою для розуміння записаних такими системами чисел.