Перегляд вихідного коду сторінки Умови оптимальності плану першого етапу задачі стохастичного програмування.

<font size=3> Сформулюємо необхідні умови оптимальності попереднього плану <math>x</math> двохетапної задачі. </font>

<font size=3> Введемо вектор </font>
<math>~c_x=M[c-z^*(A,b,x)A]</math>
<font size=3> та лінійну форму <math>L_{x_{1}}=(c_{x_1},x)=M[c-z^*(A,b,x_1)A]x</math>. </font>



<font size=3> '''Теорема 1 (Необхідна умова оптимальності плану двохетапної задачі.):''' </font>

<font size=3> Якщо <math>\ x^* </math> - розв’язок двохетапної задачі, то для будь-якого <math>x \in K</math> </font>

<font size=3> <math>L_x(x^*)\leq{L_x(x)}</math> (1) </font>

<font size=3> '''Доведення:''' </font>

<font size=3> Оскільки <math>\ x^* </math> - оптимальний план, а  <math>\ x </math> – план двохетапної задачі, то <math>Q(x^*)\leq{Q(x)}</math>, тобто </font>

<math>M\{cx^*+z^*(A,b,x^*)(b-Ax^*)\}\leq{M\{cx+z^*(A,b,x)(b-Ax)\}}</math> (2) </font>

<font size=3> Крім того, </font>

<font size=3> <math>M\{z^*(A,b,x^*)(b-Ax^*)\}\geq{M\{z^*(A,b,x)(b-Ax^*)\}}</math> (3) </font>

<font size=3> так як <math>\ z^*(A,b,x^*) </math>- оптимальний план [[Умови розв’язуваності задачі другого етапу.|задачі (3.8)-(3.9)]], двоїстої до задачі другого етапу при <math>\ x=x^*. </math> </font>

<font size=3> Віднімаючи (3) від  (2) приходимо до твердження (1): </font>

<math>M(cx^*)+M(z^*(A,b,x^*)b)-M(z^*(A,b,x^*)Ax^*)-M(z^*(A,b,x)Ax^*)+M(z^*(A,b,x)b)\leq{M(cx)+M(z^*(A,b,x)b)-M(z^*(A,b,x)Ax)-M(z^*(A,b,x^*)Ax^*)+M(z^*(A,b,x^*)b)}</math>

<math>M(cx^*)-M(z^*(A,b,x)Ax^*)\leq{M(cx)-M(z^*(A,b,x)Ax)}</math>

<math>M[c-z^*(A,b,x)A]x^*\leq{M[c-z^*(A,b,x)A]x}</math>

<math>L_x(x^*)\leq{L_x(x)}</math>

<font size=3> '''Теорема доведена.''' </font>



<font size=3> Теорема 1 містить ідею аналізу двохетапної задачі. Теорема стверджує, що розв’язок <math>\ x^* </math> двохетапної задачі надає лінійній формі <math>L_{x_1}(x)=M[c-z^*(A,b,x_1)A]x</math> значення, що не перевищує значення форми в точці <math>x_1 \in K</math>. </font>

<font size=3> Звідси випливає наступний метод аналізу двохетапної задачі. </font>

<font size=3> Обираємо деяку кількість точок <math>x_1 \in K</math> та обчислюємо для них розв’язки <math>~z^*(A,b,x_1)</math> задачі лінійного програмування [[Умови розв’язуваності задачі другого етапу.|(3.8)-(3.9)]], двоїстої до задачі другого етапу. </font>

<font size=3> Для кожного обраного <math>~x_1</math> будуємо нерівність типу (1): <math>L_{x_1}(x)\leq{L_{x_1}(x_1)}</math>. </font>

<font size=3> Отримана таким чином послідовність нерівностей представляє собою систему обмежень, що звужують множину, в якій міститься оптимум, і, відповідно, тих, що скорочують діапазон зміни показника якості розв’язку двохетапної задачі. </font>



<font size=3> '''Наведемо економічну інтерпретацію умови''' (1). </font>

<font size=3> Вектор <math>\ z^*(A,b,x) </math> – розв’язок [[Умови розв’язуваності задачі другого етапу.|задачі (3.8)-(3.9)]], двоїстої до задачі другого етапу, представляє собою вектор оцінок продуктів, що виявилися дефіцитними або надлишковими при інтенсивностях <math>\ x </math> технологічних способів після того, як були реалізовані технологічна матриця <math>\ A </math> та вектор попиту <math>\ b </math>. Ці оцінки визначають вплив величини нев’язки на витрати, пов’язані з найбільш економною ліквідацією нев’язок. Величина  </font>

<math>\sum^{m}_{i=1}{a_{ij}z^{*}_i(A,b,x)}-c_j</math>

<font size=3> вказує на прибутковість експлуатації ''j''-ого технологічного способу з одиничною інтенсивністю у припущенні, що параметри умов задачі реалізувалися як елементи матриці <math>\ A </math> та складові векторів <math>\ b </math> та <math>\ c </math>, а оцінки продуктів пораховані для випадку, коли експлуатація технологічних способів відбувається з інтенсивністю <math>\ x </math>. </font>


<font size=3> Якщо вектор <math>\ x^* </math> визначає оптимальний попередній план двохетапної задачі, то сумарний середній прибуток при інтенсивностях <math>\ x^* </math> використання технологічних способів виробництва, підрахований в оптимальних оцінках (ті, що відповідають <math>\ x^* </math>), не менший сумарного середнього прибутку, порахованого в оптимальних оцінках для будь-якого іншого допустимого плану <math>\ x. </math> </font>



<font size=3> '''Теорема 2 (Необхідна і достатня умова оптимальності плану двохетапної задачі.):''' </font>

<font size=3> Нехай <math>\ x^* </math>- внутрішня точка множини <math>\ K </math>, а цільова функція <math>\ Q(x) </math> детермінованої задачі, еквівалентної двохетапній задачі, диференційована в околі <math>\ x^* </math>. Тоді [[Умови розв’язуваності задачі другого етапу.|задача (3.8)-(3.9)]], двоїста до задачі другого етапу, має розв’язок <math>\ z^*(A,b,x^*)</math> такий, що  </font>

<math>c_{x^*}=M[c-z^*(A,b,x^*)A]=0</math> (4)

<font size=3> тоді і тільки тоді, коли <math>\ x^* </math> - розв’язок двохетапної задачі. </font>

<font size=3> '''Доведення:''' </font>

<font size=3> Згідно з [[Детермінована задача, еквівалентна до двохетапної задачі СП.|теоремою 4.3]], що визначає опорний функціонал до <math>\ Q(x) </math>, стверджуємо, що гіперплощина </font>

<math>~u=M[c-z^*(A,b,x_0)A]x+Mz^*(A,b,x_0)b</math>

<font size=3> є опорною гіперплощиною до множини <math>u\geq{Q(x)}</math> в точці <math>~x=x_0</math>.

<font size=3> За умовою опукла функція <math>\ Q(x) </math> диференційована в точці <math>\ x=x^* </math>. Відповідно, опорна гіперплощина </font>

<math>~u=M[c-z^*(A,b,x^*)A]x+Mz^*(A,b,x^*)b</math>

<font size=3> дотикається до гіперповерхні <math>\ u=Q(x)</math> в точці <math>\ x=x^* </math>. </font>
  
<font size=3> Враховуючи, що <math>\ x^* </math> - внутрішня точка множини <math>\ K </math> отримаємо, що рівність </font>

<math>\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial x}=M[c-z^*(A,b,x^*)A]=0</math>
<font size=3> є необхідною умовою оптимальності вектора <math>\ x^* </math>.  </font>

<font size=3> Рівність (4) є також і достатньою умовою, оскільки функція <math>\ Q(x)</math> опукла до низу. </font> 

<font size=3> '''Теорема доведена.''' </font>

<font size=3> [1, c. 161-163]. </font>



==Список використаних джерел==
<font size=2> 1.	Юдин Д. Б. Математические методы управления в условиях неполной информации. / Юдин Д. Б. М: «Сов. радио», 1974. – 400 с.



<font size=2> Виконала: [[Користувач:Гонтаренко Марія Олександрівна|Гонтаренко Марія]]

<font size=2> Доповнювала: [[Користувач:9190285|Петрикова Ірина]]