Перегляд вихідного коду сторінки Зв`язок неперервного та дискретного на прикладі рівняння коливання струни




Питання про рух, перехід поступових кількісних змін в якісні, поява у 
цілого властивостей, яких не має жодна із його частинок, є одним із 
ключових питань сучасного фундаментального природознавства. Ці питання 
мають глибокі філософські коріння. Розвиток природних наук змушує ще і 
ще раз повертатися до них. Вчених XIX ст. вразило наявність хвильових 
властивостей у світла, який вони уявляли як потік дискретних частин. До 
глибокого перегляду фундаментальних понять привело в XX ст. створення 
квантової механіки. Виявилось, що дискретні і неперервні властивості 
матерії не можна протипоставити один одному, що вони нерозривно зв’язані 
між собою. Виявилась і друга важлива обставина. Аналіз багатьох явищ 
потребує поєднання дискретного і неперервного підходів. І питання про 
співвідношення тих і інших властивостей при побудові теорії виявляється 
далеко не простим. Від його успішного вирішення часто залежить, наскільки 
глибоко нам вдається розібратися в досліджуваному об'єкті. 
Розглянемо задачу, при рішенні якої було розвинуто ряд ключових 
ідей. Проведемо аналіз поведінки пружної струни, по якій ударили в 
початковий момент часу. Зупинимося раніше на системі, що складається з 
точкового вантажу масою'''<math>\mathbf {m}</math>''' , до якого прикріплені дві однакові пружні 
горизонтальні нитки завдовжки '''<math>\frac {l_0} {2}</math>''',натягнуті силою '''<math>\mathbf {F_0}</math>'''(сила тяжіння 
відсутня). При відхиленні вантажу від положення рівноваги з'являється 
повертаюча сила, пропорційна відхиленню '''<math>F=-2F_0 sin\alpha=\frac {4F_0 u} {l_0}</math>''',тоді згідно з другим законом Ньютона маємо:
'''<math>\frac {d^2 u} {dt^2+w^2u}=0, w^2=\frac {4F_0}{(ml_0)}</math>'''
Рівняння описує коливання з круговою частотою '''<math>\mathbf {w}</math>''':


'''<math>\mathbf {u=Asinwt+Bcoswt}</math>''' 


де константи А і B визначаються початковими положеннями і швидкістю 
вантажу. Ми вирішили завдання про коливання струни, уся маса якої 
зосереджена в центрі. Для однорідної струни з масою '''m''' і завдовжки '''<math>l_0</math>'''
це занадто глибоке наближення; розумніше замінити її набором із '''N''' кульок з 
масою '''''<math>\mu=\frac {m} {N}</math>''''',розташованих на відстані '''<math>h=\frac {l_0} {N}</math>''' і сполучених нитками, натягнутими силою '''<math>F_0</math>'''  (так міркували, зокрема, при виведенні рівнянь 
коливань струни Йоганн і Данило Бернуллі). Якщо '''<math>u_k</math>''' - відхилення k-ої 
кульки від положення рівноваги, то за умови, що різниця у відхиленнях 
сусідніх кульок мала, <math>\mu a_k=\frac {mh} {l_0} \frac {d^2u_k} {dt^2}= F = \frac {F_0 u_{k+1}- 2u_k + u_{k-1}} {h}=>\frac {\partial^2 u_k} {\partial^2t^2}= \frac {F_ol_0} {m} \frac {u_{k+1}-2u_k - u_{k-1}} {h^2} </math> У межі при h →0 отримуємо вже відоме нам хвильове рівняння: <math>\frac {\partial^2 u} {\partial^2t^2}-c^2 \frac{\partial^2u} {\partial x^2}, c^2=\frac{F_0l_0} {m} </math>
Цей висновок рівняння уперше був зроблений Даламбером, який не 
лише записав вказане рівняння, але і знайшов його загальне рішення у 
вигляді суперпозиції двох хвиль 
''<math>\mathbf {u=f(x+ct)+g(x-ct)}</math>'' Проте використати це рішення для струни кінцевих розмірів непросто. 
Дійсно, після удару по струні управо і вліво йдуть хвилі. Вони доходять до 
кінців струни, відбиваються, йдуть у зворотний бік - встановлюється деякий 
режим, описувати який за допомогою отриманої формули незручно. 
Можливий інший шлях, запропонований Фур'є. Оскільки струна здійснює 
коливальні рухи, рішення задачі шукають у виді 
<math>\mathbf {u=(Asinwt+Bcoswt)z(x)}</math>,що дає у результаті<math>\mathbf {u=\sum_{n=0}(A_n sinw_n t+B_n cosw_t )sin \frac {pinx} {l_0}} </math>
Рішення знайшлося у вигляді суперпозиції стоячих хвиль, для яких на 
довжині струни укладається ціле число '''n''' півхвиль. Власні значення <math>Lamda_n</math>
визначають, з якою частотою може коливатися струна в конфігурації n-ої 
стоячої хвилі, форму якої описує власна функція 
<math>\mathbf {z_n=sin(\frac {pinx} {l_0})}</math> Знайдені рішення по виду сильно розрізняються. Рівноправність їх не 
очевидна. Це питання стало причиною дискусії в середині XVIII ст. 
(суперечка про струну) між Ейлером, Даламбером і Лагранжем. Дискусія 
дозволила переконатися не лише в еквівалентності двох рішень(адже 
початкове завдання має рішення і воно єдине!), але і краще розібратися в 
рівняннях. Рішення, отримане Фур'є, дає можливість з'ясувати 
співвідношення безперервного і дискретного в цьому завданні. Якщо ми 
маємо автомодельне рішення хвилевого рівняння у вигляді стоячої хвилі  <math>\mathbf {u=c_n (t)sin(\frac {pinx} {l_0})},</math> то виявиться, що для різних <math>\mathbf {c_n (t)}</math>  виходять рівняння <math>\mathbf {\frac {d^2C_2(t)}{dt^2}+w^2_nc_n(t)=0,n=0,1,2,....}</math> Але це знову рівняння коливання. Значить, струна виявляється 
еквівалентною нескінченній безлічі незалежних вантажів, що коливаються. 
Цікаво і інше: у безперервній задачі, що описує коливання струни, є 
дискретний набір власних частот. Неперервне і дискретне знову виявляються 
тісно пов'язаними.