Перегляд вихідного коду сторінки Дві часткові стохастичні моделі з розв'язувальними правилами нульового порядку.

<font size=3> Розглянемо 2 часткові [[Класифікація задач стохастичного програмування: за виглядом цільової функції та за умовами обмеження.|P-моделі]] з детермінованими обмеженнями і випадковими коефіцієнтами лінійної форми. Побудуємо відповідні детерміновані еквіваленти.

<font size=3> Нехай потрібно максимізувати

<math>P(cx\leq{k})\to{max}</math> (1)

за умов

<math>Ax\geq{b}</math>            (2)

<math>x\geq{0}</math>             (3)

<font size=3> Елементи матриці А та компоненти вектора b детерміновані, а компоненти вектора c випадкові.

<font size=3> Припускають, що розв'язок задачі (1)-(3) визначається серед детермінованих векторів.

<font size=3> До схеми виду (1)-(3) зводиться задача планування виробництва при випадкових втратах, пов'язаних з реалізацією різних технологічних способів. Оптимальний план повинен максимізувати ймовірність того, що сумарні затрати не перевищать деякої, заданої вищою організацією, величини.

'''Модель №1.'''

В цій моделі випадковий вектор <math>~c=c(\omega)</math> припускається рівним <math>~c=c_{0}+c_{1}\tau(\omega)</math>, де <math>~c_{0},c_{1}</math> – детерміновані вектори,<math>~\tau(\omega)</math> – випадкова величина.

Припускають також, що гіперплощина <math>~c_{1}x=0</math> не перетинається з многогранною множиною (2)-(3). Нехай для визначеності в точках множини (2)-(3) <math>~c_{1}x>0</math>

Детермінована задача представляє собою наступну задачу дробово-лінійного програмування:

<math>{\frac{k-c_{0}x}{c_{1}x}}\to{max}</math>

<math>Ax\geq{b}</math>, <math>x\geq{0}</math>

Дійсно за прийнятих припущень:

<math>P(cx\leq{k})=P\{\omega:c(\omega)x\leq{k}\}=P\{\omega:\tau(\omega)\leq{\frac{k-c_{0}x}{c_{1}x}}\}</math>

'''Модель №2.'''

В цій моделі компоненти <math>~c_j</math> випадкового вектора c припускаються нормально розподіленими з параметрами <math>~\mu_j,\sigma_j</math>, тобто <math>c_j\in N(\mu_j,\sigma_j)</math>.

Припускають також, що точка x=0 не є планом задачі.

Детермінований еквівалент представляє собою задачу нелінійного, точніше неопуклого, програмування:

<math>\Big[\Big(k-\sum^{n}_{j=1} {\mu_j x_j}\Big)\Big(\sum^{n}_{j=1} {\sigma_j^2 x_j^2}\Big)^{-1/2}\Big]\to max</math>

<math>Ax\geq{b}</math>, <math>x\geq{0}</math>

Дійсно за прийнятих припущень:

<math>P(cx\leq{k})=P\Bigg(\sum^{n}_{j=1} {c_j x_j}\leq{k}\Bigg)=P\Bigg\{\frac{\sum^{n}_{j=1} {c_j x_j}-\sum^{n}_{j=1} {\mu_j x_j}}{\sqrt{\sum^{n}_{j=1} {\sigma_j^2 x_j^2}}}\leq{\frac{k-\sum^{n}_{j=1} {\mu_j x_j}}{\sqrt{\sum^{n}_{j=1} {\sigma_j^2 x_j^2}}}}\Bigg\}=P(\eta\leq{\eta_0})</math>

<math>\eta=\frac{\sum^{n}_{j=1} {c_j x_j}-\sum^{n}_{j=1} {\mu_j x_j}}{\sqrt{\sum^{n}_{j=1} {\sigma_j^2 x_j^2}}}</math>

<math>\eta_{0}=\frac{k-\sum^{n}_{j=1} {\mu_j x_j}}{\sqrt{\sum^{n}_{j=1} {\sigma_j^2 x_j^2}}}</math>

В силу прийнятих припущень випадкова величина <math>\eta</math> нормально розподілена: <math>\eta\in N(0,1)</math>. Тому

<math>P(cx\leq{k})=P(\eta\leq{\eta_0})=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\eta_{0}}{e^{-t^2/2}}</math>

Відповідно, максимізація цільової функції (1) може бути замінена максимізацією

<math>\eta_{0}=\frac{k-\sum^{n}_{j=1} {\mu_j x_j}}{\sqrt{\sum^{n}_{j=1} {\sigma_j^2 x_j^2}}}</math>

При <math>~\mu_j=0</math> задача зводиться до задачі квадратичного програмування:

<math>\sum^{n}_{j=1} {\sigma_j^2 x_j^2}\to min</math>

<math>Ax\geq{b}</math>, <math>x\geq{0}</math>

Причому розв'язок не залежить від величини заданого порогу k [1, c. 77].

В загальному випадку задача являє собою задачу дробово-лінійного програмування. Методи аналізу таких задач можуть бути основані, наприклад, на результатах робіт [2,3].


==Список використаних джерел==
1.	Юдин Д. Б. Математические методы управления в условиях неполной информации. / Юдин Д. Б. М: «Сов. радио», 1974. – 400 с.

2.  Гольштейн Е. Г. Двойственные задачи выпуклого и дробновыпуклого програмирования в функциональных пространствах. В кн.: " Исследования по математическому програмированию", М.,"Наука", 1968.    

3. Динкельбах (Dinkelbach W.). On nonlinear fractional programming. "Manag. Sci.", 1967, v. 13, №7.

Виконала: [[Користувач:Кухаренко Настя|Кухаренко Анастасія]]
Редагувала: [[Користувач:Анастасія Крячко | Крячко Анастасія]]