Перегляд вихідного коду сторінки Інтеграл Фур'є як розвинення функції по гармоніках з неперервним спектром

== Використання ==
Облишивши математикам доказ того, що при послідовному застосуванні прямого і оберненого перетворення Фур'є, початкова функція залишається незмінною, зосередимося на використанні перетворень Фур'є. 

Перетворення Фур'є застосовуються для отримання частотного спектру неперіодичної функції, наприклад, електричного сигналу, тобто для представлення сигналу у вигляді суми  гармонічних коливань. При цьому використовується властивість згортки.

Нехай відгук системи на збурення у вигляді сигналу <math> f(t) </math> має вигляд 
:<math> g(t) = \int_0^\infty \alpha(\tau) f(t -\tau) d\tau </math>, 

де <math> \alpha(\tau) </math> - певна функція. Такий запис означає, що відгук системи залежить не тільки від моментального значення збурення, а також від того збурення, яке було певний час тому, і, яке, змінило стан системи. 

Застосовуючи перетворення Фур'є до обох частин рівняння, отримуємо 
:<math> G(\omega) = \int_{-\infty}^\infty e^{- i\omega t} \int_0^\infty \alpha(\tau) f(t -\tau) d\tau dt
= \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty e^{- i\omega t} \int_0^\infty \alpha(\tau) \int_{-\infty}^\infty F(\omega^\prime) e^{i \omega^\prime (t - \tau)} d\omega^\prime  d\tau dt  </math>

Оскільки 
:<math> \int_{-\infty}^\infty e^{i (\omega^\prime - \omega )t} dt = 2\pi \delta(\omega^\prime - \omega) </math>, 

де <math> \delta(x) </math> - дельта-функція Дірака, інтегрування дає 
:<math> G(\omega) =\Alpha(\omega) F(\omega) \,</math>, 

де 
:<math> \Alpha(\omega) = \int_0^\infty \alpha(\tau)e^{i \omega \tau} </math>.

Важливим висновком з цього перетворення є те, що вихідний спектр отримується з вхідного простим множенням на функцію відклику системи <math> \Alpha(\omega) </math>.

Виконала: [[Користувач:Покатенко Анна|Покатенко Анна Олександрівна ]]

[[category: Вибрані статті з математичного аналізу]]