Перегляд вихідного коду сторінки Інтегральні синус, косинус, логарифм та показникова функція

=Інтегральний синус=
[[Файл:Публикация156757658686456235.jpg|right|thumb|400px|Графіки функцій Si(x) і Ci(x) на проміжку [0, 8π]]]
'''Інтегральний синус'''&nbsp;— [[функція (математика)|функція]], визначена [[формула|формулою]]:
: <math> \mbox{Si}(x) = \int_0^x \frac{\sin\, t}{t} dt </math>

Визначається також функція:
<math>
\operatorname{si}(x) = - \int\limits_x^\infty\frac{\sin t}{t}\,dt =\operatorname{Si}(x) -\frac{\pi}{2}
</math>

Часткові значення:
<math> \mbox{Si}(0) = 0,\quad \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \mbox{Si}(x) = \frac{\pi}{2},\quad \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \mbox{si}(x) = 0 </math>.

== Властивості ==
* Інтегральний синус — [[непарна функція]]:
:<math>\operatorname{Si}(-x) = -\,\operatorname{Si}(x)</math>
* <math>\operatorname{si}(x) + \operatorname{si}(-x) = - \pi</math>
* Інтегральний синус повязаний з [[інтегральна показникова функція|інтегральною показниковою функцією]] співвідношенням:
:<math>
\operatorname{si}(x) = \frac{1}{2i} \left( \operatorname{Ei}(ix) - \operatorname{Ei}(-ix) \right)
</math>
* Для малих ''x''  <math>\operatorname{Si}(x) \approx x</math>
* З деякими іншими функціями інтегральний синус пов'язаний співвідношеннями: 
:<math>\int_0^\infty e^{pt}\operatorname{si}(qt) dt = - \frac{1}{p} \arctan \frac{p}{q}, \quad \int_0^\infty \operatorname{si}^2(t) dt = \frac{\pi}{2},</math>
:<math>\int_0^\infty \sin(t) \operatorname{si}(t) dt = - \frac{\pi}{4}, \quad \int_0^\infty  \operatorname{Ci}(t) \operatorname{si}(t) dt = - \ln 2.</math>
* Інтегральний синус задовольняє [[лінійне диференційне рівняння]] третього порядку
:<math>xf'''(x)\!+\!2f''(x)\!+\!xf'(x) = 0.</math>

== Розклад у ряд ==

Інтегральний синус можна розкласти в [[ряд (математика)|ряд]]:
: <math> \mbox{Si}(x) = \sum\limits_{n =0}^\infty \frac{ (-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)(2n+1)!} </math>
За допомогою даного ряду визначається також інтегральний синус від [[комплексне число|комплексного]] аргументу.

[[Асимптотичний розклад]] для <math>~{\rm Re} (x) \gg 1~</math> задається розбіжним рядом:
:<math>{\rm Si}(x)=\frac{\pi}{2} 
                 - \frac{\cos x}{x}\left(1-\frac{2!}{x^{2}}+...\right)
                 - \frac{\sin x}{x}\left(\frac{1}{x}-\frac{3!}{x^{3}}+...\right)</math>
[[Файл:Sine cosine integral.svg|right|thumb|300px|Графіки функцій Si(x) і Ci(x) на проміжку [0, 8π]]]
=Інтегральний косинус=
'''Інтегральний косинус'''&nbsp;— [[функція (математика)|функція]], визначена для додатних [[дійсне число|дійсних чисел]] [[Формула|формулою]]:
: <math> \mbox{Ci}(x) = \gamma + \ln x + \int_0^x \frac{\cos\, t -1 }{t} dt = -\int\limits_x^\infty\frac{\cos t}{t}dt </math>

де <math> \gamma </math>&nbsp;— [[стала Ейлера]].

Також визначаються пов'язані функції:
:<math>{\rm ci}(x)={\rm Ci}(x)\,</math>
:<math>{\rm Cin}(x)=\gamma+\ln x-{\rm Ci}(x)\,</math>

== Властивості ==
* Інтегральний косинус пов'язаний з [[інтегральна показникова функція|інтегральною показниковою функцією]] співвідношенням: 
:<math>\operatorname{Ci}(x) = \frac{1}{2} \left( \operatorname{Ei}(ix) + \operatorname{Ei}(-ix) \right) </math>
* Для малих ''x'' <math>\operatorname{Ci}(x) \approx \gamma + \ln x</math>
* З деякими іншими функціями інтегральний косинус пов'язаний співвідношеннями: 
:<math> \quad \int_0^\infty \operatorname{si}^2(t) dt = \frac{\pi}{2},</math>
:<math>\int_0^\infty \sin(t) \operatorname{si}(t) dt = - \frac{\pi}{4}, \quad \int_0^\infty  \operatorname{Ci}(t) \operatorname{si}(t) dt = - \ln 2.</math>


== Розклад у ряд ==
Інтегральний косинус можна розкласти в [[ряд (математика)|ряд]]:
: <math> \mbox{Ci}(x) = \gamma + \ln x + \sum\limits_{n =1}^\infty \frac{ (-1)^n x^{2n}}{2n(2n)!} </math>
За допомогою даного ряду визначається також інтегральний косинус від [[комплексне число|комплексного]] аргументу. Як функція комплексної змінної інтегральний косинус аналітичний на комплексній площині з розрізом вздовж від'ємної дійсної півосі.

[[Асимптотичний розклад]] для <math>~{\rm Re} (x) \gg 1~</math> задається розбіжним рядом
:<math>{\rm Ci}(x)= \frac{\sin x}{x}\left(1-\frac{2!}{x^{2}}+...\right)
                   -\frac{\cos x}{x}\left(\frac{1}{x}-\frac{3!}{x^{3}}+...\right)</math>
=Інтегральна показникова функція=
'''Інтегральна показникова функція'''&nbsp;— [[функція (математика)|функція]], визначена [[інтеграл]]ом:
: <math> \mbox{Ei}(x)=\int_{-\infty}^x\frac{e^t}t\,dt.\,</math>,

де x>0 і береться власне значення інтегралу.

Інтегральна показникова фунція загального виду
: <math> E_n(x) = \int_1^\infty \frac{e^{-xt}}{t^n} dt </math>,

де <math> n = 0, 1, 2, \ldots </math>, x > 0.
[[Категорія:Спеціальні функції]]
=Інтегральний логарифм=
'''Інтегральний логарифм''' — [[Спеціальна функція]], визначена інтегралом
: <math>\mathrm{li}\,(x)=\int\limits_0^x\frac{dt}{\ln t}.</math>
Для зняття сингулярності <math>x=1</math> іноді застосовується '''здвинутий інтегральний логарифм''':
: <math>\mathrm{Li}\,(x)=\int\limits_2^x\frac{dt}{\ln t}.</math>
Це дві функції пов"язані співвідношенням :
: <math>\mathrm{Li}\,(x)-\mathrm{li}\,(x)=\mathrm{li}\,(2)\approx 1{,}045~163~780~117~492\ldots</math>
Інтегральний логарифм введений [[Леонард Ейлер|Леонардом Ейлером]] в 1768 році.

Інтегральний логарифм і [[інтегральна показникова функція]] пов"язані співвідношенням:
: <math>\mathrm{li}\,(x)=\mathrm{Ei}\,(\ln x).</math>
Інтегральний логарифм має єдиний [[додатній і від"ємний нуль|додатній нуль]] в точці  <math>\mu\approx 1{,}451~369~234~883~381~050~283~968~485~892~027~449~493\ldots</math> ([[число Рамануджана — Солднера]]).

== Розклад у ряд  ==
Із <math>\mathrm{li}\,(x)</math> и <math>\mathrm{Ei}(\ln x)</math> випливає  ряд:
: <math>\mathrm{li}\,(x)=\mathrm{Ei}\,(\ln x)=\gamma+\ln\ln x+\sum_{n=1}^\infty\frac{(\ln x)^n}{n \cdot n!},</math>
где <math>\gamma\approx 0{,}577~215~664~901~532\ldots</math> — [[стала Ейлера — Маскероні]].

Швидше збігається ряд, виведений [[Рамануджан, Сріниваса Айенгор|Срінивасой Рамануджаном]]:
: <math>\mathrm{li}\,(x)=\gamma+\ln\ln x+\sqrt{x}\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}(\ln x)^n}{2^{n-1}n!}\sum_{k=0}^{\lfloor(n-1)/2\rfloor}\frac{1}{2k+1}.</math>
Виконала: [[Користувач: Олечка Бугай|Бугай Ольга Миколаївна]]

[[category: Вибрані статті з математичного аналізу]]