Перегляд вихідного коду сторінки Інтеграли Френеля та інтеграл ймовірностей

[[Файл:250px-Fresnel Integrals (Unnormalised).svg.png|250px|thumb|
<font color=#b30000>''S''(''x'')</font> и <font color=#00b300>''C''(''x'')</font>.Максимальне значення для''C''(''x'') приблизно дорівнює 0.977451424. Якщо використовувати <math>\pi t^2</math> замість <math>t^2</math>, то графік змінить вертикальний и горизонтальний масштаб (см. ниже).]]

'''Інтеграли Френеля''' ''S''(''x'') и ''C''(''x'') — це [[спеціальні функції]], названі на честь [[Френель, Огюстен Жан|Огюстена Жана Френеля]] і використовуються в [[Оптиці|оптиці]]. Вони виникають при розрахунку [[Дифракція Френеля|дифракції Френеля]] і визначаються як

: <math>S(x)=\int\limits_0^x \sin(t^2)\,dt,\quad C(x)=\int\limits_0^x \cos(t^2)\,dt.</math>

Параметричний графік ''S''(''x'') и ''C''(''x'') дає криву на площині, яка має назву '''спіраль Корню'''  

== Розклад в ряд ==
[[Файл:250px-Fresnel Integrals (Normalised).svg.png|250px|thumb]]

Інтеграли Френеля можуть бути представлені [[Ряд Тейлора|степеневими рядами]], збіжними при всіх ''x'':

: <math>S(x)=\int\limits_0^x \sin(t^2)\,dt=\sum_{n=0}^{\infin}(-1)^n\frac{x^{4n+3}}{(4n+3)(2n+1)!},</math>
: <math>C(x)=\int\limits_0^x \cos(t^2)\,dt=\sum_{n=0}^{\infin}(-1)^n\frac{x^{4n+1}}{(4n+1)(2n)!}.</math>

Рівняння 7.3.1 — 7.3.2</ref> використовують в якості аргумента тригонометричних підінтегральних функцій <math>\frac{\pi}{2}t^2</math>.

== Спіраль Корню ==
[[Файл:480px-Cornu Spiral.svg.png|250px|thumb|
Спіраль Корню (''x'',''y'')=(''C''(''t''), ''S''(''t'')). Спіраль збігається до центрів отворів при <math>t \rightarrow +\infty</math>.]]





=Функція помилок=
'''функція помилок''' 
: <math>\operatorname{erf}\,x = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int\limits_0^x e^{-t^2}\,dt</math>.

'''Додаткова функція помилок''':

: <math>\operatorname{erfc}\,x = 1-\operatorname{erf}\,x = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int\limits_x^{\infty} e^{-t^2}\,dt</math>.

'''Комплексна функція помилок''':

: <math>w(x) = e^{-x^2}\operatorname{erfc}\,(-ix)</math>.

== Властивості ==

* :
: <math>\operatorname{erf}\,(-x) = -\operatorname{erf}\,x.</math>

* 
: <math>\operatorname{erf}\,\bar{x} = \overline{\operatorname{erf}\,x}  </math>

* 
: <math>\operatorname{erf}\,x= \frac{2}{\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^\infin\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{n! (2n+1)} =\frac{2}{\sqrt{\pi}} \left(x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{10}-\frac{x^7}{42}+\frac{x^9}{216}-\ \cdots\right)</math>

* 
: <math>\operatorname{erf}\,x= \frac{2}{\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^\infin\left(x \prod_{i=1}^n{\frac{-(2i-1) x^2}{i (2i+1)}}\right) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \sum_{n=0}^\infin \frac{x}{2n+1} \prod_{i=1}^n \frac{-x^2}{i}</math>
поскольку <math>\frac{-(2i-1) x^2}{i (2i+1)}</math> — співмножник, перетворюючий <math>i</math>-й член ряда в <math>(i+1)</math>-й, рахуючи першим членом <math>x</math>.



== Асимптотичний розклад ==

При великих <math>x</math> полезно [[асимптотичний разклад]] для додаткової функції помилок:
: <math>\operatorname{erfc}\,x = \frac{e^{-x^2}}{x\sqrt{\pi}}\left [1+\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{(2x^2)^n}\right ]=\frac{e^{-x^2}}{x\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{(2n)!}{n!(2x)^{2n}}.\,</math>

==  Функції ==



: <math>\operatorname{erf}\,x=
\frac{2x}{\sqrt{\pi}}\,_1F_1\left(\frac{1}{2},\frac{3}{2},-x^2\right).</math>



: <math>\operatorname{erf}\,x=\operatorname{sign}\,x\,P\left(\frac{1}{2}, x^2\right)={\operatorname{sign}\,x \over \sqrt{\pi}}\gamma\left(\frac{1}{2}, x^2\right).</math>

=== Узагальнені функції помилок ===



 <math>E_n(x) = \frac{n!}{\sqrt{\pi}} \int\limits_0^x e^{-t^n}\,dt
=\frac{n!}{\sqrt{\pi}}\sum_{p=0}^\infin(-1)^p\frac{x^{np+1}}{(np+1)p!}\,.</math>


* <math>E_0(x)</math> — прямая линия, проходящая через начало координат: <math>E_0(x)=\frac{x}{e \sqrt{\pi}}</math>
* <math>E_2(x)</math> — функция ошибок <math>\operatorname{erf}\,x</math>.



 <math>E_n(x) = \frac{x\left(x^n\right)^{-1/n}\Gamma(n)\left(\Gamma\left(\frac{1}{n}\right)-\Gamma\left(\frac{1}{n},x^n\right)\right)}{\sqrt\pi},
\quad \quad
x>0</math>



 <math>\operatorname{erf}\,x = 1 - \frac{\Gamma\left(\frac{1}{2},x^2\right)}{\sqrt\pi}</math>

=== Інтеровні інтеграли додаткової функції помилок ===


 <math>
i^n\,\operatorname{erfc}\,z = \int\limits_z^\infty i^{n-1}\,\operatorname{erfc}\,\zeta\,d\zeta.\,
</math>


 <math>
i^n\,\operatorname{erfc}\,z 
=
 \sum_{j=0}^\infty \frac{(-z)^j}{2^{n-j}j!\,\Gamma \left( 1 + \frac{n-j}{2}\right)}\,,
</math>

 <math>
i^{2m}\,\operatorname{erfc}\,(-z)
= -i^{2m}\,\operatorname{erfc}\,z
+ \sum_{q=0}^m \frac{z^{2q}}{2^{2(m-q)-1}(2q)!(m-q)!}
</math>



 <math>
i^{2m+1}\,\operatorname{erfc}\,(-z)
=i^{2m+1}\,\operatorname{erfc}\,z
+ \sum_{q=0}^m \frac{z^{2q+1}}{2^{2(m-q)-1}(2q+1)! (m-q)!}\,.
</math>
Виконала: [[Користувач: Олечка Бугай|Бугай Ольга Миколаївна]]

[[category: Вибрані статті з математичного аналізу]]