Перегляд вихідного коду сторінки Умова існування розв’язку ТЗ

       Теорема: необхідною і достатньою умовою існування розв’язку транспортної задачі (1)—(4) є її збалансова-ність: <math>\sum\limits_{i=1}^m {a_{i} } =\sum\limits_{j=1}^n {b_{j} }</math>

Доведення. Необхідність. Нехай задача (1)—(4) має розв’язок <math>X^{\ast }(x_{11}^{\ast } ,x_{12}^{\ast } ,...,x_{mn}^{\ast } )</math>, тоді для нього виконуються рівняння-обмеження (2) і (3). Підсумуємо відповідно ліві та праві частини систем рівнянь (2) і (3). Матимемо:

<math>\sum\limits_{i=1}^m {\sum\limits_{j=1}^n {x_{ij}^{\ast } } } 
=\sum\limits_{i=1}^m {a_{i} }
</math>                                     (6)

<math>\sum\limits_{i=1}^m {\sum\limits_{j=1}^n {x_{ij}^{\ast } } } 
=\sum\limits_{j=1}^n {b_{j} }
</math>                                     (7)

Оскільки ліві частини рівнянь (6) та (7) збігаються, то пра-ві також рівні одна одній, отже, виконується умова:

<math>\sum\limits_{i=1}^m {a_{i} }</math> <math>=\sum\limits_{j=1}^n {b_{j} }</math>                      (8)

Достатність. 
За умовою  <math>\sum\limits_{i=1}^m {a_{i} }</math> <math>=\sum\limits_{j=1}^n {b_{j} }</math> = W > 0. Розглянемо величини <math>x_{ij} =\frac{a_{i} b_{j} }{W}</math> <math>\left( {i=\overline {1,m} ;\,\,\,j=\overline {1,n} } \right)</math>.

Підставивши значення <math>x_{ij}</math> в систему обмежень задачі (1)—(4), матимемо:

<math>\sum\limits_{j=1}^n {x_{ij} } =\sum\limits_{j=1}^n {\frac{a_{i} b_{j} 
}{W}=\frac{a_{i} }{W}\sum\limits_{j=1}^n {b_{j} } =} \frac{a_{i} }{W}W=a_{i}
</math>;

<math>\sum\limits_{i=1}^m {x_{ij} } =\sum\limits_{i=1}^m {\frac{a_{i} b_{j} 
}{W}=\frac{b_{j} }{W}\sum\limits_{i=1}^m {a_{i} } =} \frac{b_{j} }{W}W=b_{j} 
</math>;

Оскільки умови (2) та (3) виконуються, то <math>x_{ij} =\frac{a_{i} b_{j} }{W}</math> <math>\left( {i=\overline {1,m} ;\,\,\,j=\overline {1,n} } \right)</math> є планом наведеної транспортної задачі.

Виберемо з елементів <math>c_{ij} \;\,\left( {i=\overline {1,m} ;\,j=\overline {1,n} } \right)</math> найбільше значення і позначимо його через <math>\overline {c } =\max \,c_{ij}</math>. Якщо замінити в цільовій функції (1) всі коефіцієнти на <math>\overline {c }</math> , то, враховуючи (2), матимемо:

<math>\sum\limits_{i=1}^m {\sum\limits_{j=1}^n {c_{ij} x_{ij} } } \le \overline c 
\sum\limits_{i=1}^m {\sum\limits_{j=1}^n {x_{ij} } } =\overline c 
\sum\limits_{i=1}^m {a_{i} } =\bar{{c}}W
</math>.

Виберемо з елементів <math>c_{ij} \;\,\left( {i=\overline {1,m} ;\,j=\overline {1,n} } \right)</math> найбільше значення і позначимо його через <math>\\underline{c}=\min \,c_{ij}</math>. Якщо замінити в цільовій функції (1) всі коефіцієнти на <math>\underline{c}</math> , то, враховуючи (2), матимемо: