Перегляд вихідного коду сторінки Перша теорема двоїстості. Економічне тлумачення

== Перша теорема двоїстості ==

=== Теорема(перша теорема двоїстості) ===
Якщо одна з пари спряжених задач має оптимальний план, то й друга задача також має розв'язок, причому для оптимальних розв'язків значення цільових функцій обох задач збігаються, тобто

<center><math>\max\ F=\min\Z.</math></center> 

Якщо цільова функція однієї із задач необмежена, то спряжена задача також не має розв'язку.

Зауважимо, що коли одна із задач не має допустимого розв'язку, то двоїста до неї задача також може не мати допустимого розв'язку, тобто зворотне твердження щодо другої частини теореми в загальному випадку не виконується.

'''''Доведення'''''. Нехай початкова задача має оптимальний план, який отриманий симплексним методом. Не порушуючи загальності, можна вважати, що останній базис складається з перших m векторів <math> A_{1} ,A_{2} ,\dots,A_{m}</math> . Остання симплексна таблиця має вигляд:


[[Файл:Simp_dvoist.jpg|center]]
<center>''Таблиця 1''</center>
Позначимо через <math>D~</math> матрицю, що утворена з компонент векторів <math> A_{1} ,A_{2} ,\dots ,A_{m}</math> останнього базису в першій симплексній таблиці.

Для оптимального плану отримаємо:

<center><math> ~ B=DX^{*}~~~~~~~~(1)   </math></center>       


де <math>X^{*} =(x_{1}^{*} ,x_{2}^{*} ,...,x_{m}^{*} )</math>, <math>\Beta ~</math> --- вектор, що складається з вільних членів системи обмежень.

Звідси:

<center><math> ~ B=DX^{*} \Rightarrow X^{*} =D^{-1} B.~~~~~~~~(2) </math> </center>

Симплексна таблиця ''1'' містить коефіцієнти розкладу векторів <math>~A_{1} ,A_{2} ,...,A_{n}</math> початкової системи обмежень задачі за векторами базису, тобто кожному вектору з системи обмежень задачі <math>~A_{j}</math> відповідає в симплексній таблиці вектор <math>~A'_{j}</math>, такий що 

<center><math>A_{j} =DA'_{j} ,\, \, \, (j=\overline{1,n}).~~~~~~~~(3)</math></center>

Позначимо через <math>A'~</math> матрицю, що складається з коефіцієнтів розкладу векторів <math>A_{j}~  \left(j=\overline{1,n}\right)</math> . Тоді буде справджуватися рівність:

<center><math>A_{} =DA'_{},~</math> </center>

звідки

<center><math>A'_{} =D^{-1} A~~~~~~~~(4)</math> </center>

Враховуючи <math>~(2)</math>, значення оптимального плану даної задачі знаходиться у вигляді:

<center><math>\max \,  F=C^{*} X^{*} ,</math></center>

де <math>C^{*} =(c_{1}^{*} ,c_{2}^{*} ,...,c_{m}^{*} ),</math> причому 

<center><math>\bar{F}=C^{*} A'-C=(c_{1}^{*} A'_{1} -c_{1} ;c_{2}^{*} A'_{2} -c_{2} ;...;c_{n}^{*} A'_{n} -c_{n} )= (F_{1} -c_{1} ;F_{2} -c_{2} ;...;F_{n} -c_{n} ),</math></center>

тобто всі компоненти вектора <math>\bar{F}</math> є оцінками оптимального плану задачі, а тому 

<center><math>C^{*} A'-C=\left(F_{j} -c_{j} \right)\ge 0,\, \, \; \left(j=\overline{1,n}\right).~~~~~~~~(5)</math></center>

Оскільки оптимальний план початкової задачі подано у вигляді <math>X^{*} =D^{-1} B~</math>, то за правилами побудови двоїстої задачі можна допустити, що її оптимальний план матиме вигляд:

<center><math>Y^{*} =C^{*} D^{-1}.~~~~~~~~(6)</math></center> 

Доведемо, що <math>Y^{*} =C^{*} D^{-1}~</math>  дійсно є оптимальним планом двоїстої задачі.

Система обмежень двоїстої задачі у векторно-матричній формі матиме вигляд:

<center><math>YA\ge C=YA-C\ge 0~.</math></center>

Підставимо в цю нерівність значення <math>Y^{*}.~</math> Тоді, враховуючи <math>(4),(5)~</math> та <math>(6)~</math> отримаємо:

<center><math>Y^{*} A-C=C^{*} D^{-1} A-C=C^{*} A'-C\ge 0.</math></center>

Звідки: <math>Y^{*} A\ge C</math>. Отже, <math>Y^{*}~</math> задовольняє систему обмежень <math>(4)~</math> двоїстої задачі, тому є допустимим планом задачі <math>(3)-(5)~</math>. Для даного плану значення функціонала дорівнюватиме:

<center><math>Z(Y^{*} )=Y^{*} B,~~~~~~~~(7)</math></center>

де <math>B=(b_{1} ,b_{2} ,...,b_{m}~ ).</math> Підставимо в <math>(7)~</math> значення <math>Y^{*}~</math>  з <math>(6)~</math> та, враховуючи <math>(2)~</math>, матимемо:

<center><math>Z(Y^{*} )=Y^{*} B=C^{*} D^{-1} B=C^{*} X^{*} =\max \, F.~~~~~~~~(8)</math></center>

Доведено, що <math>Z(Y^{*}~ )</math> збігається зі значенням оптимального плану початкової задачі. Отже, за лемою (достатня умова оптимальності плану задачі лінійного програмування) план <math>Y^{*}~</math>  є оптимальним планом двоїстої задачі.

Аналогічно доводиться, що коли двоїста задача має розв'язок, то початкова також має розв'язок і виконується рівність:

<center><math>\min \, Z=\max \, F.</math></center>

Для доведення другої частини теореми допустимо, що лінійна функція початкової задачі необмежена зверху. Тоді з нерівності <math>F(X)\le Z(Y)</math> маємо, що <math>Z(Y)\ge +\infty</math>, що не має змісту. Отже, двоїста задача в даному разі не має розв'язків. 

Доведена теорема дає змогу в процесі розв'язування однієї задачі водночас знаходити план другої.

=== Економічний зміст першої теореми двоїстості. ===
Максимальний прибуток <math>(F_{\max })~</math> підприємство отримує за умови виробництва продукції згідно з оптимальним планом <math>X^{*} =(x_{1}^{*} ,x_{2}^{*} ,...,x_{n}^{*} ),</math> однак таку саму суму грошей <math>(Z_{\min } =F_{\max })~</math> воно може мати, реалізувавши ресурси за оптимальними цінами <math>Y^{*} =(y_{1}^{*} ,y_{2}^{*} ,...,y_{m}^{*} ).</math> За умов використання інших планів <math>X\ne X_{opt} ,\,  Y\ne Y_{opt}</math>  на підставі основної нерівності теорії двоїстості можна стверджувати, що прибутки від реалізації продукції завжди менші, ніж витрати на її виробництво.

== Література ==
[http://fingal.com.ua/content/view/453/76/1/3/  Посилання на використану літературу]