Перегляд вихідного коду сторінки Третя теорема двоїстості. Економічне тлумачення.

'''Теорема (третя теорема двоїстості).'''
Компоненти оптимального плану двоїстої задачі <math>y_{i}^{*}</math> <math>i=\overline{1,n}</math> дорівнюють значенням частинних похідних від цільової функції <math>F(b_{1},b_{2}...,b_{m})</math> за відповідними аргументами <math>b_{i}</math> ,<math>(i=\overline{1,n})</math> 
або <math>dF/db_i=y_{i}^{*}</math> , <math>(i=1,2,...,m)</math> (3.28) <br>
'''Доведення.''' Розглянемо задачу лінійного програмування, подану в канонічній формі:
<math>max/ F=c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+...+c_{n}x_{n}</math>  (3.29) <br>
<center><math>\left\{ {\begin{array}{l}
 a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{1n}x_{n}=b_{1} \\ 
 a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{2n}x_{n}=b_{2} \\            
................................ \\ 
 a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+a_{mn}x_{n}=b_{m} \\ 
\end{array}} \right.</math></center>  
<math>x_j\ge 0</math> ,<math>j=\overline{1,n}</math>    (3.31) <br>

Двоїсту задачу до задачі (3.29)-(3.31) сформулюємо так: знайти оптимальний план <math>Y^*=(y_{1}^{*},y_{2}^{*},...,y_{m}^{*})</math> ,за якого мінімізується значення <br> 
<math> Z=b_{1}y_{1}+b_{2}y_2{}+...+b_{m}y_{m}</math>  (3.32) 
за умов:
<center><math>\left\{ {\begin{array}{l}
 a_{11}y_{1}+a_{12}y_{2}+a_{1n}y_{n} \ge c_{1} \\ 
 a_{21}y_{1}+a_{22}y_{2}+a_{2n}y_{n} \ge c_{2} \\            
................................ \\ 
 a_{m1}y_{1}+a_{m2}y_{2}+a_{mn}y_{n} \ge c_{m} \\ 
\end{array}} \right.</math></center> 
причому умова невід’ємності змінних <math>y_i^*</math> <math>(i=\overline{1,n})</math> відсутня. <br>
Позначимо <math>Y^*=(y_{1}^{*},y_{2}^{*},...,y_{m}^{*})</math> — оптимальний план двоїстої задачі,<math>X^*=(x_{1}^{*},x_{2}^{*},...,x_{m}^{*})</math>  — оптимальний план задачі (3.29)-(3.31). За першою теоремою двоїстості відомо, що:<math>max\ F=c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+...+c_{n}x_{n}=min\ Z=b_{1}y_{1}^{*}+b_{2}y_{2}^{*}+...+b_{m}y_{m}^{*}</math> <br>
або <math>F=b_{1}y_{1}^{*}+b_{2}y_{2}^{*}+...+b_{m}y_{m}^{*}</math>(3.34) <br>
Оскільки досліджується питання впливу зміни значень <math>b_{i}</math>,<math>(i=\overline{1,n})</math> на <math>F</math> , то лінійну функцію (3.34) можна розглядати як функцію від аргументів <math>b_{i}</math>,<math>(i=\overline{1,n})</math>.Тоді частинні похідні за змінними <math>b_{i}</math>,<math>(i=\overline{1,n})</math> будуть дорівнювати компонентам оптимального плану двоїстої задачі <math>y_{i}^{*}</math> :<math>dF/db_{i}=y_{i}^{*}</math> ,<math>i=1,2,...,m</math>(3.35) <br>

Однак дане твердження справедливе лише у тому разі, коли компоненти оптимального плану <math>Y^*=(y_1^*,y_2^*,...,y_m^*)</math> залишаються постійними, а оскільки за першою теоремою двоїстості <math>Y^*=C^*D^{-1}</math>, то значення двоїстих оцінок будуть незмінними лише за умови постійної структури оптимального плану початкової задачі. 

Отже, рівності (3.35)  справджуються лише за незначних змін <math>b_i</math>,інакше суттєва зміна умов початкової задачі (правих частин системи обмежень (3.30)  та цільової функції (3.32) приведе до зміни базису в оптимальному плані прямої задачі, а значить, і до іншого розв’язку двоїстої <math>Y^{~}\ne Y^*</math>.

'''Економічний зміст третьої теореми двоїстості.''' 
Двоїсті оцінки є унікальним інструментом, який дає змогу зіставляти непорівнянні речі. Очевидно, що неможливим є просте зіставлення величин, які мають різні одиниці вимірювання. Якщо взяти як приклад виробничу задачу, то цікавим є питання: як змінюватиметься значення цільової функції (може вимірюватися в грошових одиницях) за зміни обсягів різних ресурсів (можуть вимірюватися в тоннах, <math>M^2</math> , люд./год, га тощо).Використовуючи третю теорему двоїстості, можна легко визначити вплив на зміну значення цільової функції збільшення чи зменшення обсягів окремих ресурсів: числові значення двоїстих оцінок показують, на яку величину змінюється цільова функція за зміни обсягу відповідного даній оцінці ресурсу <math>y_{i}^{*}=F/b_{i}</math>.Отже, за умови незначних змін <math>b_{i}</math> замість задачі (3.29)—(3.31) маємо нову задачу, де <math>b_{i}</math> замінено на <math>b_{i}^{'}=b_{i}+\bigtriangleup_b_{i}</math>.Позначимо через <math>X^{'}</math> оптимальний план нової задачі.Для визначення <math>F(X^{'})</math> не потрібно розв’язувати нову задачу лінійного програмування, а достатньо скористатися формулою <math>F(X^{'})-F(X^{*})=y_{i}^{*}\bigtriangleup_b_{i}</math>, де <math>X^{*}</math> — оптимальний план задачі (3.29)—(3.31).