Перегляд вихідного коду сторінки Задача СП: P-модель з імов. обмеж. з нормально розподіленими коефіц. цільвої функції, випадк. матрицею коефіц. обмежень. Детер. еквів. Приклад

<font size=3> Стохастичні задачі, в яких оптимізують ймовірність перевищення лінійної форми деякого порогу <math>P\{cx \geq c^0 x^0\}</math> називають Р-моделями. В цю групу також включають задачі, де потрібно мінімізувати поріг '''''k''''', який не перевищує лінійної форми '''''cx''''' з заданою ймовірністю '''''α''''': </font><br />

<font size=3><math>k \to min, P\{cx \leq k\}=\alpha</math> </font><br />

<font size=3> Еквівалентна детермінована задача дещо ускладняється, якщо замінити показник якості розв’язку стохастичної задачі і замість максимізації <math>M(cx)</math> використати мінімізацію границі при умові, що  </font><br />

<font size=3><math>P\{\sum_{j=0}^n\ c_j x_j \leq k\}=\alpha_0</math> </font><br />

<font size=3>Будемо вважати при цьому, що випадкові коефіцієнти <math>c_j</math>  розподілені нормально з математичним сподіванням <math>c_j</math> і кореляційною матрицею <math>c=\parallel c_ij\parallel</math>, де </font><br />
<font size=3><math>c_{ij}=M(c_i - \bar{c_j})(c_j - \bar{c_j})</math></font><br />

<font size=3>При прийнятих припущеннях про розподілення коефіцієнтів <math>c_j</math> лінійна форма <math>cx</math> є нормально розподіленою випадковою величиною з математичним сподіванням <math>\sum_{j=0}^n\ \bar{c_j} x_j</math> і дисперсією <math>\sum_{i,j=1}^n\ c_{ij} x_i x_j</math>: </font><br />
<font size=3><math>cx \in N \{\sum_{j=0}^n\ \bar{c_j} x_j \sum_{i,j=1}^n\ c_{ij} x_i x_j \}</math></font><br />
<font size=3> </font><br />

<font size=3>Тому співвідношення (1) може бути переписане в іншому вигляді. </font><br />


<font size=3>Звідси видно, що мінімізація k при умові (1) еквівалентна мінімізації </font><br /> 
<font size=3><math>k= \sum_{j=0}^n\ \bar{c_j} x_j + F^{-1} (a_0) \sqrt{\sum_{i,j=1}^n\ c_{ij} x_i x_j} </math></font><br /> 

<font size=3>При <math>a_0=0,5K</math> є випуклою вниз функцією <math>x</math>.</font><br />

<font size=3>Таким чином, при зроблених припущеннях задачі СП </font><br />
<font size=3><math>k \to min, P\{cx \leq k\}=\alpha_0</math> </font><br />

<font size=3>Відповідає детермінований еквівалент </font><br />
<font size=3><math>k= \sum_{j=0}^n\ \bar{c_j} x_j + F^{-1} (a_0) \sqrt{\sum_{i,j=1}^n\ c_{ij} x_i x_j} \to min        (2)</math></font><br />

<font size=3>Задача (2) є задачею випуклого програмування. Для її розв’язку може бути використаний метод січних площин або один з варіантів методу можливих напрямків.</font><br />
<font size=3>
Необхідно звернути увагу, що при <math> a_0<5    F^{-1} (a_0 )<0 </math>, і цільова функція k (2) являє собою опуклу вгору функцію компонент вектора x. В цьому випадку задача (2) є багато екстремальною. Однак задача максимізації k при умові (2) знову виявляється задачею опуклого програмування.
Розглянемо приклад.
Потрібно обчислити детермінований вектор x, для вирішення наступної стохастичної задачі:<br />

<math>
k \to max,
</math>
<br />
<math>
P(x_j x_1 + c_2 x_2 \leq k)=0,37,
</math>
<br />
<math>
P(3x_1 + 2x_2 \leq b_1) \geq 0,9,
</math>
<br />
<math>
P(-x_1 + 4x_2 \leq b_2) \geq 0,9,
</math>
<br/>
<math>
x_1, x_2 \geq 0.
</math>
<br/>

<math>c_1, c_2 </math>  і <math> b_1, b_2 </math> – дві нормально розподілені незалежні між собою пари випадкових величин з математичними очікуваннями<br/> <math> \bar{c} = (-1,2) </math>  і <math> \bar{b} = (3,3) </math> <br/>з кореляційними матрицями<br/>

<math>
\parallel c_ij\parallel = \parallel (10 20 7 7)\parallel
</math>
<br/>
<math>
\parallel b_ij\parallel = \parallel (1 0 0 1)\parallel
</math>

Детермінований еквівалент цієї задачі буде мати такий вигляд:<br/>

<math>
k=-x_1+2x_2-0,33    \sqrt{10x_1^2+14x_1 x_2+20x_2^2 }\to max,
</math>
<br/>
<math>
3x_1-2x_2\leq2,72,
</math>
<br/>
<math>
-x_1+4x_2\leq2,72,
</math>
<br/>
<math>
x_1,x_2\geq0.
</math>

Оптимальни значеннями отриманої задачі опуклого програмування є<br/>
<math>
x^*=(0;0,68); k^*=0,346.
</math>
</font>

Виконала: [[Користувач:2533128|Сандирєва Марина]] <br />
Доповнював: [[Користувач:222658|Ізовіта Олесь]]