Перегляд вихідного коду сторінки Початково-крайова задача для рівняння теплопровідності. Метод Фур’є

'''Початково-крайова задача для рівняння теплопровідності. Метод Фур'є.
'''

Навідміну від попереднього пункта рівняння теплопровідності однорідне, але початкова умова неоднорідна.

<math>{\begin{cases} {U}{t}-a^2{U}_{xx}=0, {\color{Blue}(1)} & \\ U(0,t)=0,{\color{Blue}(2)} & \\U(l,t)=0, {\color{Blue}(3)} & \\U(x,0)=\varphi(x),{\color{Blue}(4)}\end{cases}}</math>
U-температура




Задачу будемо розв'язувати методом Фур'є(методом відокремлюваних змінних)

<math>{U(x,t)=X(x)T(t), {\color{Blue}(5)}}</math>


<math>{(5)\rightarrow \;(1)}</math>

<math>{{X}{T'}=a^2{X''}{T}} {\mid\frac{1}{{X}{T}a^2}}</math>

<math>{	\frac{T'}{a^2{T}}=\frac{X''}{X}=-\lambda}\Rightarrow \;\begin{cases} T'+a^2{\lambda{T}}=0, {\color{Blue}(6)}& \\X''+\lambda{X}=0,{\color{Blue}(7)}\end{cases}</math> - звичайні диференціальні рівняння другого порядку

<math>{(5)\rightarrow \;(2):}</math>

<math>{{X(0)}{T(t)}=0\Rightarrow \;X(0)=0,{\color{Blue}(8)}}</math>

<math>{(5)\rightarrow \;(3):}</math>

<math>{{X(l)}{T(t)}\Rightarrow \;X(l)=0,{\color{Blue}(9)}}</math>

Розглянемо задачу (7)-(9) .Це крайова задача функції відносно X(x) з параметром <math>{\lambda}</math>. Вона називається задачею Штурма-Ліувілля. Розв'язати цю задачу означає : знайти для яких значень параметра <math>{\lambda}</math> існують нетривіальні розв'язки (7)-(9). Причому значення параметра називаються власними значеннями, а самі нетривіальні розв'язки - власними функціями.

<math>{(7)}</math> - характеристичне рівняння      <math>{\alpha^2+\lambda=0\Rightarrow \;\alpha_{1, 2}=\pm\sqrt{-\lambda}}</math>

a) <math>{\lambda<0}</math>
<math>{\alpha_{1, 2}=\pm\sqrt{-\lambda}\in\mathbb{R}}</math>

<math>{x=c_1{e^{\sqrt{-\lambda}{x}}}+c_2{e^{-\sqrt{-\lambda}{x}}}}</math>

Підставляємо у (8)    <math>{X(0)=c_1+c_2=0}</math>

Підставляємо у (9)    <math>{X(l)=c_1{e^{\sqrt{-\lambda}{l}}}+c_2{e^{-\sqrt{-\lambda}{l}}}}</math>

Нетривіальний розв'язок існує, коли <math>{\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ e^\sqrt{-\lambda} & e^{-\sqrt{-\lambda}}  \end{vmatrix} }=0</math> , але це неможливо.

Висновок : нетривіальні розв'язки відсутні, при <math>\lambda<0</math>

b) <math>\lambda=0</math>

<math>{x''=0\rightarrow \;x'=c_1}\rightarrow \;x={c_1}{x}+c_2</math>

Підставляємо у (8)    <math>{X(0)=c_2=0}</math>

Підставляємо у (9)    <math>{X(l)={c_1}{l}+c_2=0\rightarrow \;c_1=c_2=0}</math>  , <math>{X\equiv \;0}</math> - тривіальний.

Висновок: Нетривіальні розв'язки відсутні, при <math>\lambda=0</math>


с)<math>\lambda>0</math>

<math>{\alpha_{1, 2}=\pm{i}{\sqrt\lambda}}</math> є уявними.

<math>{X(x)=c_1{cos{\sqrt{\lambda}{x}}}+c_2{sin{\sqrt{\lambda}{x}}}}</math>


Підставляємо у (8)    <math>{X(0)=c_1+0=0}</math> ,<math>{c_1=0}</math>

Підставляємо у (9)    <math>{X(l)=c_1{cos{\sqrt{\lambda}{l}}}+c_2{sin{\sqrt{\lambda}{l}}}=0\rightarrow \;{sin{\sqrt{\lambda}{l}}}=0\Rightarrow \;{\sqrt{\lambda_k}{l}=\pi{k}} }</math>

<math>{\lambda_k=\left (\frac{\pi{k}}{l} \right)^2 , {\color{Blue}(10)}}</math> - власні значення

Знайдемо власні функції : 

<math>{X_k(x)=c{sin\frac{\pi{k}}{l}{x} , {\color{Blue}(11)}}}</math>

Це кінець задачі Штурма-Ліувілля  (7)-(9). Їїрозв'язками є (10) - (11)

Підставляємо власні значення (10) у рівняння (6):

<math>{T'_k+\left (\frac{\pi{k}{a}}{l} \right)^2{T_k}=0}</math>

Побудуємо характеристичне рівняння або розв'яжемо його інакше як рівняння з відокремленими змінними : 

<math>{T_k(t)=A_k{e^{-{\left (\frac{\pi{k}{a}}{l} \right)^2{t}}}} , {\color{Blue}(12)}}</math>

(12) і (11) підставляємо в (5) :

<math>{U_k(x,t)=a_k{e^{-{\left (\frac{\pi{k}{a}}{l} \right)^2{t}}}}{sin\frac{\pi{k}}{l}{x}} , {\color{Blue}(13)}}</math> - це розв'язок рівняння (1), який відповідає тільки крайовим умовам (2) і (3).

Побудуємо відповідний загальний розв'язок, який утворюється лінійною комбінацією часткових розв'язків (13) :

<math>{U(x,t)=\sum_{k=1}^\infty{a_k}e^{-{\left (\frac{\pi{k}{a}}{l} \right)^2{t}}}}{sin\frac{\pi{k}}{l}{x},{\color{Blue}(14)}}</math>

(14) підставляємо в (4):


<math>{U(x,t)=\sum_{k=1}^\infty{a_k}{sin\frac{\pi{k}}{l}{x}=\varphi(x)}}</math>

Розкладемо функцію <math>{\varphi(x)}</math> в ряд Фур'є по sin на проміжку (0,l), при цьому коефіцієнти будуть :

<math>{\varphi_k=\frac{2}{l}\int_0^l\varphi(x){sin\frac{\pi{k}}{l}{x}}dx}, {\color{Blue}(15)}</math>

<math>\sum_{k=1}^\infty{a_k}{sin\frac{\pi{k}}{l}{x}=\sum_{k=1}^\infty{\varphi_k}sin\frac{\pi{k}}{l}{x}\Rightarrow \;a_k=\varphi_k}</math>

(14),(15) <math>{U(x,t)=\sum_{k=1}^\infty{\varphi_k}e^{-{\left (\frac{\pi{k}{a}}{l} \right)^2{t}}}}{sin\frac{\pi{k}}{l}{x},{\color{Blue}(16)}}</math>

(15) і (16) - загальний розв'язок нашої задачі


Виконала [[ Користувач: Дьоміна Катерина]]


[[category: Вибрані статті з математичного аналізу]]