Перегляд вихідного коду сторінки Розв’язок рівняння Беселя. Функції Беселя першого роду

'''Функції Бесселя''' в [http://ru.wikipedia.org/wiki/Математика математиці] - сім'я [http://ru.wikipedia.org/wiki/Функция_(математика) функцій], які є канонічними розв'язками [http://ru.wikipedia.org/wiki/Дифференциальное_уравнение диференціального рівняння Бесселя]: 
: <math>x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} + (x^2 - \alpha^2)y = 0,</math>

де <math>\alpha</math> — довільне [http://ru.wikipedia.org/wiki/Действительное_число дійсне число], яке називається '''порядком'''.

Найбільш часто використовуються функції Бесселя цілих порядків.

Хоча <math>\alpha</math> и <math>(-\alpha)</math> породжують однакові рівняння, зазвичай домовляються про те, щоб їм відповідали різні функції (це робиться, наприклад, для того, щоб функція Бесселя була гладкою по <math>\alpha</math> ).

Функції Бесселя вперше були визначені [[Швейцарія | швейцарським]] математиком [http://ru.wikipedia.org/wiki/Бернулли,_Даниил Даніелем Бернуллі], а названі на честь [http://ru.wikipedia.org/wiki/Бессель,_Фридрих_Вильгельм Фрідріха Бесселя].

== Застосування == 
Рівняння Бесселя виникає під час знаходження розв'язків [http://ru.wikipedia.org/wiki/Уравнение_Лапласа рівняння Лапласа] та [http://ru.wikipedia.org/wiki/Уравнение_Гельмгольца рівняння Гельмгольца] в [http://ru.wikipedia.org/wiki/Цилиндрические_координаты циліндричних] та [http://ru.wikipedia.org/wiki/Сферические_координаты сферичних] координатах. Тому функції Бесселя застосовуються при розв'язаніі багатьох задач про поширення хвиль, статичних потенціалах і т. п., наприклад: 

* теплопровідність в циліндричних об'єктах; 
* Форми коливання тонкої круглої мембрани 
* Швидкість частинок в циліндрі, заповненому рідиною і який обертається навколо своєї осі. 
Функції Бесселя застосовуються і в рішенні інших задач, наприклад, при обробці сигналів. 

== Визначення == 
Оскільки наведене рівняння є рівнянням другого порядку, у нього має бути два [[лінійна залежність | лінійно незалежних]] рішення. Проте залежно від обставин вибираються різні визначення цих рішень. Нижче наведені деякі з них.

=== Функції Бесселя першого роду ===
Функціями Бесселя першого роду, які позначаються <math>J_\alpha(x)</math>, є розв'язки, скінченні в точці <math>x=0</math> при цілих або невід'ємних <math>\alpha</math>. Вибір конкретної функції і її нормалізації визначаються її властивостями. Можна визначити ці функції за допомогою розкладу в [http://ru.wikipedia.org/wiki/Ряд_Тейлора ряд Тейлора] в околі нуля (або в більш загальний [[степеневий ряд]] при нецілих <math>\alpha</math>):
: <math> J_\alpha(x) = \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m}{m!\, \Gamma(m+\alpha+1)} {\left({\frac{x}{2}}\right)}^{2m+\alpha} </math>
Тут <math>\Gamma(z)</math> - Це [[гамма-функція Ейлера]], узагальнення [[факторіал]]а на нецілі значення. Графік функції Бесселя схожий на [[синус (функція) | синусоїду]], коливання якої затухають пропорційно <math>\frac{1}{\sqrt{x}}</math>, хоча насправді нулі функції розташовані не періодично.

Нижче наведені графіки <math>J_\alpha (x)</math> для <math>\alpha = 0, 1, 2</math>:
 
[[Файл:600px-BesselJ_plot111.jpg|center|450px|График функции Бесселя первого рода J]]

Якщо <math>\alpha</math> не є цілим числом, функції <math>J_\alpha (x)</math> и <math>J_{-\alpha} (x)</math> лінійно незалежні і, отже, є рішеннями рівняння. Але якщо <math>\alpha</math> ціле, то вірно наступне співвідношення:

: <math>J_{-\alpha}(x) = (-1)^{\alpha} J_{\alpha}(x)\,</math>

Воно означає, що в цьому випадку функції лінійно залежні. Тоді другим рішенням рівняння стане функція Бесселя другого роду.

==== Інтеграли Бесселя ====
Можна дати інше визначення функції Бесселя для цілих значень <math>\alpha</math>, використовуючи інтегральне представлення:

: <math>J_\alpha (x) = \frac{1}{\pi} \int\limits_{0}^{\pi}\!\cos (\alpha \tau - x \sin \tau)\,d\tau</math>

Цей підхід використовував Бесселя, вивчивши з його допомогою деякі властивості функцій. Можливо і інше інтегральне представлення:

: <math>J_\alpha (x) = \frac{1}{2 \pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi}\!e^{i(\alpha \tau - x \sin \tau)}\,d\tau</math>