Перегляд вихідного коду сторінки Розв’язок рівняння Лапласа у циліндричних координатах. Рівняння Беселя

===Рівняння Лапласа===
'''Рівняння Лапласа''' - однорідне лінійне рівняння в частинних похідних другого порядку еліптичного типу. 

:<math> \Delta u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 0 </math>.

Рівняння Лапласа описує електростатичне поле в просторі без [http://uk.wikipedia.org/wiki/Електричний_заряд електричних зарядів]. Рівнянням Лапласа описується стаціонарний розподіл температури у просторовому тілі. 

Функції, які задовільняють рівнянню Лапласа, називаються гармонічними. 

Відповідне неоднорідне рівняння називається [http://uk.wikipedia.org/wiki/Рівняння_Пуассона рівнянням Пуассона].

'''Рівняння [[Лаплас]]а''' - рівняння в частинних похідних. У тривимірному просторі рівняння Лапласа записується так:
: <math>\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 0</math>
і є частковим випадком рівняння Гельмгольца.

У двовимірному просторі рівняння Лапласа записується: 
: <math>\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}  = 0</math>

Також і в''n''-вимірному просторі. У цьому випадку до нуля прирівнюється сума ''n'' других похідних.
За допомогою диференціального оператора
: <math>\triangle = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} + ...</math>
- [http://ru.wikipedia.org/wiki/Оператор_Лапласа оператора Лапласа] - це рівняння записується (для будь-якої розмірності) однаково як <math>\triangle u = 0</math>

===Оператор Лапласа===
'''Оператор Лапласа''' - диференціальний оператор, який діє в лінійному просторі гладких функцій, який позначають символом <math>\ \Delta</math>. Функції <math>F\ </math> він ставить у відповідність функцію <math>\left({\partial^2 \over \partial x_1^2} + {\partial^2 \over \partial x_2^2} + \ldots  + {\partial^2 \over \partial x_n^2}\right)F</math>. 
 
Оператор Лапласа еквівалентний послідовному взяття операцій [[градієнт]]а і [[Дивергенція | дивергенції]]: <math>\Delta=\operatorname{div}\,\operatorname{grad}</math>, таким чином значення оператора Лапласа у точці може бути витлумачено як щільність джерел (стоків) [[Потенційне поле | потенційного векторного поля]] <math>\ \operatorname{grad}F</math> в цій точці. У декартовій системі координат оператор Лапласа часто позначається наступним чином <math>\Delta=\nabla\cdot\nabla=\nabla^2</math>, тобто у вигляді скалярного добутку [[Оператор Набла | оператора Набла]] на себе.

== Вирази для оператора Лапласа у різних криволінійних системах координат ==
У довільних ортогональних криволінійних координатах в тривимірному просторі
<math>q_1,\ q_2,\ q_3</math>:
: <math>\Delta f (q_1,\ q_2,\ q_3) = \operatorname{div}\,\operatorname{grad}\,f(q_1,\ q_2,\ q_3) = </math>
: <math>=\frac{1}{H_1H_2H_3}\left[ \frac{\partial}{\partial q_1}\left( \frac{H_2H_3}{H_1}\frac{\partial f}{\partial q_1} \right) + \frac{\partial}{\partial q_2}\left( \frac{H_1H_3}{H_2}\frac{\partial f}{\partial q_2} \right) +  \frac{\partial}{\partial q_3}\left( \frac{H_1H_2}{H_3}\frac{\partial f}{\partial q_3} \right)\right],</math>
: де <math>H_i\ </math> — коефіцієнти Ляме.

=== Циліндричні координати ===
У циліндричних координатах поза прямою <math>\ r=0</math>:
: <math> \Delta f 
= {1 \over r} {\partial \over \partial r}
  \left( r {\partial f \over \partial r} \right) 
+ {\partial^2f \over \partial z^2}
+ {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}
</math>

=== Сферичні координати ===
У сферичних координатах поза початком відліку (у тривимірному просторі):
: <math> \Delta f 
= {1 \over r^2} {\partial \over \partial r}
  \left( r^2 {\partial f \over \partial r} \right) 
+ {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta}
  \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) 
+ {1 \over r^2\sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}
</math>

або

: <math> \Delta f 
= {1 \over r} {\partial^2 \over \partial r^2}
  \left( rf \right) 
+ {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta}
  \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) 
+ {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}.
</math>

В випадку якщо <math>\ f=f(r)</math> в n-вимірному простррі:

: <math> \Delta f =  {d^2 f\over dr^2} + {n-1 \over r } {df\over dr}.</math>

=== Параболічні координати ===

В параболічних координатах (у тривимірному просторі) поза початком відліку:
: <math>
\Delta f= \frac{1}{\sigma^{2} + \tau^{2}} 
\left[
\frac{1}{\sigma} \frac{\partial }{\partial \sigma} 
\left( \sigma \frac{\partial f}{\partial \sigma} \right) +
\frac{1}{\tau} \frac{\partial }{\partial \tau} 
\left( \tau \frac{\partial f}{\partial \tau} \right)\right] +
\frac{1}{\sigma^2\tau^2}\frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2}
</math>

=== Цилиндричні параболічні координати ===

В координатах параболічного циліндра поза початком відліку:

: <math>\Delta F(u,v,z) = \frac{1}{c^2(u^2+v^2)} \left[ \frac{\partial^2 F }{\partial u^2}+ \frac{\partial^2 F }{\partial v^2}\right] + \frac{\partial^2 F }{\partial z^2}</math>

== Рівняння Беселя ==

: <math>x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} + (x^2 - \alpha^2)y = 0</math>
[[category: Вибрані статті з математичного аналізу]]