Перегляд вихідного коду сторінки Асимптотичні розвинення циліндричних функцій.

:<font color='blue' size=4>''Асимптотичне розвинення''</font> - це наближене представлення функції при великих значеннях <math>\mathbf{Z}</math>.
:Функція Бесселя асимптотично має вигляд:
:1) якщо <math>{z}\rightarrow{\infty}</math>


<math>{J_m(z)}\simeq\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi{z}}}[{A_m(z)\cos(z-\frac{m\pi}{2}-\frac{\pi}{4})-B_m(z)\sin(z-\frac{m\pi}{2}-\frac{\pi}{4})]} </math>


<math>{N_m(z)}\simeq\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi{z}}}[{A_m(z)\sin(z-\frac{m\pi}{2}-\frac{\pi}{4})-B_m(z)\cos(z-\frac{m\pi}{2}-\frac{\pi}{4})]} </math>


:де <math>{A_m(z)}</math> і <math>{B_m(z)}</math> мають асимптотичне розвинення:


	
<math>A_m(z)=1-\frac{({4m^2}-1)({4m^2}-9)}{2!(8z)^2}+\frac{({4m^2}-1)({4m^2}-9)({4m^2}-25)({4m^2}-49)}{4!(8z)^4}\mp...</math>


<math>B_m(z)=\frac{({4m^2}-1)}{8z}+\frac{({4m^2}-1)({4m^2}-9)({4m^2}-25)}{3!(8z)^3}\pm...</math>

Аналогічні вирази можна отримати для <math>{H_m}^{(1)}(z)</math> і <math>{H_m}^{(2)}(z)</math> , користуючись їх зв'язком з <math>{J_m}(z)</math> та <math>{N_m}(z)</math>


:2) якщо <math>|{z}|\gg{m}</math> , <math>{z}\rightarrow{\infty}</math>  то справедливі асимптотичні формули:

<math>{J_m(z)}\simeq\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi{z}}}cos(z-\frac{m\pi}{2}-\frac{\pi}{4})</math>

<math>{N_m(z)}\simeq\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi{z}}}sin(z-\frac{m\pi}{2}-\frac{\pi}{4})</math>



Тобто <math>{A_m(z)}</math>=1  ,  <math>{B_m(z)}</math>=0

<math>{H_m}^{(1)}(z)\simeq\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi{z}}}e^{i(z-\frac{m\pi}{2}-\frac{\pi}{4})}</math>

<math>{H_m}^{(2)}(z)\simeq\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi{z}}}e^{-i(z-\frac{m\pi}{2}-\frac{\pi}{4})}</math>


Асимптотичне розвинення зручно застосовувати для спрощення обчислення при великих <math>\mathbf{Z}</math>, а також для перевірки отриманого результату.



[[category: Вибрані статті з математичного аналізу]]