Перегляд вихідного коду сторінки Задача СП: М-модель з імовірнісними обмеженнями з випадковою матрицею коефіцієнтів обмежень. Незалежні корельовані умови обмеження.

<font size=3> Відмовимося тепер від умови детермінованості матриці ''А'' в [[Задача СП. М-модель з імовірнісними обмеженнями з детермінованою матрицею коефіцієнтів обмежень. Детермінована задача. Двоїста задача.|задачі (1.1)-(1.3)]]. Нехай елементи матриці ''А'' та складові вектора  ''b'' – незалежні між собою нормально розподілені випадкові величини. </font>

<font size=3> Запис <math>a_{ij}\in N(\bar{a}_{ij},\sigma^2_{ij})</math>, <math>b_{i}\in N(\bar{b}_{i},\vartheta^2_{i})</math>  означає, що <math>a_{ij}</math>  (відповідно <math>b_{i}</math>)  - нормально розподілені випадкові величини з математичним сподіваннями <math>\bar{a}_{ij}</math> (відповідно <math>\bar{b}_{i}</math>) та  дисперсіями  <math>\vartheta^2_{i}</math> (відповідно <math> \sigma^2_{ij}</math>). </font>

<font size=3> Нехай крім того, </font>

<font size=3> <math>\alpha_{i}\geqslant 0,5,i=1,\ldots,m </math>. </font>

<font size=3> При зроблених припущеннях [[Задача СП. М-модель з імовірнісними обмеженнями з детермінованою матрицею коефіцієнтів обмежень. Детермінована задача. Двоїста задача.|лінійна стохастична задача(1.1)-(1.3)]], розв'язок якої  визначається в розв’язувальних правилах нульового порядку, зводиться до детермінованої задачі опуклого програмування з лінійною цільовою функцією та квадратичними обмеженнями. </font>

<font size=3> Дійсно, при прийнятих припущеннях нев’язка ''і''-ої умови – випадкова величина </font>

<font size=3> <math>\delta_{i} = \sum^{n}_{j=1}{a_{ij}x_{j}}- b_{i}</math> </font>

<font size=3> є нормально розподіленою величиною з математичним сподіванням </font>

<font size=3> <math>\overline{\delta_{i}(x)} = \sum^{n}_{j=1}\bar{a}_{ij}x_{j}- \bar{b}_{i}</math> </font>

<font size=3> та дисперсією  </font>

<font size=3> <math> \sigma^2_{i}(x)= \sum^{n}_{j=1}\sigma^2_{ij}x^2_{j}+ \vartheta^2_{i}</math>, </font>

<font size=3> тобто </font>

<font size=3> <math>\delta_{i}(x)\in N(\overline{\delta_{i}(x)},\sigma^2_{i}(x))</math>. </font>

<font size=3> Співвідношення (1.2) еквівалентні нерівностям </font>

<font size=3> <math>P(\delta_{i}(x)\leqslant0)\geqslant\alpha_{i}</math> , <math>i=1,\ldots,m</math>, </font>

<font size=3> або, в нашому випадку те саме </font>

<font size=3> <math>\ \frac{1}{\sqrt{2 \pi}\sigma_{i}(x)} \int\limits_{\infty}^{0} e^{-\frac{\xi-\bar{\delta}_{i}(x))^2}{2\sigma^2_{i}(x)}}d\xi \geqslant\alpha_{i} </math>,  <math>i=1,\ldots,m</math>,. </font>

<font size=3> Позначивши </font>

<font size=3> <math>\ \Phi(t)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int\limits_\infty^0 e^{-\frac{\xi^2}{2}}d\xi </math> - [https://ru.wikipedia.org/wiki/Функция_ошибок функція Лапласа], </font>

<font size=3> перепишемо останню нерівність у вигляді </font>

<font size=3> <math>\Phi(-\frac{\bar{\delta}_{i}(x)}{\sigma_{i}(x)})\geqslant\alpha_{i}</math>, </font>

<font size=3> Або те саме, що </font>

<font size=3> <math>\bar{\delta}_{i}(x)+\Phi^{-1}(\alpha_{i}\sigma_{i}(x))\leqslant 0</math>. </font>

<font size=3> Враховуючи вирази для <math>\bar{\delta}_{i}(x)</math> та  <math>\sigma_{i}(x)</math> отримаємо </font>

<font size=3> <math>\Phi^{-1}(\alpha_{i})(\sum^{n}_{j=1}\sigma^2_{ij}x^2_{j}+ \vartheta^2_{i})^{\frac{1}{2}}\leqslant \bar{b}_{i}-\sum^{n}_{j=1}\bar{a}_{ij}x_{j}</math>, <math>i=1,\ldots,m</math>.
(1.12) </font>

<font size=3> За умовою <math>\alpha_{i}\geqslant 0,5</math>. В цьому випадку <math>\Phi^{-1}(\alpha_{i})\geqslant 0</math> , і область, обмежена умовами (1.12) – опукла. </font>

<font size=3> Аналогічний результат отримується і тоді, коли випадкові елементи умови – рядки, корельовані між собою. </font>

<font size=3> Ведемо позначення </font>

<font size=3> <math>\upsilon_{ij}= M((b_{i}-\bar{b}_{i})(a_{ij}-\bar{a}_{ij}))</math>, <math>\upsilon_{ijk}= M((a_{ij}-\bar{a}_{ij})(a_{ik}-\bar{a}_{ik}))</math>. </font>

<font size=3> Міркуючи як і раніше, отримаємо при <math>\alpha_{i}\geqslant 0,5</math> </font>

<font size=3> <math>\Phi^{-1}(\alpha_{i})(\sum_{j,k}\upsilon_{ijk}x_{j}x_{k}+2\sum_{j}\upsilon_{ij}x_{j}+ \vartheta^2_{i})^{1/2})\leqslant \bar{b}_{i}-\sum_{j}\bar{a}_{ij}x_{j}</math>
(1.13) </font>

<font size=3> <math>i=1,\ldots,m</math>. </font>

<font size=3> Додатня визначеність форми <math>\sum_{j,k}\upsilon_{ijk}x_{j}x_{k}</math>  гарантує опуклість форми,  обмеженої умовами (1.13). </font>

<font size=3> Таким чином, при прийнятих припущеннях лінійна стохастична задача (1.1)-(1.3) з ймовірнісними обмеженнями зводиться до детермінованої задачі опуклого програмування з лінійною цільовою функцією та квадратичними умовами-нерівностями: </font>

<font size=3> <math>\sum^{n}_{j=1}\bar{c}_{j}\rightarrow max</math>,          
(1.14) </font>

<font size=3> <math>\Phi^{-1}(\alpha_{i})(\sum_{j,k}\upsilon_{ijk}x_{j}x_{k}+2\sum_{j}\upsilon_{ij}x_{j}+ \vartheta^2_{i})^{1/2})\leqslant \bar{b}_{i}-\sum_{j}\bar{a}_{ij}x_{j}</math> </font>

<font size=3> <math>i=1,\ldots,m</math>
(1.15) </font>

<font size=3> <math>x_{j}\geqslant 0</math>, <math>j=1,\ldots,n</math>
(1.16). </font>

==Список використаних джерел==
1.	Юдин Д. Б. Математические методы управления в условиях неполной информации. / Юдин Д. Б. М: «Сов. радио», 1974. – 400 с.