Розв’язування тригонометричних рівнянь, що зводяться до квадратних

У курсі алгебри 8-го класу було вивчено способи розв’язування квадратних рівнянь, які використовуються і при розв’язуванні окремих випадків тригонометричних рівнянь.

Приклад.

Розв’яжіть рівняння Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): 2 〖cos〗^2⁡〖x-5 cos⁡x+2=0〗

.

Розв’язання.

Дане рівняння є квадратним відносно Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): cos⁡x

.

Нехай Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): cos⁡x=t , де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): |t|≤1 , тоді одержимо рівняння Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): 2t^2-5t+2=0 .

Розв’язавши його, знайдемо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): t_1=1/2

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): t_2=2

. Значення Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): t_2=2

не задовольняє умову Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): |t|≤1

, отже:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): cos⁡x=1/2

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x=±arccos⁡〖1/2+2πn,n∈Z〗

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x=±π/3+2πn,n∈Z

Відповідь: Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x=±π/3+2πn,n∈Z

Види тригонометричних рівнянь та способи їх розв’язування