Одноетапна М-модель з імовірнісними обмеженнями. Розв’язувальні правила. Узагальнення для скінченнозначних обмежень (без доведення).

Побудуємо розв’язувальне правило для наступної задачі стохастичного програмування. Обчислити максимум функціоналу Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): M\varphi_0(w,x(w))

 серед всіх визначених функцій Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x(w)

, що визначені на множині Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): X , і таких, що Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P{x(w)\in G(w)\geq\alpha} .

Тут Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): 0\leq\alpha\leq1 , а випадкова область Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): G(w)

така, що множина Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {x,w|x\in G(w)}
- борелівська множина у Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): X\times\Omega

.

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ M(cx) \rightarrow max , (1.1)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ P \left \{ \sum^{n}_{j=1} a_{ij}x_j \leq b_i \right \} \geq p_{i}, i=1,...,m . (1.2)

Умови Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ x \geq 0

припускаються включеними у систему нерівностей (1.2) з Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ p_{i}=1 

.

Будемо вважати матрицю Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ A=||a_{ij}||

детермінованою, а вектори Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  b 
і Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  c 
незалежними випадковими векторами. Компоненти кожного з цих векторів можуть бути корельованими між собою. Наступні обчислення будемо вести, припускаючи, що складові вектора обмежень Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  b 
розподілені нормально. 

Задамо розв'язувальне правило у вигляді

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ x=Db , (1.3)

де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): D

- невідома детермінована матриця розміру Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ n \times m 

.

Знайти розв'язки задачі (1.1)-(1.3) - означає очбислити елементи Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ d_{ij}

матриці Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  D 

.

Перетворимо запис задачі (1.1)-(1.3). Підставимо (1.3) у вираз для показника якості (1.1) розв'язку задачі. Враховуючи статистичну незалежність векторів Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): c

і Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  b 

, маємо

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): M(cx)=\overline{cx}=\overline{cDb}=\sum^m_{i=1} \sum^n_{j=1}d_{ij}\bar{b_i}\bar{c_i} ,

де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \bar{c}

і Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \bar{b} 
- математичні сподівання векторів Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  c 
і Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  b 

.

Зведемо тепер умови (1.2) до еквівалентного детермінованого вигляду. Позначимо через Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ a_i=(a_{i1},...,a_{in})

i-ий вектор-рядок матриці Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  A 
і введемо випадкову змінну Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ \zeta_i 

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ \zeta_i=\frac{(b_i-\bar{b}_i)-a_iD(b-\bar{b})}{\sqrt{M[(b_i-\bar{b}_i)-a_iD(b-\bar{b})]^2}} .

Легко бачити, що

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ \bar{\zeta}_i=M \zeta_i=0

та Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ \sigma^2_{\zeta_i}=M(\zeta_i-\bar{\zeta}_i)^2=1  

,

тобто випадкові величини Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ \zeta_i

мають нульові математичні сподівання та одиничні дисперсії. 

Неважко впевнитися безпосередніми обчисленнями, що умови Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ \sum^n_{j=1}a_{ij}x_j \le b_i , або, що є те ж саме у припущенні (1.3),

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ a_iDb \le b_i

еквівалентні співвідношенням 

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ \zeta_i \ge \zeta^0_i=\frac{-\bar{b}_i+a_iD\bar{b}}{\sqrt{M[(b_i-\bar{b}_i)-a_iD(b-\bar{b})]^2}} . (1.4)

Тому умови (1.2) можуть бути замінені нерівностями вигляду

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P( \zeta_i \ge \zeta^0_i) \ge p_i, i=1,2,...,m . (1.5)

Випадкові величини Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \zeta_i

як лінійні комбінації нормально розподілених випадкових величин розподілені нормально. Тому співвідношення (1.5) еквівалентні нерівностям 

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int\limits_{\zeta^0_i}^\infty e^{-\frac{t^2}{2}}dt \ge p_i , або Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ 1-\Phi (\zeta^0_i) \ge p_i ,

де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ \Phi(z)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int\limits_{\zeta^0_i}^\infty e^{-\frac{t^2}{2}}dt

- функція Лапласа. 

Останню нерівність можна переписати у вигляді

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \zeta^0_i \le \Phi^{-1}(1-p_i)=-k_i . (1.6)

При Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): p_i>\frac{1}{2}

(а тільки цей випадок і становить інтерес у практичних задачах) Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ k_i>0 

.

За прийнятих припущень числа Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ k_i

залежать тільки від заданих ймовірностей Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ p_i 
і не залежать від елементів шуканої матриці Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  D 

.

Підставимо вираз для Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ \zeta^0_i

з (1.4) у нерівність (1.6). Отримаємо наступний запис обмежень вихідної задачі: 

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ \bar{b}_i-a_iD\bar{b} \ge k_i \sqrt{M[(b_i-\bar{b}_i)-a_iD(b-\bar{b})]^2} .

Введемо додаткові змінні Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ z_i , такі, що

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ \bar{b}_i-a_iD\bar{b} \ge z_i \ge k_i \sqrt{M[(b_i-\bar{b}_i)-a_iD(b-\bar{b})]^2} .

Останнє співвідношення еквівалентне системі нерівностей

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ a_iD\bar{b}+z_i \le \bar{b}_i , (1.7)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ -k_i^2M[(b_i-\bar{b}_i)-a_iD(b-\bar{b})]^2+z_i^2 \ge 0 , (1.8)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ z_i \ge 0 , (1.9)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ i=1,2,...,m .

Кожна з умов вигляду (1.7) визначає півпростір у просторі змінних Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ d_{ij}

і Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ z_i (i=1,2,...,m, j=1,2,...,n)

. Перетин цих півпросторів для Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ i=1,2,...,m

відповідає опуклій багатогранній множині. Можна довести, що про кожному Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ i 
пара умов вигляду (1.8), (1.9) висікає у просторі змінних Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ d_{ij} 
і Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ z_i
опуклу множину. Ця множина являє собою "верхню" (у сенсі осі Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ z_i

) порожнину двополосного гіперболоїда. Таким чином, умови (1.7)-(1.9) висікають у просторі змінних Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ d_{ij}

і Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ z_i 
опуклу множину. Ми прийшли до задачі опуклого програмування. Перепишемо її у більш компактному вигляді. Введемо позначення 

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ \mu_i(D)=M(b_i-a_iDb)

, (1.10) 

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ \sigma_i^2(D)=M(b_i-a_iDb)^2 , (1.11)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ i=1,2,...,m .

У цих позначеннях задача опуклого програмування - детермінований еквівалент задачі (1.1) - (1.3) - приймає вигляд

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ \bar{c}D\bar{b} \rightarrow max , (1.12)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ \mu_i(D)-z_i\ge0 , (1.13)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ k_i^2[\mu_i^2(D)-\sigma_i^2(D)]+z_i^2 \ge 0 , (1.14)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ z_i\ge0, i=1,2,...,m . (1.15)

Задача, розглянута вище, являє собою M-модель.

Виконала: Боженко Альбіна

Редагувала: Латій Яна

Редагувала: Мамонтова Галина