Тема 9. ОСНОВИ СПЕЦІАЛЬНОЇ ТЕОРІЇ ВІДНОСНОСТІ

9.1. Обмеження класичної механіки Ньютона. Постулати Ейнштейна

9.2. Відносність одночасності. Перетворення Лоренца

9.3. Відносність довжин та інтервалів часу. Релятивіський закон додавання швидкостей

9.4. Релятивіський імпульс та закони Ньютона у СТВ

9.5. Взаємозв’язок маси і енергії

9.6. Закони збереження в СТВ

9.1. Обмеження класичної механіки Ньютона. Постулати Ейнштейна

На межі ХІХ–ХХ століть стали відомі факти, які не могла пояснити класична фізика: так досліди Майкельсона поставили під сумнів факт існування ефіру – особливого середовища, яке пронизує Всесвіт і може бути абсолютно нерухомою системою відліку, тому довелось констатувати, що швидкість світла у вакуумі не залежить від величини і напрямку руху системи відліку; Кауфман, вивчаючи відхилення β-частинок в електричних та магнітних полях, прийшов висновку, що =f(υ); стало відомим про порушення інваріантності відносно перетворень Галілея рівнянь електродинаміки Максвелла.

Ейнштейн приходить висновку, що Земля внаслідок мізерно малого переміщення впродовж часу, що тривав дослід, являла собою інерціальну систему відліку, тому встановити її рух було неможливим. Він приходить до висновку, що класична уява про абсолютний простір і час є неправильними. 1905 року А.Ейнштейн формулює два постулати, які лягли в основу спеціальної теорії відносності (СТВ) – це принцип відносності та принцип сталості швидкості світла.

Принцип відносності Ейнштейна є розповсюдженням механічного принципу Галілея на всі без винятку фізичні явища: всі закони природи відбуваються однаково в усіх інерціальних системах відліку.

Як відомо, незмінність виду рівнянь при заміні в них координат та часу однієї системи відліку координатами і часом іншої системи відліку називаються інваріантністю рівнянь. Тому принцип відносності можна сформулювати й так: рівняння, які виражають закони природи, інваріантні до перетворення координат і часу від однієї інерціальної системи відліку до іншої.

Другий постулат стверджує: в усіх інерціальних системах відліку швидкість світла у вакуумі є величиною сталою і не залежить від напрямку його поширення, а також від руху чи спокою джерела світла і приймача.

9.2. Відносність одночасності. Перетворення Лоренца

 З погляду класичної фізики перебіг часу рівномірний і безвідносний до зовнішніх предметів. Звідси робиться висновок, що дві одночасні події в одній системі відліку будуть одночасними у будь-якій іншій системі відліку.

Ейнштейн проводить ряд аналітичних дослідів. Один із них (рис.9.1): вагон рухається із швидкістю υ, посередині вагону знаходиться лампа Л1, світло від якої сприймається приймачами всередині вагону П1 та П2 і зовнішніми П3 і П4 (відстані |П1П2|=|П3П4|). Відповідно до першого постулату в обох системах відліку виникнення й сприймання сигналу має проходити однаково. Проте, за умови сталості швидкості, дійсно світло має досягти приймачів П3 і П4 у один і той же момент часу. Проте, такої одночасності не може бути для приймачів П1 та П2, оскільки приймач П1 рухається назустріч світловому променю, а П2 – від нього віддаляється. Тому приймач П1 буде фіксувати сигнал раніше, ніж П2.

З аналізу подібних дослідів Ейнштейн робить висновок, що:

·         події, одночасні в одній системі відліку, не є одночасними в іншій;

·         одночасність є поняття відносне;

·         у різних системах відліку перебіг часу – різний.

Цим СТВ фактично спростувала припущення класичної фізики, що простір та час носять абсолютний характер.

Розглянемо дві системи відліку нерухому xyzt та рухому з деякою швидкістю υ відносно нерухомої x/y/z/t/ вздовж осі Ох . Нехай у той момент часу, коли координати О та О/ співпадають, у точках О та О/ відбувається спалах світла. Якщо цей момент прийняти за початок відліку, тоді з одного боку положення хвильової поверхні у момент часу t буде описуватись рівнянням сфери радіуса ct з центром у точці О: x2 + y2 + z2 =(ct)2, а з іншогорівнянням сфери x/2 + y/2 + z/2 =(ct/)2 з центром у точці О/. Отже в один і той же момент часу t=t/ хвильова поверхня досягає різних точок простору, але ж с=const у будь-якій інерціальній системі відліку.

Тому: (ct)2– (x2 + y2 + z2)= (ct/)2– (x/2 + y/2 + z/2) /1/.

СТВ відкидає перетворення Галілея, заміняючи їх перетвореннями Лоренца. Оскільки система x/y/z/ рухається відносно зі сталою швидкістю υ, тоді система xyz рухається відносно x/y/z/ зі швидкістюυ. Отже, при x/=0 → х= υt, коли x=0 → х/=– υt/. Із цих умов рівняння для координат мають виглядати:

, де k та k/ коефіцієнти, які залежать від швидкості υ.

Підставивши у /3/ замість х/ його значення із виразу /2/, знайдемо t/:

 /4/.

Підставивши значення х/ із /2/ та t/ із /4/ у /1/ та припустивши, що y=y/ i z=z/ дістанемо, що  /5/,

підставивши які у /2/, /3/, /4/ одержимо перетворення координат при переході від однієї системи до іншої. Наприклад, для переходу від xyz до x/y/z/, маємо:

 /6/. Це і є перетворення Лоренца.

Пропоную самостійно одержати формулу /5/ та перетворення координат при переході від системи x/y/z/ до xyz.

Дуже важливо, що при υ<<c перетворення Лоренца переходять у формули перетворень Галілея, а у випадку, якщо υ>cвтрачають зміст, що свідчить про граничну швидкість світла у вакуумі для всіх систем відліку.

9.3. Відносність довжин та інтервалів часу. Релятивіський закон додавання швидкостей

Із перетворень Лоренца витікає ряд важливих наслідків, що стосуються простору і часу:

1.                   Відносність проміжків часу . Якщо інтервал часу між двома подіями в деякій точці інерціальної системи дорівнює t0, то інтервал часу між цими ж подіями у системі відліку, яка рухається зі швидкістю υ відносно першої виражається співвідношенням .

Зрозуміло, що t>t0 , бо υ<c, але коли υ<<c, то (υ/c)20, тому tt0.

2.                   Відносність відрізків довжини. Відстань теж не є абсолютною величиною, а залежить від швидкості руху тіла відносно даної системи відліку. Якщо l0 – довжина стержня в системі відліку, відносно якої він знаходиться в стані спокою, то його довжина відносно системи, яка рухається зі швидкістю υ відносно першої: . Як видно , але якщо υ<<c, то ll0. У цьому полягає релятивіське зменшення розмірів тіл у рухомих системах відліку.

Класичний закон додавання швидкостей теж не може бути прийнятий у СТВ. Повернімось до рис.9.1.: якщо поїзд рухається зі швидкістю υ, а у вагоні в напрямку руху розповсюджується світлова хвиля, то її швидкість відносно Землі повинна все одно бути с, а не с+ υ.

Нехай деяке тіло рухається зі швидкістю υ/ узовж вісі Ох/ системи координат x/y/z/, яка в свою чергу рухається взовж вісі Ох системи координат xyz зі швидкістю υ. Протягом руху вісі Ох та Ох/ співпадають, а Оу і Oy/ та Oz і Oz/ залишаються паралельними (як на рис.9.2.). Тоді швидкість руху даного тіла відносно нерухомої системи

 /6/ .

Якщо υ<<c і υ/<<c, то , отже одержали класичний закон. Коли υ/=с, то відповідно до другого постулату, υ1 теж повинно дорівнювати с. Дійсно:

.

9.4. Релятивіський імпульс та закони Ньютона у СТВ

Проаналізуємо можливості застосування законів Ньютона у СТВ.

·         Перший закон описує стан тіл в інерціальних системах відліку, тому зберігає свій фізичний зміст й у СТВ.

·         Другий закон динаміки справедливий теж для СТВ. Запишемо його у вигляді , де  імпульс тіла. Але ж при збільшенні швидкості тіла його

маса зростає за законом ,  називають масою спокою тілаце

маса тіла при υ=0.

Явище збільшення маси тіла із збільшенням швидкості звичайно не можна спостерігати у повсякденному житті і навіть при сучасних швидкостях ракет. Але в прискорювачах елементарних частинок, де останні розганяються до швидкостей, порівнянних зі швидкістю світла, цього ефекту не враховувати не можна. Вже на стадії проектування прискорювачів слід врахувати, що частинку доведеться утримувати на коловій орбіті при збільшенні її маси майже у 2000 разів.

Отже, враховуючи залежність маси від швидкості другий закон Ньютона в СТВ набуде вигляду:

         /7/

і, відповідно, закон зміни імпульсу повинен виглядати:

 /8/.

Основний наслідок із другого закону динаміки в СТВ: при наближенні швидкості руху частинки до швидкості світла, маса тіла зростає до нескінченності, а оскільки , то прискорення зменшується до нуля. Отже, швидкість перестає зростати як би довго не діяла сила.

·         Третій закон Ньютона може розглядатись як відображення закону збереження імпульсу стосовно двох взаємодіючих тіл, тому , як і перший закон динаміки, не потребує ніяких поправок у СТВ.

9.5. Взаємозв’язок маси і енергії

Під дією сили  виконується робота , яка чисельно дорівнює зміні кінетичної енергії тіла.

Отже, . Врахувавши, що ,

остання рівність набуває вигляду

, інтегрування якого, дає співвідношення:

.

Оскільки за фізичним змістом кінетичної енергії вона повинна перетворюватись в нуль при υ=0, то значення константи повинно дорівнювати –mc2. Тому кінцево для кінетичної енергії в СТВ маємо:

 /9/.          

У випадку υ<<c останній вираз набуває класичного, тобто .

Кінетична енергія, яку тіло одержало внаслідок зміни швидкості, дорівнює зміні кінетичних енергій: , де  міра повної енергії, що має тіло масою m, а  можна розглядати як енергію спокоюце повна енергія, якою володіє тіло, яке знаходиться в стані спокою відносно інерціальної системи відліку. Тому .

Експериментально доведено, що один вид енергії переходить в інший, тому останню формулу можна узагальнити на всі форми енергії та вважати, що при будь-якій зміні енергії тіла на величину ΔЕ змінюється маса тіла на величину  і

навпаки – при будь-якій зміні маси тіла на Δm повна енергія тіла змінюється на величину .

Таким чином, будь-яке тіло вже завдяки факту свого існування володіє енергією, яка пропорційна його масі. Так, при перетворенні елементарних частинок, які мають масу спокою, в частинки, в яких маса спокою дорівнює нулеві, енергія повністю перетворюється в кінетичну енергію нових частинок. Цей факт є найбільш очевидним експериментальним доказом існування енергії спокою.

Встановлення взаємозв’язку між масою та енергію є одним з найважливіших досягнень теорії відносності.

9.6. Закони збереження в СТВ

Якщо у системі матеріальних точок не відбувається внутрішніх взаємодій, то повна енергія такої системи і повний імпульс є величини адитивні, тобто:

.

Якщо ж окремі частинки взаємодіють між собою, то повна енергія системи може бути записана так: , де Uпотенціальна енергія взаємодії частинок. Але в релятивіській динаміці потенціальна енергія в кожний момент часу визначається конфігурацією частинок системи, зміна ж конфігурації повинна миттєво зумовити зміну потенціальної енергії. А це суперечить другому постулату Ейнштейна, бо миттєвої передачі взаємодій бути не повинно, оскільки швидкість – величина скінчена.

Тому в цілому: для замкнутої системи невзаємодіючих частинок релятивістська енергія залишається постійною, а закон збереження енергії  водночас є і законом збереження маси. Як бачимо – це не так, як у класичній теорії.

Порівнюючи /10/ та /11/ , одержимо: . Враховуючи залежність маси від швидкості, маємо:   /12/ –

залежність між повною енергією частинки та імпульсом в СТВ.