Тема 7. МЕХАНІКА РІДИН ТА ГАЗІВ

6.1. Тиск в рідинах та газах. Закон Паскаля

6.2. Закон Архімеда. Умова плавання тіл

6.3. Ідеальна рідина. Рівняння нерозривності

6.4. Рівняння Бернуллі

6.5. Реакція рідини, що витікає

6.6. Рух рідин і газів та рух тіл у рідинах і газах

6.1. Тиск в рідинах та газах. Закон Паскаля

Тиск стовпа рідини або газу можна обрахувати виходячи з означення: під тиском розуміють відношення сили, яка діє перпендикулярно на елемент поверхні до площі даної поверхні, тобто

eq,

де S – площа, h – висота стовпа рідини або газу, ro – густина рідини або газу. Тиск стовпа рідини або газу (гідростатичний тиск) не залежить від форми судини.

Для рідин та газів, які перебувають у стані рівноваги, виконується закон Паскаля: тиск у будь-якій точці рідини чи газу, які перебувають у рівновазі, однаковий у всіх напрямках і передається у всіх напрямках однаково.

На законі Паскаля основана дія ряду практичних механізмів, наприклад, гідравлічного підйомника (рис.7.1). Завдяки різним площам двох поршнів, невелика сила, що діє на поршень малої площі перетворюється в значну силу на великій площі. Оскільки, h=const, то  , або . Отже, величина  визначає виграш у силі, який дає гідравлічна машина, і чисельно він дорівнює відношенню площ поршнів.

 

6.2. Закон Архімеда. Умова плавання тіл

На тіло, занурене у рідину чи газ діє виштовхувальна сила. Причини виникнення цієї сили можна пояснити із (рис 7.2). p3 = p4, тому що глибини – однакові. F2 > F1, тому що глибина h2 > h1. Отже, FА=F F1, або причина виникнення сили, що виштовхує, у різниці сил (тисків) на різних глибинах. Ця формула застосовна завжди.

Можна уточнити:  , де eq – густина рідини або газу, де V – об’єм зануреної частини тіла. Оскільки eq – маса рідини, витиснутої тілом, то FА=mрg=Pр . Отже, на тіло, занурене в рідину (або газ), діє виштовхувальна сила, що дорівнює вазі рідини (газу), витиснутої тілом . Це і є закон, відкритий Архімедом експериментально.

Вага тіла, зануреного в рідину або газ може бути знайдена із таких міркувань. У стані спокою P0=mg. Якщо тіло занурене в рідину або газ, то P=P0 - FА=P0- Pр. Отже, тіло, занурене в рідину або газ, втрачає у своїй вазі стільки, скільки важить витиснута ним рідина . ˚

(Дивись демонстрацію**&)

Умови плавання тіл. Якщо FА > mg – тіло спливає, доти, поки сили не зрівноважаться. Якщо FА < mg – тіло потоне. Якщо FА = mg – тіло плаває в будь-якій точці рідини (газу).

6.3. Ідеальна рідина. Рівняння нерозривності

Ідеальна рідина – це рідина, яка абсолютно нестислива та позбавлена внутрішнього тертя. Потік рідини вважають стаціонарним, якщо швидкість потоку в будь-яких точках простору не змінюється з часом.

Для полегшення аналізу законів руху рідин користуються лініями течії та трубками течії. Під лінією течії розуміють лінію, дотична до якої в кожній точці збігається з вектором швидкості. Трубка течії – це частина рідини, обмежена лініями течії.

Масу рідини, що протікає за час через поперчний переріз трубки течії можна обрахувати так: .

Теорема нерозривності течії (потоку): при стаціонарному потоці маса рідини або газу, що протікає через будь-який поперечний переріз трубки течії за одиницю часу однакова (рис.7.3), тобто

.

Оскільки для однієї й тієї ж рідини . Або інше формулювання цієї теореми: добуток швидкості течії нестисливої рідини на площу поперечного перерізу трубки течії є величина стала для даної трубки течії.

6.4. Рівняння Бернуллі

Розглянемо трубку течії змінного поперечного перерізу, що знаходиться на певній висоті відносно деякого нульового рівня (рис.7.4), виділивши об’єм АВСD. Переріз АВ, площею  зазнає з боку рідини дії тиску p1, а переріз CD, площею S2 p2, отже, з боку рідини кожен переріз зазнає дії різної сили:  та . За один і той же проміжок часу перерізи зазнають різних зміщень, оскільки  (бо ). Коли фронт АВ переміститься в положення А/В/, то виконується робота . Одночасово для переміщення фронту CD у положення C/D/ треба виконати роботу . Тоді повна робота, виконана силами тиску  і повинна дорівнювати зміні повної механічної енергії системи. Якщо,  – повна механічна енергія рідини в об’ємі АВА/В/, а  – повна механічна енергія рідини в об’ємі CDC/D/. У обох виразах для повної механічної енергії слід врахувати, що . Отже, . Після нескладних математичних перетворень одержуємо рівняння Бернуллі:

.

Перший доданок – називається динамічним тиском; другий – гідростатичним тиском, останній р – статичним тиском.

Важливим наслідком рівняння Бернуллі є випадок, коли вісь трубки течії розташована горизонтально, тобто , тоді . Звідки висновок: тиск рідини більший там, де швидкість течії менша, тобто там, де поперечний переріз більший.

6.5. Реакція рідини, що витікає

Розглянемо ємність з рідиною, яка закріплена відносно деякого нульового рівня (рис.7.5). Загальна висота стовпа рідини – h1. У найнижчій точці посудини (на висоті h2) зроблено отвір малого діаметра, через який зі швидкістю  витікає рідина. Знайдемо цю швидкість, виділивши в рідині трубку течії. Вважаючи площу отвору значно меншою за поперечний переріз посудини, а значить швидкість фронту рідини АВ набагато менша, ніж швидкість витікання, то застосувавши рівняння Бернуллі, маємо:

. Звідки .

 

Отже, швидкість витікання ідеальної рідини з посудини така, якої б набуло тіло, вільно падаючи з висоти h.

Рідина, яка витікає за одиницю часу, має імпульс , який “виноситься” із системи. Відповідно до закону збереження імпульсу, повинен змінитись на таку ж величину і імпульс посудини з рідиною. Зміну імпульсу посудини називають силою реакції рідини, що витікає, або реактивною силою.

Досить важливий висновок полягає у тому, що сила реакції рідини, що витікає, вдвоє більша за силу тиску на пробку, яка б закривала отвір. Це пояснюється тим, що при витіканні рідини через отвір відбувається перерозподіл тиску всередині рідини в посудині: при цьому навпроти отвору тиск на стінки більший, ніж біля отвору, де швидкість руху рідини близька до швидкості її витікання через отвір.

6.6. Рух рідин і газів та рух тіл у рідинах і газах

Ламінарна течія – це впорядкований рух рідини або газу, при якому рідина (газ) рухаються начебто шарами, ковзаючи один відносно одного, паралельно напрямку течії. Ламінарність спостерігається при русі дуже в’язких рідин або ж при русі рідин та газів з досить малими швидкостями. Із збільшенням швидкості течії її характер істотньо змінюється, переходить у турбулентний потік. При турбулентному потоці частинки рідини (газу) здійснюють нерегулярні рухи, описуючи складні траєкторії, а швидкості їх хаотично змінюються за величиною та напрямком. Швидкість, при якій відбувається перехід для даної рідини (газу) від ламінарного до турбулентного потоку називається критичною швидкістю.

Розглянемо ламінарний потік рідини у горизонтальній трубці постійного перерізу R (рис.7.6). Виділимо в трубці об’єм рідини радіусом  та довжиною , при цьому нехай вісь цього об’єму розташована вздовж осі симетрії. На основи циліндра буде діяти сила тиску . На бічну поверхню уявного циліндра діє сила в’язкого тертя, яка за Ньютоном дорівнює . Для стаціонарного потоку , тобто , звідки . Інтегруючи останній вираз та виходячи із граничних умов , кінцево маємо формулу для знаходження швидкості руху ламінарної течії:

.

Користуючись цією формулою, Пуазейль знайшов формулу для розрахунку об’єму рідини, яка витікає через поперечний переріз трубки течії за одиницю часу:

.

Характер взаємодії між рідиною та тілом, розташованим у рідині, залежить від їхньої відносної швидкості. Сила, з якою діє рідина на тіло при їх відносному русі залежить від форми тіла і в загальному випадку спрямована під деяким кутом до напряму руху. Цю силу можна розкласти на дві взаємно перпендикулярні складові: силу лобового опору – яка діє у напрямку потоку та підіймальну силу – яка діє перпендикулярно до напрямку потоку.

Маючи реальну в’язкість, рідини та гази створюють навколо тіл, що у них рухаються, тонкі шари рідини (газу). При цьому виникає градієнт швидкості руху рідини. Так, на крило літака під час польоту діють сила лобового опору () і підіймальна сила  (рис.7.7). Суть виникнення підіймальної сили така: внаслідок великої швидкості літака, специфічної форми його крила та кута розташування відносно потоку  на початку польоту за крилом виникає і зривається потужний вихор, в якому частинки повітря рухаються у напрямку проти годинникової стрілки, а навколо крила виникає компенсаційна циркуляція повітря в напрямку руху годинникової стрілки. Циркуляція накладається на основний потік повітря зверху і знизу крила, збільшуючи його швидкість зверху і понижуючи знизу. При цьому тиск повітря на крило зверху зменшується, знизу – збільшується. Виникає результуюча сила , у якої – є силою лобового опору, – підіймальною силою.