Для опису руху (зміни положення тіла
в просторі з часом) необхідно мати спосіб задання просторового положення тіла і
засоби вимірювання інтервалів часу. Для задання положення тіла в просторі
необхідно вибрати яке-небудь матеріальне тіло (тіло відліку) і через одну з
його точок (точку відліку) провести три взаємно перпендикулярні прямі (осі
координат) з відкладеним масштабом для виміру відстаней. Описана сукупність
зветься системою координат. Додавання до системи координат приладу для виміру
часу (годинник) перетворює її в систему відліку.
Числа, за допомогою яких задається положення тіла щодо
обраної системи відліку називають координатами тіла. Для задання положення
різних тіл може знадобитися різне число координат. Мінімальна кількість
координат, необхідна для вичерпного опису положення вільного (тобто не
взаємодіючого з іншими об'єктами) тіла в просторі називається кількістю ступенів вільності цього тіла. Чим більшим числом
ступенів вільності володіє тіло, тим складніше виявляється задача опису його
руху. Серед макроскопічних тіл мінімальним числом ступенів вільності володіють
так звані абсолютно тверді тіла. Такі тіла не деформуються та здатні
переміщатися й обертатися уздовж (навколо) кожного з трьох напрямків,
обумовлених осями координат і, отже, володіють шістьма ступенями вільності. При
розв’язуванні багатьох задач механіки можуть виявитися малоістотними розміри
розглянутого тіла, відносні переміщення його частин чи руху тіла як цілого. У
цьому випадку кількість розглянутих ступенів вільності може бути штучно
зменшена до трьох. У результаті реальне тіло заміняється його математичною
моделлю – матеріальною точкою.
Матеріальна точка – це фізична
модель тіла реальної маси, розмірами якого за даних умов руху можна знехтувати.
Наприклад: можна знехтувати
розмірами Місяця при визначенні його швидкості обертання навколо Землі,
розмірами автомобіля при вивченні його руху в порівнянні з відстанню від Кіровограда
до Києва тощо.
Поступальний рух – рух, при якому
пряма, що з'єднує довільні точки даного тіла, переміщується паралельно сама
собі. При цьому всі точки абсолютно твердого тіла мають однакові швидкості і
прискорення.
Система відліку – це тіло відліку,
система координат, пов'язана з ним та прилад для відліку часу.
Траєкторія
– уявна лінія, уздовж якої рухається тіло (Позначається – s). Рівняння траєкторії –
рівняння, що виражає залежність між координатами тіла. Шлях – довжина траєкторії.
Переміщення – напрямлений відрізок
(вектор), що з’єднує початкове положення тіла з його наступним положенням.
(Позначається: ).
Радіус-вектор – вектор, проведений з
початку координат у дану точку простору. ( Позначається: ).
Вектор переміщення дорівнює зміні
радіуса-вектора: . Усі ці основні поняття добре видно
з рис. 2.1.
Рівняння руху – рівняння, що виражає
залежність радіуса-вектора (вектора переміщення, координат) від часу.
Опису руху у механіці може бути:
А. Словесний. Наприклад: ...щоб
потрапити з мого будинку в школу треба вийти на вулицю, повернути праворуч,
пройти через двір, звернути ліворуч...
Переваги: простий, не вимагає
наукових знань.
Недоліки: занадто не точний, не є
науковим, не дозволяє вирішити задачу механіки.
Б. Табличний. Наприклад:
Переваги: наочний, простий, зручний при
вивченні періодичних рухів.
Недоліки: не дозволяє визначити
положення тіла в будь-який момент часу (проміжні значення), не дозволяє
передбачати характер руху.
В. Графічний. Наприклад: рис.2.2.
t, с |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
X, м |
0 |
1 |
3 |
4 |
6 |
2 |
1 |
Переваги: наочний.
Недоліки: неточний, не можна
прогнозувати характер руху надалі.
Г. Аналітичний (координатний).
Наприклад: , де
– переміщення і радіус-вектор
відповідно, або
.
Переваги: точний, дозволяє однозначно вирішити основну задачу механіки, має
можливість передбачати характер руху.
Прямолінійний
рух – траєкторія являє собою пряму лінію.
Прямолінійним
рівномірним рухом називається механічний рух, при якому тіло за будь-які рівні
проміжки часу t1 = t2 = t3 = ...
виконує однакові переміщення .
Отже,
величина є характеристикою руху.
називається (середньою) швидкістю
прямолінійного рівномірного руху.
Швидкість
прямолінійного рівномірного руху – це векторна фізична величина, чисельно
рівна відношенню переміщення до проміжку часу, протягом якого це переміщення
відбулося, зрозуміло, що
.
Отже,
швидкість показує, яке переміщення виконує тіло за одиницю часу, рухаючись
прямолінійно і рівномірно. Одиниця швидкості – 1 м/с. Наприклад: Модуль
швидкості дорівнює 5 м/с. Це значить, що за кожну секунду свого руху тіло,
рухаючи прямолінійно і рівномірно, переміщується на 5 м.
Для опису
прямолінійного рівномірного руху одного тіла досить однієї осі координат,
наприклад ОХ. З означення швидкості . З рис.2.4. бачимо:
, де
– проекція вектора швидкості на
координатну вісь x.
Розв’язок основної задачі механіки
для прямолінійного рівномірного руху: , отже
.
Якщо рух співнаправлений з віссю
координат, то , якщо рух проти осі координат, то
.
На рис.2.5. приведено графік залежності
проекції швидкості від часу для рівномірного руху. Площа під графіком швидкості
чисельно дорівнює переміщенню.
Вектор
середньої (за часом) швидкості дорівнює відношенню вектора переміщення до
проміжку часу, протягом якого це переміщення відбулося: , тобто на кожній ділянці середня швидкість
різна.
У
випадку прямолінійного руху середня (за часом) швидкість нерівномірного руху
точки дорівнює відношенню зміни її координати до інтервалу часу, протягом якого
ця зміна відбулася: .
Середня швидкість не дозволяє
обчислювати переміщення і координати в будь-який момент часу. За середньою
швидкістю не можна судити про пройдений шлях (не можна вирішити основну задачу
механіки).
Миттєва швидкість – це швидкість
тіла в даній точці простору в даний момент часу. Вона дорівнює межі відношення
переміщення (зміни координати) до проміжку часу, протягом якого ця зміна
відбулася, якщо проміжок часу прагне до нуля:
.
Вектор миттєвої швидкості
спрямований за дотичною до траєкторії руху в кожній її точці. У випадку
прямолінійного руху миттєва швидкість змінюється тільки за величиною, але не за
напрямком.
Миттєва швидкість показує, яке
переміщення здійснило би тіло за одиницю часу, якби починаючи з даного моменту,
воно рухалося прямолінійно і рівномірно.
Рух,
при якому швидкість тіла змінюється однаково за будь-які рівні проміжки часу,
називається рівнозмінним рухом. Прискорення – фізична величина, що характеризує
“бистроту” зміни швидкості і (при рівнозмінному русі). Середнє прискорення
чисельно дорівнює відношенню вектора зміни швидкості до проміжку часу, протягом
якого ця зміна відбулася – .
Подібно до означення миттєвої
швидкості, миттєве прискорення це .
Прискорення при рівнозмінному русі
показує, наскільки змінюється миттєва швидкість руху тіла за одиницю часу.
Одиниця прискорення в СІ – 1 м/с2. Наприклад: прискорення дорівнює 5
м/с2 – це значить, що, рухаючи рівноприскорено, тіло змінює швидкість на 5 м/с
за кожну секунду свого руху.
Рівнозмінний рух називається рівноприскореним,
якщо модуль швидкості зростає, тобто коли . Рівнозмінний рух називається
рівносповільненим, якщо модуль швидкості зменшується, тобто коли
.
Як слідує з означення прискорення,
швидкість при рівнозмінному русі описується рівнянням: , або у проекції на вісь ОХ:
, або через модулі:
.
На рис. 2.6 показані можливі
варіанти графічного зображення рівнозмінного руху:
1.
рівноприскорений без початкової швидкості ;
2.
рівноприскорений з початковою швидкістю;
3.
рівносповільнений з початковою швидкістю;
4.
рівноприскорений з початковою швидкістю проти координатної вісі;
5.
рівноприскорений з початковою швидкістю проти координатної вісі.;
На рис. 2.7. приведено графік зміни
швидкості при рівноприскореному русі з початковою швидкістю. Площа під графіком
швидкості чисельно дорівнює переміщенню. Отже, площа трапеції чисельно дорівнює
переміщенню.
.
Отже, переміщення знаходиться за
функцією , координата –
. Графічно – це параболи (рис. 2.8)
Вільне падіння – значить без опору
повітря, у вакуумі. У цьому випадку на рух не впливають форма і розміри тіла,
його маса. Уперше докладно вивчав Г. Галілей (1564-1642 р.р.). Вільне падіння є
окремим випадком рівнозмінного руху зі сталим прискорення, яке прийнято
позначати g 9,8 м/с2 .
Аналогії вільно кинутого тіла та раніше вивченого рівнозмінного руху легко
зрозуміти із таблиці:
|
Швидкість |
|
|
Переміщення |
|
||
Тіло кинуте
вертикально вгору gy < 0 |
|
Швидкість |
|
Переміщення |
|
Виразимо проекції швидкості і
координати через модулі векторів.
Для того, щоб одержати
рівняння траєкторії, виразимо час t з рівняння через координату x і підставимо
в рівняння для y:
Як бачимо, між координатами –
квадратична залежність, траєкторія – парабола (рис.2.9).
Порядок розв’язку задачі аналогічний
до попередньої. Вирішимо задачу для випадку х0=0 і y0=0.
Оскільки
то
Доведемо,
що траєкторією руху й у цьому випадку буде парабола. Для цього виразимо
координату Y через X (одержимо рівняння траєкторії): ..
Ми одержали квадратичну залежність
між координатами. Значить траєкторія – парабола.
Знайдемо
час польоту тіла від початкової точки до точки падіння. У точці падіння
координата по вертикальній осі у=0. Отже, для розв’язування цієї
задачі необхідно знайти розв’язки рівняння . Воно буде мати розв’язки при t=0 (початок руху) і
.
Знаючи час польоту, знайдемо
максимальну відстань, що пролетить тіло: .
З цієї формули випливає, що:
максимальна дальність польоту буде спостерігатися при киданні тіла (при
стрілянні, наприклад) під кутом 45о.
Використовуючи
те, що парабола – це симетрична крива, знайдемо максимальну висоту, яку може досягти
тіло. Час, за який тіло долетить до середини, дорівнює: , тоді:
. Швидкість тіла в будь-який момент часу спрямована дотичною до
траєкторії руху і дорівнює
.
Кут, під
яким спрямований вектор швидкості в будь-який момент часу: .
Механічний рух можна спостерігати
тільки відносно інших тіл. Знайти зміну положення тіла, якщо ні з чим
порівнювати неможливо. У різних системах відліку фізичні величини (швидкість,
прискорення, переміщення і т.д.), що характеризують рух тіла, можуть бути
різними. Характер руху, траєкторія руху і та інші характеристики в різних
системах відліку для одного й того самого тіла можуть бути різні.
Нехай одна система відліку рухаються відносно іншої з
постійною швидкістю Положення точки А в нерухомій системі можна задати
вектором
, а в системі, що рухається –
(рис.2.11). Зрозуміло, що
. Це рівняння дозволяє переходити з
однієї системи відліку в іншу. При цьому ми вважаємо, що час тече в обох
системах однаково.
Для випадку, коли координати y і z не
змінюються, одержимо:
, або .
Ці рівняння носять назву
перетворень Галілея. Із цих рівнянь випливає, що відстань між двома точками
абсолютна, тобто не залежить від вибору системи відліку.
Нехай у нерухомій системі координат
координати точок x і х', а в рухливій відповідно x1 і x1'. Тоді , а
. Розділимо праву і ліву частину
рівняння на проміжок часу, протягом якого йшло переміщення та перейдемо до
границі. Одержимо:
– закон додавання
швидкостей. Тут швидкість точки відносно нерухомої системи дорівнює
векторній сумі швидкості точки відносно рухливої системи відліку і швидкості
самої рухливої системи відносно нерухомої. Швидкість рухливої системи відносно нерухомої
називається переносною швидкістю.
При розв’язанні задач часто
буває зручно приймати одне з тіл, що рухаються відносно Землі, за нерухоме.
Тоді швидкість Землі в цій системі відліку буде дорівнювати за величиною, але
буде протилежна за напрямком до швидкості даного тіла.
Якщо швидкості і
співнаправлені (тіла
зближаються), то їхні проекції складаються, якщо протилежно спрямовані (тіла
віддаляються) – віднімаються.
При
криволінійному русі вектор швидкості завжди спрямований вздовж дотичної до
траєкторії руху (рис.2.12). Будь-який криволінійний рух можна представити у
вигляді суми прямолінійних рухів і рухів по колах різних радіусів. Швидкість
змінюється як за величиною, так і за напрямком. Вектор прискорення спрямований
під кутом до вектора швидкості.
Рівномірний рух точки колом є
найпростішим щодо математичного опису виглядом криволінійного руху – це рух точки з постійною за модулем швидкістю ( = const) траєкторією, що представляє собою коло. Але, оскільки швидкість завжди
спрямована вздовж дотичної до траєкторії руху, то за напрямком вона змінюється.
Значить рівномірний рух колом – прискорений
рух ! Точка
виконує переміщення з постійною за модулем швидкістю, отже:
. У цьому випадку швидкість точки
називається лінійною швидкістю (L - довжина дуги). Вектор лінійної
швидкості спрямований вздовж дотичної до кола в даній точці. Можна
характеризувати зміну положення тіла за допомогою кутового переміщення (кута повороту)
. Візьмемо два концентричних кола і
побудуємо для них центральний кут
так, щоб радіуси цих кіл R і r утворивши кут, накладалися один на
одного. З рис. 2.13 видно, що тому самому кутові
відповідають в одному колі дуга l і радіус r, а в іншому – дуга L і радіус R. За міру кута можна прийняти
відношення довжини дуги до радіуса:
=
. Одиниця виміру кута називається в
цьому випадку радіаном (скорочено – рад). Центральний кут дорівнює одному радіанові, якщо довжина дуги
дорівнює радіусові кола. Якщо точка зробила повний оберт, то довжина дуги
дорівнює довжині кола. Отже:
– повний оберт точки відповідає
радіан.
Рівномірний рух точки колом – це
рух, при якому точка за будь-які рівні проміжки часу робить однакові кутові
переміщення (повертається на однакові кути). Якщо характеризувати рух кутом
повороту, то зручно ввести кутову швидкість: – кутова швидкість показує, на який
кут повертається точка при рівномірному русі колом за одиницю часу. Одиниця
виміру в СІ – рад/с.
Можна сказати, що рівномірним рухом
колом називається рух з постійною кутовою швидкістю. Лінійна і кутова швидкості
пов’язані між собою:
, тобто
.
До важливих
характеристик обертального руху відносяться частота і період. Період – фізична величина, що показує, чому дорівнює час, за
який точка робить один повний оберт. Якщо позначити N – число обертів, а Т – період, то: . Одиниця виміру в СІ – с (секунда). Так як за період точка повертається
на кут
, то
. Частота – це кількість обертів, що виконала
точка за одиницю часу:
. Одиниця виміру в СІ – Гц (Герц). Частота дорівнює одному Герцові, якщо за 1 секунду точка
робить один повний оберт (1 Гц=1 с-1). Частота і період – взаємно
обернені величини:
. Отже:
Обчислимо
величину прискорення при рівномірному русі точки колом і знайдемо його
напрямок. Нехай за деякий проміжок часу t тіло перемістилося з точки А в точку А1 з постійною за модулем швидкістю (рис.2.13).
Зобразимо вектори швидкості в цих точках і знайдемо вектор зміни швидкості
. Трикутники, утворені векторами
швидкостей та радіусів рівнобедрені, тому
, звідки
.
Розділимо праву і ліву частини
рівності на проміжок часу, за який відбулося переміщення, і перейдемо до
границі. Одержимо – .
Тепер
визначимо напрямок прискорення. Так як ми повинні для визначення прискорення
брати границю при , то з рис.2.13 видно, що кут
буде зменшуватися (
), а кут між векторами
та
90о. Це значить, що
вектор
буде прагнути наложитися на
. Але вектор прискорення співнаправлений з
вектором зміни швидкості. Отже, вектор прискорення при рівномірному русі колом спрямований до центра кола (до точки обертання). Тому прискорення називається доцентровим прискоренням.
Доцентрове
прискорення змінює швидкість тільки за напрямком, але не змінює за величиною.
Вектор доцентрового прискорення перпендикулярний векторові швидкості.
Використовуючи зв'язок між кутовою і лінійною швидкостями, одержимо: .
Усі
рівняння для цього руху аналогічні рівнянням рівнозмінного прямолінійного руху.
Кутовим прискоренням називається
перша похідна кутової швидкості за часом (або друга похідна від кута повороту
за часом):
.
Обертання є
прискореним (з наростаючою кутовою швидкістю), якщо знаки кутової швидкості і
кутового прискорення однакові, і уповільненим, якщо знаки
кутової швидкості і кутового прискорення різні. Зрозуміло, що рівноприскорений
рух точки колом призводить до зростання лінійної швидкості. На рис.2.14 видно,
що точка, рухаючись дугою кола збільшила лінійну швидкість з
до
. Різниця векторів складає
. Цей вектор можна розкласти на взаємно перпендикулярні складові:
– вказує як змінилась швидкість за величиною,
– показує зміну швидкості за
напрямком. Приріст вектора
за одиницю часу називається тангенціальним
прискоренням,
тобто
. Як видно з побудови, це
прискорення направлене взовж дотичної до даної точки траєкторії, тобто
співпадає за напрямком з вектором миттєвої швидкості. Похідна другої складової
за часом, як і у випадку рівномірного руху колом, буде
доцентровим прискоренням.
Отже, при
нерівномірному русі колом повне прискорення точки дорівнює: , а модуль повного прискорення
.
Тангенціальне прискорення пов’язане
з кутовим прискоренням:
.
Як бачимо, кожній лінійній величині в кінематиці
точки відповідає подібна величина в кінематиці обертального руху. Так, лійному
переміщенню відповідає кутове
переміщення
; лінійній швидкості
– кутова швидкість
, лінійному (танґенціальному)
прискоренню
– кутове прискорення
. Приведемо приклад того, як можна
користуватися аналогією між поступальним і обертальним рухами. Відомо, що
pівноприкоpений рух описується формулами:
За аналогією можна записати
відповідні формули для pівноприскоpеного обертального руху:
Коливання – один з найпоширеніших
процесів у природі і техніці. Коливаються висотні будинки і високовольтні дроти
під дією вітру, маятник заведеного годиника і автомобіль на ресорах під час
руху, рівень ріки протягом року і температура людського тіла при хворобі.
Звук – це коливання густини і тиску
повітря, радіохвилі – періодичні зміни напруженостей електричного і магнітного
полів, видиме світло – теж електромагнітні коливання, тільки з трохи іншими
довжиною хвилі і частотою. Землетруси – коливання ґрунту, припливи і відливи –
зміна рівня морів і океанів, викликувана притяганням Місяця тощо. Коливання
бувають механічні, електромагнітні, хімічні, термодинамічні і різні інші.
Спеціальний розділ фізики – теорія коливань – займається вивченням
закономірностей цих явищ.
Будь-які коливання характеризуються
амплітудою – найбільшим відхиленням деякої величини від свого нульового
значення, періодом (T) або частотою (v). Останні дві величини пов’язані між
собою обернено пропорційною залежністю: T = 1/v. Частота коливань
виражається в Герцах (Гц). 1 Гц – це одне коливання в секунду.
Найпростішим серед коливальних рухів
є гармонійні коливання – це коливання, при яких фізична величина змінюється з
часом за законом синуса або косинуса.
Нехай точка
А виконує обертальний рух колом певного радіуса (рис.2.15) з лінійною швидкістю
υ,
тоді її проекція на вертикальну чи горизонтальну вісь здійснюватиме коливальний
рух між точками +х0 та –х0, або між +у0 та –у0. Якщо у початковий момент часу
радіус-вектор точки утворює кут φ0, то за час t точка зміститься на кут
φ=ωt, зайнявши нове положення А/. Тоді залежність
координати, наприклад, х від часу можна описати законом /1/ , або
/2/ , де х – відстань коливальної точки від
положення рівноваги, або зміщення;
х0 – максимальне зміщення точки А від
положення рівноваги, або амплітуда коливань;
(ωt+φ0)– фаза коливань;
φ0 – початкова фаза;
ω – циклічна або колова частота гармонійних коливань.
Швидкість точки в гармонійному
коливальному русі знайдемо як першу похідну від зміщення за часом, а
прискорення, відповідно, як другу похідну за часом. Нехай зміщення відбувається
за законом /2/, тоді:
;
.
Отже, зміщення, швидкість і прискорення у гармонійному
коливальному русі є гармонійно змінні величини з однаковим періодом, а зсув фаз
між зміщеннм і швидкістю становить , між зміщенням і прискоренням –
π.
Гармонійні коливання допускають
наочну графічну інтерпретацію. Її зміст полягає в тому, що кожному гармонійному
коливанню з частотою можна поставити у відповідність обертовий з
кутовою швидкістю
вектор, довжина якого дорівнює амплітуді
а його початкове положення задається кутом
співпадаючим з початковою фазою (рис. 2.16).
Нехай вертикальна проекція
вектора змінюється з часом за законом . Миттєве положення вектора
визначається кутом
, який є фазою і дорівнює
.
При кутовій швидкості вектор виконує
обертів у секунду, а тривалість одного оберту (період)
дорівнює
.
За допомогою векторних діаграм
легко здійснити додавання гармонійних коливань. Так, якщо необхідно скласти два
гармонійних коливання одного напрямку та з однаковими частотами, наприклад
, то з рис 2.17. видно, що
;
.
З цієї діаграми наочно видно, що сумарне
коливання x0 випереджає за фазою коливання x1 і відстає за фазою від коливання
x2. Повна фаза для кожного з трьох коливань у довільний момент часу
відрізняється від їхніх початкових фаз на ту саму величину , яку при побудові векторних діаграм можна не враховувати.
Нехай коливання здійснюються у двох
взаємно-перпендикулярних напрямках х1 та х2, наприклад за
законами:
.
Розглянемо найпростіший коливань, коли . Щоб одержати траєкторію руху, виключимо з вищеподаних рівнянь
час. Після простих математичних перетворень не важко одержати рівняння:
, яке є рівнянням еліпса.
Таким чином, у загальному
випадку матеріальна точка буде виконувати періодичні рухи еліптичною
траєкторією. Напрямок руху уздовж траєкторії й орієнтація еліпса щодо осей Oх1 і Oх2 залежать від початкової різниці фаз
. На рис. 21.18 зображені траєкторії
руху вантажу при різних значеннях
.
Усі траєкторії укладені в прямокутник зі сторонами і
. При
точка рухається вздовж прямої лінії. При
півосі еліпса збігаються з Oх1 і Oх2 , а при
еліпс вироджується в коло. При різниці фаз
рух відбувається за годинниковою стрілкою, а
при
– проти годинникової стрілки.
Якщо частоти двох
взаємо-перпендикулярних коливань не збігаються, але є кратними: , де
і
– цілі числа, то траєкторії руху являють собою
замкнуті криві, названі фігурами Ліссажу (рис. 2.19). Відзначимо, що
відношення частот коливань дорівнює відношенню кількості точок дотику фігури
Ліссажу до сторін прямокутника, у який вона вписана.