Тиск стовпа
рідини або газу можна обрахувати виходячи з означення: під
тиском розуміють відношення сили, яка
діє перпендикулярно на елемент поверхні до площі даної поверхні, тобто
,
де S
– площа, h – висота стовпа рідини або газу, – густина рідини або газу.
Тиск стовпа рідини або газу (гідростатичний тиск) не залежить від форми судини.
Для рідин та
газів, які перебувають у стані рівноваги, виконується закон Паскаля: тиск у
будь-якій точці рідини чи газу, які перебувають у рівновазі, однаковий у всіх
напрямках і передається у всіх напрямках однаково.
На законі
Паскаля основана дія ряду практичних механізмів, наприклад, гідравлічного
підйомника (рис.7.1). Завдяки різним площам двох поршнів, невелика сила, що діє
на поршень малої площі перетворюється в значну силу на великій площі. Оскільки,
h=const, то , або
. Отже, величина
визначає
виграш у силі, який дає гідравлічна машина, і чисельно він дорівнює відношенню
площ поршнів.
На тіло,
занурене у рідину чи газ діє виштовхувальна сила. Причини виникнення цієї сили
можна пояснити із (рис 7.2). p3 = p4, тому що глибини –
однакові. F2 > F1, тому що
глибина h2 > h1. Отже, FА=F2 – F1, або
причина виникнення сили, що виштовхує, у різниці сил (тисків) на різних глибинах.
Ця формула застосовна завжди.
Можна
уточнити: , де
– густина рідини або газу, де V – об’єм
зануреної частини тіла. Оскільки
– маса
рідини, витиснутої тілом, то FА=mрg=Pр . Отже, на
тіло, занурене в рідину (або газ), діє виштовхувальна сила, що дорівнює вазі
рідини (газу), витиснутої тілом
. Це і є закон, відкритий Архімедом
експериментально.
Вага тіла,
зануреного в рідину або газ може бути знайдена із таких міркувань. У стані
спокою P0
=mg. Якщо тіло
занурене в рідину або газ, то P=P0
- FА
=P0
- Pр. Отже, тіло, занурене
в рідину або газ, втрачає у своїй вазі стільки, скільки важить витиснута ним
рідина . ˚
Умови
плавання тіл. Якщо FА
> mg – тіло
спливає, доти, поки сили не зрівноважаться. Якщо FА
< mg – тіло
потоне. Якщо FА
= mg – тіло
плаває в будь-якій точці рідини (газу).
Ідеальна рідина – це
рідина, яка абсолютно нестислива та позбавлена внутрішнього тертя. Потік рідини
вважають стаціонарним, якщо швидкість потоку в будь-яких точках простору не змінюється з часом.
Для полегшення аналізу
законів руху рідин користуються лініями течії та трубками течії. Під лінією
течії розуміють лінію, дотична до якої в кожній
точці збігається з вектором швидкості. Трубка течії – це частина
рідини, обмежена лініями течії.
Масу рідини, що протікає
за час через поперчний переріз трубки течії
можна обрахувати так:
.
Теорема нерозривності течії (потоку): при стаціонарному потоці маса рідини або газу, що протікає через
будь-який поперечний переріз трубки течії за одиницю часу однакова (рис.7.3),
тобто
.
Оскільки для однієї й
тієї ж рідини . Або інше формулювання цієї теореми: добуток швидкості течії
нестисливої рідини на площу поперечного перерізу трубки
течії є величина стала для даної трубки течії.
Розглянемо трубку течії
змінного поперечного перерізу, що знаходиться на певній висоті відносно деякого
нульового рівня (рис.7.4), виділивши об’єм АВСD. Переріз АВ, площею
зазнає з боку рідини дії тиску p1, а переріз CD, площею S2 – p2, отже, з боку рідини кожен переріз зазнає дії різної сили:
та
. За один і той же проміжок часу
перерізи зазнають різних
зміщень, оскільки
(бо
). Коли фронт АВ переміститься в
положення А/В/, то виконується робота
. Одночасово для переміщення фронту
CD у положення C/D/ треба виконати роботу
. Тоді повна робота, виконана силами
тиску
і повинна дорівнювати зміні повної механічної
енергії системи. Якщо,
– повна
механічна енергія рідини в об’ємі АВА/В/, а
– повна механічна
енергія рідини в об’ємі CDC/D/. У обох виразах для повної механічної енергії
слід врахувати, що
. Отже,
. Після нескладних математичних
перетворень одержуємо рівняння Бернуллі:
.
Перший доданок – називається динамічним тиском;
другий
– гідростатичним тиском, останній р –
статичним тиском.
Важливим наслідком
рівняння Бернуллі є випадок, коли вісь трубки течії розташована горизонтально,
тобто , тоді
. Звідки висновок: тиск рідини більший там, де
швидкість течії менша, тобто там, де поперечний переріз більший.
Розглянемо ємність з рідиною, яка закріплена
відносно деякого нульового рівня (рис.7.5). Загальна висота стовпа
рідини – h1. У найнижчій точці посудини (на висоті h2) зроблено
отвір малого діаметра, через який зі швидкістю витікає рідина. Знайдемо цю швидкість,
виділивши в рідині трубку течії. Вважаючи площу отвору значно меншою за
поперечний переріз
посудини, а значить швидкість фронту рідини АВ набагато менша, ніж
швидкість витікання, то застосувавши рівняння Бернуллі, маємо:
. Звідки
.
Отже, швидкість витікання ідеальної
рідини з посудини така, якої б набуло тіло, вільно падаючи з висоти h.
Рідина, яка
витікає за одиницю часу, має імпульс , який “виноситься” із системи. Відповідно до закону
збереження імпульсу, повинен змінитись на таку ж величину і імпульс посудини з
рідиною. Зміну імпульсу посудини називають силою реакції рідини, що витікає,
або реактивною силою.
Досить важливий висновок полягає у тому, що сила реакції рідини, що витікає, вдвоє більша за силу тиску на пробку, яка б закривала отвір. Це пояснюється тим, що при витіканні рідини через отвір відбувається перерозподіл тиску всередині рідини в посудині: при цьому навпроти отвору тиск на стінки більший, ніж біля отвору, де швидкість руху рідини близька до швидкості її витікання через отвір.
Ламінарна
течія – це впорядкований рух рідини або газу, при якому рідина (газ)
рухаються начебто шарами, ковзаючи один відносно одного, паралельно напрямку
течії. Ламінарність спостерігається при русі дуже в’язких рідин або ж при русі
рідин та газів з досить малими швидкостями. Із збільшенням швидкості течії її
характер істотньо змінюється, переходить у турбулентний потік. При турбулентному
потоці частинки рідини (газу) здійснюють нерегулярні рухи, описуючи складні
траєкторії, а швидкості їх хаотично змінюються за величиною та напрямком. Швидкість,
при якій відбувається перехід для даної рідини (газу) від ламінарного до
турбулентного потоку називається критичною швидкістю.
Розглянемо
ламінарний потік рідини у горизонтальній трубці постійного перерізу R (рис.7.6).
Виділимо в трубці об’єм рідини радіусом
та довжиною
, при цьому нехай вісь цього об’єму розташована
вздовж осі симетрії. На основи циліндра буде діяти сила тиску
. На бічну поверхню уявного циліндра діє сила в’язкого
тертя, яка за Ньютоном дорівнює
. Для стаціонарного потоку
, тобто
, звідки
. Інтегруючи останній вираз та виходячи із граничних
умов
, кінцево маємо формулу для знаходження швидкості
руху ламінарної течії:
.
Користуючись
цією формулою, Пуазейль знайшов формулу для розрахунку об’єму рідини, яка
витікає через поперечний переріз трубки течії за одиницю часу:
.
Характер взаємодії між рідиною та тілом, розташованим у
рідині, залежить від їхньої відносної швидкості. Сила, з
якою діє рідина на тіло при їх відносному русі залежить від форми тіла і в загальному
випадку спрямована під деяким кутом до напряму руху. Цю силу можна розкласти на
дві взаємно перпендикулярні складові: силу лобового опору – яка діє у
напрямку потоку та підіймальну силу – яка діє
перпендикулярно до напрямку потоку.
Маючи
реальну в’язкість, рідини та гази створюють навколо тіл, що у них рухаються,
тонкі шари рідини (газу). При цьому виникає градієнт швидкості руху рідини.
Так, на крило літака під час польоту діють сила лобового опору () і підіймальна сила
(рис.7.7).
Суть виникнення підіймальної сили така: внаслідок великої швидкості літака, специфічної
форми його крила та кута розташування відносно потоку
на початку польоту за крилом
виникає і зривається потужний вихор, в якому частинки повітря рухаються у
напрямку проти годинникової стрілки, а навколо крила виникає компенсаційна циркуляція
повітря в напрямку руху годинникової стрілки. Циркуляція накладається на
основний потік повітря зверху і знизу крила, збільшуючи його швидкість зверху і
понижуючи знизу. При цьому тиск повітря на крило зверху зменшується, знизу –
збільшується. Виникає результуюча сила
, у якої
– є силою лобового опору,
– підіймальною силою.