Тема 6. ВСЕСВІТНЄ  ТЯЖІННЯ

6.1. Закон всесвітнього тяжіння

6.2. Сила тяжіння

6.3. Закони Кеплера

6.4. Застосування законів збереження енергії та моменту імпульсу до руху в центральному гравітаційному полі

6.1. Закон всесвітнього тяжіння

Цей закон відкритий Ньютоном у 1667 році на основі аналізу руху планет (закони Кеплера) і, зокрема, Місяця.

Усі тіла взаємодіють одне з одним із силою, прямо пропорційною добуткові мас цих тіл і обернено пропорційною квадратові відстані між ними: eq.

Цей закон має важливе значення. Застосовуючи його, вивчають закономірності руху планет і їхніх супутників, розраховують рух супутників.

Проте, цей закон:

не пояснює причин тяжіння, а тільки встановлює кількісні закономірності;

·                     для тіл довільної форми потрібно підсумовувати взаємодії між малими частинами кожного тіла;

·                     у випадку взаємодії трьох і більше тіл задачу про рух тіл не можна розв’язати в загальному вигляді (потрібно враховуватизбурювання”, викликані іншими тілами). Саме таким чином відбулося відкриття планет Нептун та Плутон Адамсом і Леверьє в 1846 та в 1930 році.

Із аналізу закону слідує, що сила спрямована уздовж прямої, яка з’єднує тіла.

Gпостійна всесвітнього тяжіння (гравітаційна постійна). У Міжнародній системі одиниць СІ – eq .

Уперше прямі виміри гравітаційної постійної провів Г. Кавендіш за допомогою крутильних ваг 1798 року.

Із закону слідує, що eq. Нехай m1=m2=1 кг, R=1 м, тоді: G=F (чисельно).

Фізичний зміст гравітаційної постійної: гравітаційна постійна чисельно дорівнює модулеві сили тяжіння, що діє між двома точковими тілами масою по 1 кг кожне, що знаходяться на відстані 1 м одне від одного.

Те, що гравітаційна постійна досить мала за величиною свідчить, що інтенсивність гравітаційної взаємодії мала.

6.2. Сила тяжіння

Сила тяжінняце сила притягання тіл до Землі (до планети), тобто із закону Всесвітнього тяжіння: eq , де Mмаса планети, mмаса тіла, Rвідстань до центра планети.

Але ж eq – сила тяжіння з другого закону Ньютона, де mмаса тіла, gприскорення сили тяжіння (прискорення вільного падіння). Тоді із порівняння: eq прискорення сили тяжіння не залежить від маси тіла.

Якщо позначити R0радіус планети, а hвідстань до тіла від поверхні планети, то: eq.

Отже, прискорення сили тяжіння залежить від:

·          маси планети;

·          радіуса планети;

·          висоти над поверхнею планети;

географічної широти (так, для Землі на полюсах g9,83 м/с2, на екваторі g9,79 м/с2).

6.3. Закони Кеплера

1609 року Кеплер публікує роботу, присвячену вивченню руху Марса за спостереженнями Т. Браге, у якій містилося формулювання перших двох законів руху планет. 1612 році він дає формулювання третього закону, об’єднуючи теорію руху планет у струнке ціле.

Закони руху планет відкриті Кеплером, на початку 17 століття, стали обґрунтуванням і подальшим розвитком геліоцентричного вчення Коперника. Ці закони є найважливішим аргументом на користь центрального положення Сонця, що поклало кінець геоцентричній системі Птоломея.

Емпіричні закони Кеплера назавжди ввійшли в основу теоретичної астрономії, одержали пояснення в механіці І. Ньютона, зокрема – у законі всесвітнього тяжіння. Надалі закони Кеплера уточнювалися й у сучасному формулюванні можуть бути подані так:

Кожна з планет обертається навколо Сонця по еліпсу, причому Сонце знаходиться в одному з його фокусів.

I.                     За однакові проміжки часу, радіус-вектори планет описують рівні площі.

II.                  Куби великих півосей еліптичних орбіт планет пропорційні квадратам періодів обертання планет навколо Сонця:

.

6.4. Застосування законів збереження енергії та моменту імпульсу до руху в центральному гравітаційному полі

 Закон всесвітнього тяжіння використовують в механіці космічних польотів. На тіла, які повинні обертатись навколо Землі, чи іншого супутника (коловою орбітою) повинна діяти доцентрова сила, яка має компенсуватись вагою даного тіла: , де r радіус Землі, hвисота над поверхнею Землі, r+h відстань від тіла до центру планети. Нехай r+h=R, тоді  це так звана перша космічна швидкість, яка забезпечує обертання супутника навколо Землі на сталій висоті R відносно її центра. (υ1≈ 7,9 км/с).

Збільшення швидкості супутника призведе до витягування його траєкторії руху, яка при певному значенні перейде у параболічну. Така швидкість названа другою космічною швидкістю – вона дозволяє тілу подолати силу тяжіння Землі: , де mмаса супутника,  Mмаса Землі (чи іншої планети). Звідки

. (Для Землі υ2≈ 11,2 км/с).

Аналогічно розраховують і третю космічну швидкістьце швидкість при якій тіло здатне покинути Сонячну систему. У цьому випадку його кінетична енергія повинна бути такою, щоб тіло могло виконати роботу з подолання сил тяжіння Сонця:

, (Мсмаса Сонця). Звідки  .

Точно кажучи, щоб тіло покинуло Сонячну систему, йому слід подолати і силу притягання Землі, і силу притягання Сонця. Тому третя космічна швидкість залежить від напрямку запуску. Так, при запуску у напрямку орбітального руху Землі, коли швидкість тіла відносно Сонця складається із швидкості тіла відносно Землі та швидкості з якою Земля рухається навколо Сонця, υ3≈ 17 км/с. При запускові ж проти напрямку руху Земліυ3≈ 73 км/с.

Поле тяжіння Землі є прикладом центрального поля тяжіння. Якщо деяке тіло масою m під дією сил тяжіння переміщується з однієї точки в іншу (на відстань dl), то при цьому виконується робота: , де  проекція вектора dl на напрямок радіус-вектора; знак „–” вказує на те, що сила притягання напрямлена протилежно до радіус-вектора.

Але, робота з переміщення тіла у полі тяжіння дорівнює зміні потенціальної енергії . Повна ж енергія такого тіла:

 /1/.

Момент імпульсу такого тіла: .

Оскільки повна швидкість може бути представлена як сума радіальної та азімутальної складових, то: . Тому /1/ можна подати у вигляді: . У цьому виразі закону збереження енергії

сума  є функцією, яка відіграє роль потенціальної енергії.