Цей закон відкритий Ньютоном
у 1667 році на основі аналізу
руху планет (закони
Кеплера) і, зокрема, Місяця.
Усі тіла взаємодіють
одне з одним із силою, прямо пропорційною добуткові мас цих
тіл і обернено
пропорційною квадратові відстані між
ними: .
Цей закон має важливе значення. Застосовуючи його, вивчають закономірності руху планет і їхніх
супутників, розраховують рух супутників.
Проте, цей закон:
не пояснює причин тяжіння, а тільки встановлює кількісні закономірності;
·
для тіл довільної форми потрібно підсумовувати
взаємодії між малими частинами кожного тіла;
·
у випадку взаємодії трьох і більше тіл
задачу про рух тіл не можна розв’язати в загальному вигляді (потрібно враховувати “збурювання”, викликані іншими тілами). Саме таким чином відбулося відкриття планет Нептун та Плутон Адамсом і Леверьє в 1846 та в 1930 році.
Із аналізу закону слідує, що сила спрямована уздовж прямої, яка з’єднує тіла.
G – постійна всесвітнього тяжіння (гравітаційна постійна). У Міжнародній системі одиниць СІ – .
Уперше прямі виміри гравітаційної постійної провів Г. Кавендіш за допомогою крутильних ваг 1798 року.
Із закону слідує, що . Нехай m1=m2=1 кг, R=1 м, тоді:
G=F (чисельно).
Фізичний зміст гравітаційної постійної: гравітаційна
постійна чисельно дорівнює модулеві сили тяжіння, що діє між двома точковими тілами
масою по 1 кг кожне, що знаходяться на відстані 1 м одне від одного.
Те, що гравітаційна постійна досить мала за величиною
свідчить, що інтенсивність гравітаційної взаємодії мала.
Сила тяжіння – це сила притягання тіл до Землі (до планети), тобто із закону Всесвітнього тяжіння: , де M – маса планети, m – маса тіла, R – відстань до центра планети.
Але ж – сила тяжіння з другого закону Ньютона, де m – маса тіла, g – прискорення сили тяжіння (прискорення вільного падіння). Тоді із порівняння:
– прискорення сили тяжіння не залежить від
маси тіла.
Якщо позначити R0 – радіус планети, а h – відстань до тіла від поверхні
планети, то: .
Отже, прискорення сили тяжіння залежить
від:
·
маси планети;
·
радіуса планети;
·
висоти над поверхнею планети;
географічної широти
(так, для Землі на полюсах g9,83 м/с2, на екваторі g
9,79 м/с2).
1609 року
Кеплер публікує роботу, присвячену
вивченню руху Марса за спостереженнями Т. Браге, у якій
містилося формулювання
перших двох законів руху планет. 1612 році він дає формулювання
третього закону, об’єднуючи
теорію руху планет у струнке ціле.
Закони руху планет відкриті Кеплером, на початку 17 століття, стали обґрунтуванням і подальшим розвитком геліоцентричного вчення
Коперника. Ці закони є найважливішим аргументом на користь центрального положення Сонця, що поклало кінець
геоцентричній системі Птоломея.
Емпіричні закони Кеплера назавжди ввійшли
в основу теоретичної астрономії,
одержали пояснення в механіці
І. Ньютона, зокрема – у законі
всесвітнього тяжіння. Надалі закони Кеплера уточнювалися й у сучасному формулюванні можуть бути подані
так:
Кожна з планет обертається
навколо Сонця по еліпсу, причому Сонце знаходиться в одному з його фокусів.
I.
За однакові проміжки часу, радіус-вектори
планет описують рівні
площі.
II.
Куби великих півосей
еліптичних орбіт планет пропорційні квадратам періодів обертання планет навколо Сонця:
.
Закон всесвітнього тяжіння використовують в механіці космічних польотів. На тіла, які повинні
обертатись навколо Землі, чи іншого
супутника (коловою орбітою) повинна діяти
доцентрова сила, яка має компенсуватись вагою даного тіла: , де r
– радіус Землі, h – висота над поверхнею Землі, r+h – відстань від тіла до центру планети. Нехай r+h=R, тоді
– це так звана перша космічна швидкість, яка забезпечує обертання супутника навколо Землі на сталій висоті R
відносно її
центра. (υ1≈
7,9 км/с).
Збільшення швидкості
супутника призведе до витягування його траєкторії руху,
яка при певному значенні перейде у параболічну. Така швидкість названа другою космічною швидкістю – вона дозволяє тілу подолати силу тяжіння Землі: , де m – маса
супутника, M – маса
Землі (чи іншої планети). Звідки
. (Для Землі υ2≈ 11,2 км/с).
Аналогічно розраховують
і третю космічну швидкість – це швидкість при
якій тіло здатне покинути Сонячну систему. У цьому випадку його кінетична
енергія повинна бути такою, щоб тіло могло виконати роботу з подолання сил тяжіння Сонця:
, (Мс – маса Сонця).
Звідки
.
Точно кажучи, щоб тіло
покинуло Сонячну систему, йому
слід подолати
і силу притягання Землі, і силу притягання
Сонця. Тому третя космічна швидкість залежить від
напрямку запуску. Так, при запуску у напрямку орбітального руху Землі, коли швидкість тіла відносно Сонця складається із швидкості тіла відносно Землі та швидкості з якою
Земля рухається навколо Сонця, υ3≈ 17
км/с. При запускові ж проти
напрямку руху Землі – υ3≈ 73
км/с.
Поле тяжіння Землі є
прикладом центрального поля тяжіння. Якщо деяке тіло
масою m під
дією сил тяжіння
переміщується з однієї точки в іншу (на відстань dl), то при цьому виконується робота: , де
– проекція вектора dl на напрямок
радіус-вектора; знак „–” вказує
на те, що сила притягання напрямлена протилежно до радіус-вектора.
Але,
робота з переміщення тіла у полі тяжіння
дорівнює зміні потенціальної енергії . Повна ж енергія такого тіла:
/1/.
Момент імпульсу такого тіла: .
Оскільки повна швидкість може бути
представлена як сума радіальної та азімутальної складових, то: . Тому /1/ можна подати у вигляді:
. У цьому виразі закону збереження енергії
сума
є функцією, яка відіграє
роль потенціальної енергії.