Тема 10. КОЛИВАННЯ І ХВИЛІ . ОСНОВИ АКУСТИКИ

10.1. Коливання і хвилі

10.2. Незатухаючі гармонійні коливання систем з одним ступенем вільності

10.3. Вимушені коливання під дією гармонійної сили

10.4. Автоколивання

10.5. Рівняння біжучої хвилі в середовищі. Фазова швидкість руху. Енергія хвильового процесу

10.6. Інтерференція хвиль та стоячі хвилі

10.7. Особливості звукових хвиль

10.8. Ефект Доплера для звукових хвиль

10.1. Коливання і хвилі

Коливання – один з найпоширеніших процесів у природі і техніці. Коливаються висотні будинки і високовольтні дроти під дією вітру, маятник заведеного годинника і автомобіль на ресорах під час руху, рівень ріки протягом року і температура людського тіла при хворобі.

Звук – це коливання густини і тиску повітря, радіохвилі – періодичні зміни напруженостей електричного і магнітного полів, видиме світло – теж електромагнітні коливання, тільки з трохи іншими довжиною хвилі і частотою. Землетруси – коливання ґрунту, припливи і відливи – зміна рівня морів і океанів, викликувана притяганням Місяця тощо.

 Коливання бувають механічні, електромагнітні, хімічні, термодинамічні і різні інші. Незважаючи на таку розмаїтість, усі вони мають між собою багато загального і тому описуються тими самими диференціальними рівняннями. Спеціальний розділ фізики – теорія коливань – займається вивченням закономірностей цих явищ.

Будь-які коливання характеризуються амплітудою – найбільшим відхиленням деякої величини від свого нульового значення, періодом (T) або частотою (v). Останні дві величини пов’язані між собою обернено пропорційною залежністю: T = 1/v. Частота коливань виражається в Герцах (Гц). 1 Гц – це одне коливання в секунду. Приблизно з такою частотою б’ється людське серце.

Першими вченими, що вивчали коливання, були Г. Галілей (1564–1642) і Х.Гюйгенс (1629–1692). Галілей установив ізохронізм (незалежність періоду від амплітуди) малих коливань, спостерігаючи за розгойдуванням люстри в соборі й відміряючи час по ударах пульсу на руці. Гюйгенс винайшов першим годинник з маятником (1657) і в другому виданні своєї монографії «Маятниковий годинник» (1673) досліджував ряд проблем, пов’язаних з рухом маятника, зокрема знайшов центр коливання фізичного маятника.

У середовищі при виникненні коливального руху за рахунок взаємодії між частинками середовища відбувається його поширення, яке називається хвильовим процесом або хвилею. Напрямок поширення хвиль називається променем.

Залежно від напрямку коливань окремих частинок у хвилі розрізняють:

Ø        поперечні хвилі – це хвилі, в яких частинки коливаються перпендикулярно до напрямку променя;

Ø        поздовжні хвилі, у яких частинки коливаються у напрямку поширення хвилі.

У поперечній хвилі тіло (середовище) зазнає деформацій зсуву і розміщення частинок набуває вигляду синусоїди. Такі хвилі можуть виникати лише в твердих тілах, оскільки лише в них можуть виникати сили пружності при деформаціях зсуву. Поширення поздовжньої хвилі супроводжується утворенням згущень та розріджень частинок, тобто відбуваються деформації стиску та розтягу. Такі деформації характерні для будь-яких тіл, тому поздовжні хвилі можуть виникати в будь-яких тілах.

10.2. Незатухаючі гармонійні коливання систем з одним ступенем вільності.

Якщо положення системи може бути описано одним єдиним параметром , що залежить від часу, то така система має одну ступінь вільності. Прикладами таких систем є добре відомий зі шкільного курсу математичний маятник ( рис. 10.1).

Для такого маятника  може характеризувати або кутовий зсув =, або лінійний зсув уздовж траєкторії =, точкової маси  від положення рівноваги.

Рух таких і подібних їм систем можна описати на основі другого закону Ньютона: . Якщо зневажити силами опору (надалі ми врахуємо їхню дію), то на массу  математичного маятника буде діяти результуюча сила , де – сила натягу нитки, спрямована, узагалі кажучи, під кутом до траєкторії.

Оскільки зсув  може бути визначено тангенціальним прискоренням, то рівняння динаміки для маятника запишеться у вигляді : , де  – довжина нитки.

 У цьому прикладі повертаюча сила  є, узагалі кажучи, нелінійною функцією  зсуву . Тому точний розв’язок останнього рівняння, що є нелінійним, одержати не вдається.

Будемо вважати зсув малими в порівнянні з довжиною нитки. При таких припущеннях повертаюча сила – пропорційна зсуву, тобто . Отже, початкове рівняння можна подати у вигляді: . Якщо використовувати позначення , то рівняння прийме вигляд рівняння незатухаючих гармонійних коливань, чи рівняння гармонійного осциллятора: .

Розв’язком такого рівняння є сімейство гармонійних функцій  у чому легко переконатися, двічі продиференціювавши функцію  за часом: , .

 Значення цих гармонійних функцій у початковий момент часу визначаються початковою фазою  і амплітудою коливань .

 Поряд із циклічною частотою  коливання характеризуються частотою , рівною числу коливань за одиницю часу, і періодом коливань , рівним тривалості одного коливання.

Періоди гармонійних коливань розглянутого маятника не залежать від початкових умов і дорівнюють:.          

Іншим прикладом є коливання фізичного маятника – тіла довільної форми маси , закріпленого на горизонтальній осі так, що його центр мас знаходиться в точці O, віднесеній від осі на відстань . При відхиленні маятника від вертикалі на невеликий кут  він буде виконувати вільні гармонійні коливання під дією сили ваги, прикладеної до центра мас (рис. 10.2).

Якщо відомий момент інерції тіла  щодо осі обертання, то рівняння обертального руху запишеться у вигляді .

Якщо вважати, що при обертанні, наприклад, проти годинникової стрілки кут  збільшується, то момент сили ваги  викликає зменшення цього кута і, отже, при  момент . Це і відбиває знак мінус у правій частині останнього рівняння.

Для малих кутів відхилення рівняння переходить у рівняння гармонійних коливань , з виду якого відразу ясно, що частота і період коливань відповідно дорівнюють

.

Порівнюючи вирази для періоду коливань фізичного і математичного маятників, легко бачити, що обидва періоди збігаються, якщо . Тому фізичний маятник характеризується зведеною довжиною, що дорівнює довжині математичного маятника з таким же періодом коливань.

Період коливань  фізичного маятника (а, отже, і його звведена довжина ) немонотонно залежить від відстані . Це легко помітити, якщо відповідно до теореми Гюйгенса-Штейнера момент інерції  виразити через момент інерції  щодо рівнобіжної горизонтальної осі, що проходить через центр мас: . Тоді період коливань буде дорівнювати:

.

Фізичний маятник застосовується для виміру прискорення вільного падіння. З цією метою вимірюють залежність періоду коливань маятника від положення осі обертання і за цією експериментальною залежністю знаходять приведену довжину. Визначена в такий спосіб зведена довжина разом з обчисленим з високою точністю періодом коливань щодо обох осей дозволяє розрахувати прискорення вільного падіння. Важливо відзначити, що при такому способі вимірів не потрібно визначення положення центра мас, що в ряді випадків підвищує точність вимірів.

10.3. Вимушені коливання під дією гармонійної сили

Нехай зовнішня сила змінюється за гармонійним законом: . Рівняння руху вантажу у цьому випадку приймає вигляд: , або у іншому вигляді

.

Загальний розв’язок такого рівняння можна подати у вигляді

, де; .

Як показує дослід, амплітуда  і початкова фаза  сталих коливань залежать не тільки від амплітуди сили , але і від того, наскільки частота сили, що змушує , відрізняється від власної частоти коливань  маятника. Найсильніше маятник буде розгойдуватися, коли ці частоти практично збігаються: . Якщо при цьому забезпечити зменшення коефіцієнта затухання , амплітуда почне дуже швидко зростати. Це явище називається резонансом.

 Відзначимо, що для механічних коливальних систем не так просто з технічної точки зору здійснити вплив гармонійної сили безпосередньо на масу, що рухається. Набагато простіше це зробити для електричних і оптичних коливальних систем, наприклад, для  коливального контура, під’єднаного до зовнішнього джерела змінної напруги.

10.4. Автоколивання

Спостерігаючи коливання листів дерев, дорожніх знаків над проїзджою частиною вулиць, полотнищ на вітрі й інше, ми розуміємо, що у всіх перерахованих випадках незатухаючі коливання відбуваються за рахунок зовнішньої енергії – постійно дує вітер. При цьому сама коливальна система робить добір енергії вітру в потрібний момент часу й у кількості, необхідній для компенсації неминуче присутніх енергетичних утрат.

Класичним прикладом автоколивної системи є механічний годинник з маятником і гирями. Ці годинники періодично «черпають» енергію при опусканні гир, підвішених до ланцюжка, перекинутого через шестірню годинного механізму. У конструкції годинникового механізму (рис. 10.3) є спеціальний пристрій – анкер, що представляє собою коромисло, яке приводиться в коливання самим маятником годинника. При визначених положеннях він "відмикає" одну із шестірень годинникового механізму. У цей момент часу шестірня провертається за рахунок моменту сил, прикладеного з боку натягнутого ланцюга з вантажем. Вантаж при цьому опускається на незначну величину. Кількість енергії, що надходить у годинниковий механізм, дорівнює за величиною зменшенню потенціальної енергії вантажу в полі сили ваги.

10.5. Рівняння біжучої хвилі в середовищі. Фазова швидкість руху. Енергія хвильового процесу

Відстань між найближчими точками на прямій поширення хвилі, які коливаються в однакових фазах, називається довжиною хвилі (λ). Довжина хвилі дорівнює відстані, на яку поширюється хвиля за період: λ=υТ . Тут υ називають фазовою швидкістю хвилі.

В суцільному середовищі хвилі розповсюджуються в усіх напрямках від центру коливань. Геометричне місце точок, до яких дійшли коливання в деякий момент часу називається фронтом хвилі. Отже, якщо середовище ізотропне (однорідне), то фронт хвилі, утворений точковим джерелом коливань матиме вигляд сфери. За формою фронту хвилі розрізняють: сферичні, еліпсоїдні, плоскі тощо. Геометричне місце точок, які коливаються в одній фазі називається хвильовою поверхнею.

Розповсюдження хвиль в ізотропних середовищах пояснюється принципом Гюйгенса: кожну точку фронту хвилі в довільний момент часу можна розглядати як самостійні джерела коливань, які збуджують вторинні хвилі, а обвідна вторинних хвиль – покаже фронт хвилі у наступний момент часу (рис.10.4).

Рівняння хвильового процесу – це вираз, який визначає зміщення будь-якої точки, збудженої хвилею, як функції від часу і відстані та початкового положення. Зміщення точок при коливальному русі можна описати законами синуса чи косинуса, наприклад: . Але, щоб визначити зміщення точок у площині, яка міститься на відстані х від джерела коливань, слід врахувати,, що ці точки була приведені в коливання пізніше на час , тому  – це рівняння плоскої хвилі. Інколи

рівняння плоскої хвилі записують  /*/, де  називається хвильовим числом. Аргумент синуса  називається фазою хвилі. Продиференціювавши вираз /*/ по часу знайдемо швидкість переміщення фази, тобто фазову швидкість:

.

Коливання частинок середовища виникають за рахунок передачі енергії від коливальної системи. Кінетичну енергію частинок, які знаходяться в об’ємі V можна порахувати:

 /1/.

Потенціальна енергія пружної деформації, як було показано в темі 5, дорівнює:

, де E=ρυ2модуль Юнга,  – відносна деформація хвилі. Тоді

  /2/.

Як видно із /1/ та /2/, зміна потенціальної енергії в часі і просторі аналогічна зміні кінетичної енергії. Це значить, що максимуми кінетичної та потенціальної енергії припадають на одні й ті ж точки простору. Це є особливістю біжучої хвилі.

Повна енергія біжучої хвилі:, а оскільки середнє значення соs за період дорівнює ½, то середнє в часі значення густини енергії в кожній точці хвилі дорівнює .

Кількість енергії, яку хвиля переносить через деяку поверхню S за час t, називається потоком енергії через дану поверхню. Кількість енергії, яка переноситься хвилею через поверхню в 1 м2, орієнтовану перпендикулярно до напрямку поширення хвилі за 1 с називається густиною потоку енергії. За фізичним змістом густина потоку – векторна величина: , де  – вектор фазової швидкості. Отже, . Вектор густини потоку енергії називають вектором Умова.

10.6. Інтерференція хвиль та стоячі хвилі

Поширення хвиль у середовищі не залежить від наявності в ньому інших хвиль. Незалежність поширення хвиль у середовищі називається принципом суперпозиції. Явище накладання хвиль, при якому амплітуда результуючих коливань дорівнює сумі складових та залишається незмінною в часі, називається інтерференцією хвиль. Характерною ознакою інтерференції хвиль є існування зон з максимальними і мінімальними амплітудами результуючих коливань.

Для виникнення інтерференції необхідно, щоб виконувались умови:

1.       коливання повинні відбуватись в одних площинах;

2.       зсув фаз між коливаннями частинок з часом не повинен змінюватись.

Такі хвилі називаються когерентними.

Нехай S1 та S2 – є джерелами двох когерентних хвиль, які накладаються в точці середовища А (рис.10.5) , котра знаходиться на фіксованій відстані r1 від джерела S1 та на відстані r2 від джерела S2. Тоді зміщення коливальної точки зумовлені хвилями

, де .

При додаванні коливань одного напрямку, як відомо:  /3/.

Аргумент косинуса можна записати , де d=r2 – r1 називається різницею ходу хвиль.

Із /3/ слідує, що Амах=А1 + А2, коли  і, відповідно, Амін=|A1–A2|, коли  .

Особливим випадком інтерференції є так звані стоячі хвилі – це хвиля, яка утворюється в результаті накладання падаючої та відбитої хвилі.

Нехай падаюча хвиля , а відбита , тоді рівняння результуючої хвилі:  – це і буде рівняння стоячої хвилі. Тут  – є амплітудою стоячої хвилі. Як видно, для стоячої хвилі А не залежить від часу, а залежить від координати х. Окрім цього, у стоячій хвилі відсутня швидкість поширення фази.

Якщо , то А=Амах=2А0 – це пучності стоячої хвилі, коли ж , одержимо А=Амін=0 – це умова вузлів.

Цікаво, що стояча хвиля не переносить енергію. Це можна пояснити тим, що падаюча і відбита хвилі мають однакові амплітуди і переносять однакову енергію у протилежних напрямках. Повна ж енергія хвилі зосереджена між вузлами і з часом не змінюється.

10.7. Особливості звукових хвиль

Звуковими хвилями або просто звуком називаються хвилі, що сприймаються людським вухом. Діапазон звукових частот лежить в межах приблизно від 20 Гц до 20 кГц. Хвилі з частотою менше 20 Гц називаються інфразвуком, а з частотою більше 20 кГц – ультразвуком. Хвилі звукового діапазону можуть розповсюджуватися не тільки в газі, але і в рідині (поздовжні хвилі) і в твердому тілі (поздовжні і поперечні хвилі). Вивченням звукових явищ займається розділ фізики, який називають акустикою.

При розповсюдженні звуку в газі атоми і молекули коливаються уздовж напрямку розповсюдження хвилі, що призводить до змін локальної густини ρ і тиску р.  Співвідношення між круговою частотою ω, хвильовим числом k, довжиною хвилі λ, швидкістю звуку υ такі ж, як і для поперечних хвиль в довільному середовищі:

.

Важливою характеристикою звукових хвиль є швидкість їх розповсюдження. Вона визначається інертними і пружними властивостями середовища. Швидкість розповсюдження поздовжніх хвиль в будь-якому безмежному однорідному середовищі визначається за формулою  , де G – модуль стиснення, ρ – середня густина середовища. Ще Ньютон намагався одержати числове значення швидкості звуку в повітрі. Він припустив, що пружність повітря просто дорівнює атмосферному тиску pатм, але одержав, що швидкість звуку в повітрі менша 300 м/с, в той час, як дійсна швидкість звуку за нормальних умов дорівнює 331,5 м/с. Лаплас вказав на помилку Ньютона, що припущення про швидке вирівнювання температури між областями розрідження і стиснення газу із-за поганої теплопровідності повітря і малого періоду коливань в звуковій хвилі не виконується. Насправді між областями розрідження і стиснення газу виникає різниця температур, яка істотно впливає на пружні властивості. Лаплас припустив, що стиснення і розрідження газу в звуковій хвилі відбуваються за адіабатним законом, тобто без впливу теплопровідності. Формула Лапласа має вигляд , де γ – показник адіабати, p – середній тиск в газі, ρ – середня густина.

При сприйнятті різних звуків органи слуху оцінюють їх перш за все за рівнем гучності, залежної від потоку енергії або інтенсивності звукової хвилі. Дія звукової хвилі на барабанну перетинку залежить від звукового тиску, тобто амплітуди p0 коливань тиску в хвилі. Людське вухо є довершеним творінням природи, здатним сприймати звуки у величезному діапазоні. Поріг чутності відповідає значенню p0 близько 10–10 атм. При такому слабкому звуці молекули повітря коливаються в звуковій хвилі з амплітудою всього 10–7 см. Больовий поріг відповідає значенню p0≈10–4 атм. Таким чином, людське вухо здатне сприймати хвилі, в яких звуковий тиск змінюється в мільйон разів. Оскільки інтенсивність звуку пропорційна квадрату звукового тиску, то діапазон інтенсивностей виявляється близько 1012. Для порівняння вкажемо, що при звичайних розмовах людей в кімнаті інтенсивність звуку приблизно в 106 разів перевищує поріг чутності, а інтенсивність звуку при рок-концерті наближається до больового порогу.

Ще однією характеристикою звукових хвиль, що визначає їх слухове сприйняття, є висота звуку. Коливання в гармонійній звуковій хвилі сприймаються людським вухом як музичний тон. Коливання високої частоти сприймаються як звуки високого тону, коливання низької частоти – як звуки низького тону. Звуки, що видаються музичними інструментами, а також звуки людського голосу можуть сильно розрізнятися за висотою тону і за діапазоном частот. Так, наприклад, діапазон найбільш низького чоловічого голосу – басу – має діапазон ~ 80 ÷ 400 Гц, а діапазон високого жіночого голосу – сопрано ~ 250 ÷ 1050 Гц.

Діапазон звукових коливань, відповідний зміні частоти коливань в два рази, називається октавою. Голос скрипки, наприклад, перекриває приблизно три з половиною октави (196–2340 Гц), а звуки піаніно – понад сім октав (27,5–4186 Гц).

Коли говорять про частоту звуку, що видається струнами будь-якого струнного музичного інструменту, то мають на увазі частоту основного тону. Але в коливаннях струн можуть бути присутніми і гармоніки, частоти яких кратні до основної частоти. Тому струна може випромінювати цілий спектр хвиль з кратними частотами. Амплітуди цих хвиль залежать від способу збудження струни (смичок, молоточок); вони визначають музичне забарвлення звуку або тембр.

 10.7. Ефект Доплера для звукових хвиль

Якщо джерело звуку і спостерігач рухаються один відносно одного, частота звуку, що сприймається спостерігачем, не співпадає з частотою джерела звуку. Це явище носить назву ефекту Доплера.

Звукові хвилі розповсюджуються в однорідному середовищі з постійною швидкістю, яка залежить тільки від властивостей середовища. Проте, довжина хвилі і частота звуку можуть істотно змінюватися при русі джерела звуку і спостерігача.

Нехай частота коливань звуку v0, його швидкість поширення , отже .

Розглянемо випадки:

1.         приймач рухається зі швидкістю  до джерела звуку.

Тоді, швидкість поширення звуку відносно приймача , а оскільки довжина звукової хвилі є сталою, то за одиницю часу до рухомого приймача прийде більша кількість хвиль, ніж до нерухомого, тому .

Звідки видно, що частота сприйнятих коливань буде більшою, ніж випромінювана джерелом.

2.         приймач рухається зі швидкістю  від джерела звуку.

Аналогічно міркуючи одержимо , тобто в цьому випадку приймач

реєструє меншу частоту, ніж випромінює джерело.

3.       джерело звуку рухається відносно середовища зі швидкістю u, а приймач нерухомий.

Якщо джерело звуку наближається до приймача, то за час періоду коливань хвиля поширюється на відстань , а джерело звуку за цей час переміститься на відстань . При цьому довжина хвилі , тому приймач реєструє частоту: , а отже реєструється частота більша за

частоту випромінювання.

4.         неважко показати, що коли джерело звуку віддаляється від приймача, то:

  частота зменшується.

5.         при одночасному русі джерела та приймача можна використовувати зведену формулу:

.

Якщо ж приймач чи джерело звуку рухаються не вздовж прямої, що з’єднує їх, то ефект Доплера визначається проекціями швидкостей руху на напрямок цієї прямої.