Розглянемо самий
загальний випадок руху довільної системи тіл. Довільну систему тіл завжди можна
звести до системи матеріальних точок. Адже кожне тіло кінцевих розмірів завжди
умовно можна розбити на настільки малі частинки, що кожну частинку можна
розглядати як матеріальну точку. Таким чином, описавши закони руху для системи
матеріальних точок, можна перенести ці закони на довільне тверде тіло.
На рис. 4.1 зображена
система пронумерованих матеріальних точок. На кожну точку діють внутрішні сили
– з боку інших точок системи і зовнішні сили – з боку зовнішніх тіл, що не
належать системі. Внутрішні сили будемо позначати буквою з двома індексами.
Зовнішні сили – буквою з одним індексом. Наприклад, сила Fik
означає силу, що діє на i-у точку з боку k-ї.
Fi
є зовнішня сила, що діє на i-у частинку.
Для кожної точки системи
можна записати рівняння руху відповідно до другого закону Ньютона: , (k
).
Усі ці рівняння можна
скласти в одне рівняння: .
У правій частині рівняння подвійна
сума зображує векторну суму усіх внутрішніх сил системи. Але відповідно до третього
закону Ньютона кожній дії найдеться рівна і протилежно спрямована протидія.
Наприклад, .
Це означає, що подвійна сума внутрішніх сил дорівнює нулеві. З
іншого боку, прискорення . Тобто останнє рівняння можна переписати у вигляді
.
Тут під знаком похідної – повний імпульс системи, тому рівняння
можна подати . Це рівняння виражає собою не що інше, як закон
збереження імпульсу в загальному вигляді.
Якщо зовнішні сили відсутні (система замкнута), то похідна від імпульсу системи за часом дорівнює нулеві, а це означає, що імпульс системи з часом зберігається і за модулем, і за напрямком. Якщо зовнішні сили відмінні від нуля, то похідна від імпульсу за часом дорівнює сумі зовнішніх сил, діючих на систему.
Отже,
систем матеріальних точок рухається як одна матеріальна точка, тобто її рух
можна описувати з погляду на одну точку, яку називають центром мас. Загальна
формула для центру мас довільної системи матеріальних точок:
де rc – радіус-вектор центра мас,
ri – радіус-вектор i-й частинки з масою mi.
Знайдемо швидкість центра мас. Для цього потрібно знайти похідну від rc. З огляду на те, що
, одержимо
, або
.
Таким чином, швидкість центра мас пов’язана простою залежністю з
повним імпульсом системи: імпульс системи дорівнює добуткові
маси системи на швидкість центра мас.
Скориставшись вищевикладеним, останнє рівняння можна
подати у вигляді:
.
Цей вираз називають
рівнянням руху центра мас. Зміст цього рівняння такий: добуток маси системи
на прискорення центра мас дорівнює геометричній сумі зовнішніх сил, що діють на
тіла системи.
Як бачимо, закон руху центра мас нагадує другий закон Ньютона. Якщо зовнішні сили на систему не діють або сума зовнішніх сил дорівнює нулеві, то прискорення центра мас дорівнює нулеві, а швидкість його незмінна в часі за модулем і напрямком, тобто в цьому випадку центр мас рухається рівномірно і прямолінійно.
Зокрема, це означає, що якщо система замкнута і центр мас її нерухомий, то внутрішні сили системи не в змозі привести центр мас у рух. На цьому принципі заснований рух ракет: щоб ракеті надати руху, необхідно викинути гази, що утворяться при згорянні палива, у зворотному напрямку.
Тверде тіло – значить
практично недеформоване. Якщо на який-небудь твердий предмет (об’ємне тіло) подіяти
силою і змусити його рухатися, то відстані між будь-якими його точками
залишаться незмінними. Хоча, звичайно, під дією прикладених сил у тілі
виникнуть внутрішні напруги, причина яких – деформації окремих його частин. Але
якщо ми говоримо про тверде тіло, то ці деформації виявляються непомітними для
ока. Це і є модель абсолютно твердого
тіла (надалі – просто твердого тіла).
Таким чином, тверде тіло можна розглядати як систему
матеріальних точок, відносні положення яких залишаються незмінними. Іншими
словами, усі макроскопічні елементи такого тіла нерухомі в системі координат,
жорстко зв’язаній з тілом. Саме ця обставина дозволяє значно спростити
розв’язок кінематичних задач.
Рухаючись в просторі, тверде тіло має визначену
кількість ступенів вільності. Кількість ступенів вільності – це число незалежних величин, які необхідно задати для того, щоб
однозначно визначити положення тіла в просторі. У різних ситуаціях число
ступенів вільності твердого тіла може бути різним. Якщо диск, не обертаючись,
може ковзати уздовж нерухомої в даній системі відліку осі (рис.4.2,а), то в
даній системі відліку він, очевидно, володіє тільки одним ступенем вільності –
оскільки, положення диска однозначно визначається координатою x його центра уздовж осі. Але якщо диск, крім того, може ще й
обертатися (рис. 4.2,б), то він здобуває ще одну ступінь вільності – до
координати x додається кут повороту
диска навколо осі – . Якщо вісь з диском затиснута в рамці, що може повертатися навколо
вертикальної осі (рис. 4.2,в), то число ступенів вільності стає рівним трьом –
до x і
додається кут повороту рамки
–
.
Яке ж число ступенів вільності твердого
тіла в самому загальному випадку? Для
того, щоб однозначно задати положення твердого тіла в просторі, треба
зафіксувати три його точки,
що не лежать на одній прямій. Одна матеріальна точка має три ступені вільності (три декартових координати x, y, z).
Дві матеріальні точки, жорстко зв'язані між собою, мають 3 + 3 – 1 = 5 ступенів
вільності. У цьому випадку координати точок x1,
y1,
z1
і x2,
y2,
z2
не є незалежними величинами, тому що рівняння зв'язку має вигляд: , де
– відстань між
точками.
Таким чином, у загальному випадку для твердого тіла одержуємо: 3 + 3 + 3 – 3 = 6 ступенів вільності. При цьому можна записати три рівняння зв’язку, що виражають сталість відстаней між кожною парою точок.
Відомо, що довільний складний рух того або іншого тіла може бути
представлений як суперпозиція простих рухів: поступального переміщення і
повороту (обертання) навколо осі. Розглянемо основні типи рухів твердого тіла.
Поступальний
рух . Поступальний рух – це такий рух, при якому
будь-який виділений у тілі відрізок залишається рівнобіжним сам собі. Класичним
прикладом такого рух є рух кабінок колеса огляду (проаналізуйте із рис. 4.3, що,
наприклад, дно кабіни в процесі руху залишається паралельним самому собі). З
цього прикладу видно, що поступальний рух – зовсім не обов’язково
прямолінійний. Очевидно, що число ступенів вільності тіла в цьому випадку
дорівнює трьом, тому що досить описати рух якої-небудь однієї точки тіла,
траєкторії всіх інших точок можуть бути отримані шляхом паралельного
перенесення. Тобто, кінематика поступального руху твердого тіла в принципі
нічим не відрізняється від кінематики матеріальної точки.
Істотно, що лінійні швидкості точок, що знаходяться на різній відстані від осі обертання, різні. У цьому можна переконатися, торкаючись сталевим дротом обертового диска точила (рис. 4.4): чим далі від осі, тим довший сніп іскор – тим більша швидкість відповідної точки диска. При цьому також видно, що іскри летять за дотичною до кола, описуваного даною точкою диска.
Кутове
переміщення всіх точок твердого тіла за той самий час буде
однаковим. Ця обставина дозволяє ввести загальну кінематичну характеристику – кутову швидкість де
– кут
повороту тіла за час
Знаючи
легко визначити лінійну швидкість будь-якої
точки твердого тіла. Уведемо радіус-вектор
деякої точки А
твердого тіла, помістивши його початок у точку О на осі
обертання (рис. 4.5).
– вектор,
проведений у точку А від осі обертання, тобто перпендикулярно осі. Вектор
швидкості
можна пов’язати з векторами
і
:
.
При цьому величина швидкості . Зрозуміло, що точку О на осі
обертання можна вибрати довільно, але значення
залишиться тим же.
Тоді, прискорення точки А:
. Таким чином, прискорення є сумою двох величин:, причому всі три вектори лежать у
площині, перпендикулярній осі обертання.
– це тангенціальне прискорення,
– доцентрове прискорення.
Класичним прикладом
плоского руху є кочення циліндра без просковзування. Розглянемо один з перерізів циліндра площиною, перпендикулярною його осі (рис. 4.7). Центр
колеса рухається прямолінійно, траєкторії інших точок являють собою криві – циклоїди.
При відсутності
просковзування миттєва швидкість самої нижньої точки колеса (точки М) дорівнює
нулеві. Це дозволяє розглядати кочення колеса як суперпозицію двох рухів:
поступального зі швидкістю осі й обертального з кутовою швидкістю
, де
–
радіус колеса. Ясно, що в цьому випадку
.
Швидкість будь-якої
точки А тіла (рис. 4.8.) геометрично складається зі швидкості якої-небудь іншої
точки O, прийнятої за центр
мас, і швидкості обертального руху навколо цього центра. Система
координат XYZ на рис. 4.8 – нерухома; початок
системи x0y0z0
поміщено в деяку точку О тіла (нехай, центр мас), а сама система x0y0z0
рухається відносно XYZ поступально, причому так, що осі Oy0
і Oz0 залишаються в площині рисунка. Розглянута точка А
тіла також рухається в площині рисунка.
Радіус-вектор точки А . Тоді швидкість точки А
. (*)
Звідси можна зробити висновок, що в будь-який момент часу
повинна існувати така точка M, швидкість якої в системі XYZ дорівнює нулеві: (рис. 4.9).
Ця точка не обов'язково повинна належати тілу, тобто може знаходитися і поза ним.
Таким чином, плоский рух твердого тіла в даний момент часу можна представити як
обертання навколо осі, що проходить через точку M – така вісь називається миттєвою віссю обертання. Важливо,
що у випадку кочення диску, миттєва вісь МО співпадає з лінією дотику диску до
площини (рис.4.10). При цьому швидкості усіх частин диска для кожного моменту
часу можна легко знайти, пов’язавши з обертанням відносно відповідної миттєвої
осі.
Зокрема,
для колеса, що котиться площиною без
просковзування (рис. 4.7), миттєва вісь обертання проходить через
точку М зіткнення колеса з площиною.
Істотно, що в різні
моменти часу миттєва вісь обертання проходить через різні точки твердого тіла,
зберігаючи свою орієнтацію в просторі.
Знаючи кутову швидкість і положення миттєвої осі обертання, можна
легко визначити швидкість будь-якої точки тіла при його плоскому русі. Так, у
випадку колеса, що котиться площиною зі швидкістю
без
просковзування (рис. 4.11), швидкість точки В:
. Вектор
перпендикулярний відрізкові |МВ|, що з’єднує
точку В с точкою М, через яку проходить миттєва вісь обертання. Природно,
можна представити
і як геометричну суму двох швидкостей:
– швидкості
поступального руху осі колеса і
– швидкості обертального
руху навколо цієї осі, причому |
|=|
|.
Визначимо тепер прискорення точок тіла при плоскому
русі. Диференціюючи вираз для
швидкості точки А (*) за часом,
одержимо для прискорення точки А
Це прискорення складається з трьох частин (рис. 4.12): прискорення точки O, прийнятої за полюс, тангенціального
прискорення
та нормального прискорення
.
Звідси, зокрема, випливає, що прискорення будь-якої точки
колеса, що котиться без просковзування по площині з постійною швидкістю , спрямоване до центра колеса і дорівнює
, де
– відстань розглянутої
точки до центра колеса. У цьому прикладі як полюс зручно вибрати центр колеса
О, тоді
, тому
.
Задача динаміки абсолютно твердого тіла – вивчити рух тіла в
залежності від сил, що на нього діють. Як випливає з попереднього розгляду,
довільний рух твердого тіла можна
звести до поступального й обертального. При поступальному русі траєкторії всіх
точок тіла однакові, і для опису цього руху використовуються такі поняття, як
маса, імпульс, сила. При вивченні обертального руху тіла цих понять виявляється
недостатньо.
Розглянемо два циліндри однакової маси й однакових розмірів, причому один циліндр, виготовлений з більш легкого матеріалу, нехай буде суцільним, а інший, виготовлений з більш важкого матеріалу, – порожнім. При зісковзуванні з досить гладкої похилої площини коли циліндри не обертаються, характер їхнього руху однаковий (рис. 4.13,а), зокрема, вони одночасно досягають основи цієї похилої площини. Якщо з площина шорстка, і циліндри скочуються, обертаючись навколо своєї осі (рис. 4.13,б) – у цьому випадку швидше скочується суцільний циліндр. Таким чином, при обертальному русі істотний розподіл маси відносно осі обертання.
Про це ж свідчать і
інші досліди: чим далі від осі обертання зосереджена маса тіла, тим важче його
розкрутити при впливі постійною силою, що має те саме плече (рис. 4.14,а,б). Для
розкручування стержнів з
вантажами до кутової швидкості у
випадку рис. 4.14,б потрібен більший час, ніж у випадку рис. 4.14,а. У цих же дослідах можна показати, що при обертальному русі
тіла істотну роль грає не сама сила, а її момент: якщо перекинути нитку на шків
більшого радіуса, то розкрутити ці тіла буде легше (рис. 4.14,в).
Момент імпульсу тіла
відносно нерухомої точки визначається так само, як і для системи матеріальних
точок: , де
– імпульс
елементарної маси
, а
–
радіус-вектор цієї маси з початком у тій нерухомій точці, відносно якої
обчислюється момент імпульсу тіла.
З урахуванням сталості відстаней між точками абсолютно твердого тіла вектор
моменту імпульсу L удається позв’язати з
вектором кутової швидкості
Розглянемо, наприклад, дві однакові точкові маси , укріплені на кінцях невагомого стержня АВ (рис. 4.15).
Стержень з додатковими масами обертається з кутовою швидкістю
навколо
вертикальної осі, що проходить через середину стержня і перпендикулярну йому. У
цьому випадку
, оскільки
та
.
Істотно, що в цьому прикладі вектор , спрямований так само, як і
, хоча так буває не завжди. У цьому
можна переконатися на прикладі, показаному на рис. 4.16. Нехай система xyz жорстко зв’язана зі стержнем і повертається разом з ним. Невагомий
стержень АВ із двома масами
на кінцях жорстко закріплений
на вертикальній осі (у точці О) під деяким кутом
до неї і лежить у площині Oyz. При обертанні стержня навколо вертикальної осі з кутовою швидкістю
вектор
буде знаходитися в площині Oyz і складе кут
з віссю z.
Прямий розрахунок моменту інерції
тіла відносно осі зводиться до обчислення інтеграла де
– відстань елементарної маси
до осі обертання. При цьо
му, природно, необхідно враховувати
симетрію системи.
Для прикладу обчислимо момент
інерції кулі (у сферичних координатах рис. 4.17) відносно довільної осі,
що проходить через її центр (у даному випадку відносно осі Oz):
тут
–
маса кулі,
–
її об’єм.
Оскільки
то
отже
Для плоскої фігури моменти інерції
відносно трьох взаємно перпендикулярних осей, дві з яких лежать у площині фігури,
виявляються зв’язаними між собою простим співвідношенням. З рис. 4.18 випливає,
що
звідки
. Це співспіввідношення дозволяє
обчислити момент інерції тонкого диска маси
і
радіуса
відносно осі, що проходить через центр диска і
лежить у його площині:
оскільки момент інерції диска
відносно головної центральної осі, перпендикулярної площині диска,
а
Ця теорема пов’язує
моменти інерції відносно двох рівнобіжних осей, одна з яких проходить через
центр мас тіла.
Вісь 1 на рис. 4.19 проходить через центр мас О, вісь 2 рівнобіжна їй;
відстань між осями дорівнює
.
і
– вектори, перпендикулярні осям 1 і 2. Вони
проведені від осей у точку, де розташована елементарна маса
Момент інерції тіла відносно осі 2
.
Остання сума дорівнює
нулеві, оскільки вісь 1 проходить через центр мас, і . Якщо вісь – дотична до поверхні кулі, то можна відразу
записати, що:
У загальному випадку абсолютно тверде тіло має 6 ступенів
вільності, і для опису його руху необхідні 6 незалежних скалярних рівнянь або 2
незалежні векторні рівняння.
Згадаємо, що тверде тіло можна розглядати як систему матеріальних точок, і, отже, до нього застосовні ті рівняння динаміки, що справедливі для системи точок у цілому.
Досліди свідчать, що для зміни моменту імпульсу тіла істотна не просто сила, а її момент відносно осі обертання.
Тіло,
підвішене в точці, що не збігається з його центром мас (фізичний маятник),
починає коливатися (рис. 4.20,а). Причиною є момент сили ваги відносно точки підвісу, що повертає відхилений
маятник у положення рівноваги. Але той же маятник, підвішений у центрі мас, знаходиться
в положенні байдужної рівноваги (рис. 4.20,б).
Роль моменту сили наочно виявляється в
дослідах з «слухняною» і «неслухняною» котушками (рис. 4.21). Плоский рух цих котушок можна представити як обертання навколо
миттєвої осі, що проходить через точку дотику котушки з площиною. У залежності
від напрямку моменту сили F
відносно миттєвої осі котушка або відкочується (рис. 4.21,а), або
накочується на нитку (рис. 4.21,б).
Розглянуті досліди цілком узгоджуються з відомими законами динаміки, сформульованими для системи матеріальних точок: законом руху центра мас і законом зміни моменту імпульсу системи під дією моменту зовнішніх сил. Таким чином, у якості двох векторних рівнянь руху твердого тіла можна використовувати:
Рівняння
руху центру мас
, де
– швидкість центра мас тіла,
– сума всіх зовнішніх
сил, прикладених до тіла.
Рівняння моментів , де
– момент
імпульсу твердого тіла відносно деякої точки,
– сумарний
момент зовнішніх сил відносно тієї ж самої точки.
Ці закони слід розглядати із врахуванням двох моментів:
1. Внутрішні сили, як і у випадку довільної системи матеріальних точок, не впливають на рух центра мас і не можуть змінити момент імпульсу тіла.
2. Точку прикладання зовнішньої
сили можна довільно переміщати лінією, уздовж якої діє сила. Це випливає з
того, що в моделі абсолютно твердого тіла локальні деформації, що виникають в області прикладання сили,
у розрахунок не приймаються.
Справедливість
рівняння моментів легко перевірити з допомогою маятника Обербека та лави
Жуковського:
Кінетичну енергію тіла, що обертається легко розрахувати із
таких міркувань. Швидкість i-й частинки тіла , де
– відстань частинки до осі обертання. Тоді,
оскільки кутова швидкість обертання для всіх точок однакова, то кінетична
енергія
.
При обертанні тіла
навколо нерухомої осі ця вісь утримується в незмінному положенні підшипниками.
При обертанні незбалансованих частин механізмів осі (вали) зазнають значного
динамічного навантаження, виникають вібрації, тряска, і механізми можуть
зруйнуватися.
Якщо тверде тіло розкрутити навколо
довільної осі, жорстко зв’язаної з тілом, і звільнити вісь з підшипників, то її
напрямок у просторі, узагалі кажучи, буде змінюватися. Для того, щоб довільна вісь обертання тіла зберігала свій напрямок незмінним,
до неї необхідно прикласти певні сили. Можливі при цьому ситуації
показані на рис. 4.22.
Як обертове тіло тут використаний масивний однорідний стержень АВ, прикріплений до досить еластичної осі (зображена подвійними штриховими лініями). Еластичність осі дозволяє візуалізувати динамічні навантаження, яких вона зазнає. В усіх випадках вісь обертання вертикальна, жорстко зв’язана зі стержнем і закріплена в підшипниках; стержень розкручений навколо цієї осі і наданий сам собі.
У випадку, зображеному на рис. 4.22,а, вісь обертання для точки В стержня є головною, але не центральною, . Вісь згинається, з боку осі на стержень діє сила
яка забезпечує
його обертання. З боку стержня на вісь діє сила
урівноважена силами з боку підшипників.
У випадку рис. 4.22,б
вісь обертання проходить через центр мас стержня і є для нього центральною, але не головною. Момент імпульсу
відносно центра мас
О не зберігається й описує
конічну поверхню. Вісь складним
чином деформується, з боку осі на
стержень діють сили
і
, момент яких забезпечує збільшення
. З боку стержня на вісь діють сили
і
спрямовані протилежно силам пружності. Моменти
цих сил урівноважені моментами сил Ф
і Ф
що виникають у підшипниках.
І тільки в тому випадку, коли вісь обертання збігається з головною центральною віссю інерції тіла (рис. 4.22,в), розкручений і наданий сам собі стержень не робить на підшипники ніякого впливу. Такі осі називають вільними осями, тому що, якщо забрати підшипники, вони будуть зберігати свій напрямок у просторі незмінним.
Інша справа, чи буде це обертання стійким? Досліди показують, що обертання навколо головних
центральних осей з найбільшим і найменшим моментами інерції є стійким, а
обертання навколо осі з проміжним значенням моменту інерції – не стійкими. У
цьому можна переконатися, підкидаючи вгору тіло у вигляді паралелепіпеда, розкручене навколо
однієї з трьох взаємно перпендикулярних головних центральних осей (рис. 4.23). Вісь AA' відповідає
найбільшому, вісь BB' – середньому, а вісь CC' – найменшому моментові інерції
паралелепіпеда. Якщо підкинути таке тіло, повідомивши йому швидке обертання
навколо осі AA' або навколо осі CC', можна переконатися в тім, що це обертання
є цілком стійким. Спроби змусити тіло обертатися навколо осі BB' до успіху не
приводять – тіло рухається складним чином.
У тілах обертання стійкою виявляється вільна вісь, що відповідає найбільшому моментові інерції. Так, якщо суцільний однорідний диск підвісити до швидко обертаючого вала електромотора (рис. 4.24, вісь обертання вертикальна), то диск досить швидко займе горизонтальне положення, стійко обертаючись навколо центральної осі, перпендикулярної до площини диска.
Гіроскоп – це масивне аксіально-симетричное
тіло, що обертається з великою кутовою швидкістю навколо своєї осі симетрії.
При цьому і момент імпульсу зберігається:
. Гіроскоп
поводиться так само, як і вільне тіло обертання. У залежності від початкових умов можливі два варіанти поводження
гіроскопа:
1. Якщо гіроскоп розкручений
навколо осі симетрії, то напрямки момента імпульсу і кутової швидкості збігаються: і напрямок осі симетрії гіроскопа
залишається незмінним. У цьому можна переконатися, повертаючи підставку, на
якій розташований карданів підвіс – при довільних поворотах підставки вісь
гіроскопа зберігає незмінний напрямок у просторі. По цій же причині вовчок, «запущений»
на листі картону і підкинутий вгору, зберігає напрямок своєї осі під час
польоту, і, падаючи вістрям на картон, продовжує стійко обертатися, поки не
витратиться запас кінетичної енергії обертання.
2. Якщо вільний гіроскоп розкручений так, що
вектор миттєвої кутової швидкості і вісь симетрії гіроскопа не збігаються (як
правило, ця розбіжність при швидкому обертанні буває незначною), то спостерігається
рух типу “вільної регулярної прецесії”. Стосовно ж до гіроскопа його називають
нутацією. При цьому вісь симетрії гіроскопа, вектори і
лежать в одній площині, що обертається навколо
напрямку
з кутовою швидкістю, рівною
,
де
– момент інерції гіроскопа відносно головної
центральної осі, перпендикулярної осі симетрії. Ця кутова швидкість при
швидкому власному обертанні гіроскопа виявляється досить великою, і нутація
сприймається оком як дрібне тремтіння осі симетрії гіроскопа.
Прецесія гіроскопа під дією зовнішніх сил. Розглянемо тепер ситуацію, коли до
осі гіроскопа прикладена сила, лінія дії якої не проходить через точку
закріплення. У цьому випадку гіроскоп поводиться досить незвичайним чином.
Якщо до осі шарнірно закріпленого в точці О гіроскопа прикласти силу F (рис.4.26), то вісь гіроскопа буде переміщатися не в напрямку сили, а перпендикулярно до неї, убік. Цей рух називається прецесією гіроскопа під дією зовнішньої сили.
Дослідним шляхом
можна установити, що кутова швидкість прецесії залежить не тільки від величини
сили (рис. 4.26), але і від того,
до якої точки осі гіроскопа ця сила прикладена: зі збільшенням
і її плеча
відносно точки закріплення О
швидкість прецесії збільшується. При цьому виявляється, що чим сильніше
розкручено гіроскоп, тим менша кутова швидкість прецесії при даних
і
.
Як сила , що викликає прецесію, може
виступати сила ваги, якщо точка закріплення гіроскопа не збігається з центром
мас. Так, якщо стержень зі швидко обертовим диском закріпити в опорі (рис.
4.27), то він не опускається вниз, як це можна було б припустити, а виконує
прецесійний рух відносно вісі-опори. Спостереження прецесії гіроскопа під дією
сили ваги досить зручне – лінія дії сили автоматично зміщується разом з віссю
гіроскопа, зберігаючи свою орієнтацію в просторі.
Можна привести й інші приклади прецесії – наприклад, рух осі добре відомої дитячої
іграшки – дзиґи з загостреним кінцем. Дзиґа, розкручена навколо своєї
осі і поставлена на горизонтальну площину злегка похило, починає прецесувати навколо вертикальної осі під
дією сили ваги.
Точний розв’язок задачі про рух гіроскопа в полі зовнішніх
сил для кутової швидкості прецесії можна одержати в рамках так званої елементарної теорії гіроскопа. У цій
теорії робиться припущення, що миттєва кутова швидкість обертання гіроскопа і
його момент імпульсу спрямовані уздовж осі симетрії гіроскопа. Іншими словами,
передбачається, що кутова швидкість обертання гіроскопа навколо своєї осі
значно більше кутової швидкості прецесії: так що внеском у L, обумовлений прецесійним рухом
гіроскопа, можна знехтувати. У цьому наближенні момент імпульсу гіроскопа
дорівнює
, де
– момент інерції відносно осі
симетрії.
Отже, розглянемо важкий симетричний гіроскоп, у якого нерухома точка S (точка опори об підставку) не збігається з центром мас О (рис. 4.28).
Момент сили ваги відносно точки
S , де
– кут між вертикаллю і віссю симетрії
гіроскопа. Вектор M спрямований у площині, в якій лежать вісь
симетрії гіроскопа і вертикаль, проведена через точку S. Сила реакції опори
проходить через точку S , і
її момент відносно цієї точки
дорівнює нулеві.
Зміна
моменту імпульсу L визначається виразом
. При цьому і L,
і вісь вовчка прецесують навколо вертикального напрямку з кутовою швидкістю
З рис. 4.28 випливає, що
, або у векторному вигляді
. Тоді кінцево одержуємо наступний зв’язок між моментом
сили M,
моментом імпульсу L і кутовою швидкістю прецесії
:
. Це
співвідношення дозволяє визначити напрямок прецесії при заданому напрямку
обертання вовчка навколо своєї осі.
Звернімо увагу, що M визначає кутову швидкість прецесії, а не кутове прискорення, тому миттєве «вилучення» M призведе до миттєвого ж зникнення прецесії, тобто прецесійний рух є безінерційним.
Сила, що викликає прецесійний рух, може мати будь-яку природу. Для підтримки цього руху
важливо, щоб вектор моменту сили M повертався
разом з віссю гіроскопа. Як уже було відзначено, у випадку сили ваги це
досягається автоматично. При цьому (див. рис. 4.28): . Тоді
. Звідки слід відзначити, що
не залежить від кута
нахилу осі гіроскопа і
обернено пропорційна
що добре узгоджується з
дослідними даними.