У
кінематиці безпосередньо вирішується основна задача механіки: за відомих
початкових умов і характеру руху визначається положення тіла в будь-який момент
часу. Кінематика не відповідає на запитання:
чому рух тіла має той або інший характер, у чому причина зміни характеру руху?
Основна
задача динаміки: визначення характеру руху (прискорення) за
заданими взаємодіями. Зворотна задача: знаючи
характер руху, визначити характер взаємодії.
Ці задачі
розв’язуються системою законів Ньютона (опублікованих 1687 року у книзі
"Математичні начала натуральної філософії"). Закони Ньютона – це
узагальнення численних досліджень та спостережень, особливо Г. Галілея.
Основне
твердження механіки: зміна швидкості тіла (прискорення) завжди
викликається впливом на дане тіло яких-небудь інших тіл.
Під вільним
тілом розуміють тіло, на яке не діють інші тіла або поля. При розв’язку
деяких задач тіло можна вважати вільним, якщо зовнішні впливи маються, але вони
урівноважені. При вивченні поступального руху твердого тіла розглядається рух
центра інерції (центра мас) тіла. Так як рух відносний, то механічні задачі
можна розв’язати лише у визначених системах відліку. Тому при формулюванні
законів динаміки необхідно:
1. Задати критерій вибору системи відліку;
2. Розв’язати основну задачу;
3. Установити зв'язок між тілами, що взаємодіють.
Ще Арістотель прийшов
висновку, що для руху необхідний вплив одних тіл на інші. Дещо пізніше Галілей
довів, що зміни характеру руху тіла можливі тільки внаслідок взаємодії на нього
інших тіл. Так, у реальному житті ми діємо на тіло (прикладаємо силу) для
подолання тертя (опору). При відсутності впливів тіло буде рухатися
прямолінійно і рівномірно нескінченно довго.
Інерція – явище
збереження швидкості тілом при відсутності або компенсації зовнішніх впливів:
тобто, якщо , то
– тіло рухається прямолінійно і рівномірно,
або знаходиться у спокої.
Інертність –
властивість різних матеріальних об’єктів набувати різних прискорень при
однакових зовнішніх впливах з боку інших тіл, властива різним тілам у різному
стані. Властивість інертності показує, що для зміни швидкості тіла необхідний
час (відстань). Чим важче змінити швидкість тіла, тим воно інертніше.
Маса –
скалярна величина, що є мірою інертності тіла при поступальному русі. Чим
інертніше тіло, тим більше його маса. Визначена в такий спосіб маса називається
інертною (на відміну від гравітаційної маси, що визначається з закону
Всесвітнього тяжіння).
Дослідно легко показати, що – прискорення обернено пропорційне масі тіла,
тобто
.
Інертна маса (у рамках класичної фізики) має наступні властивості:
Одиницею маси є 1
кілограм (1 кг). Такою масою володіє еталон – платино-іридієвий циліндр
діаметром та висотою, рівними по 39 мм.
Масу тіла можна визначити:
Сила – векторна фізична величина,
що є мірою взаємодії тіл. Позначається: . За
характером взаємодії у механіці розрізняють три типи сил: пружні сили, сили
тертя та сили тяжіння. Усі взаємодії є проявами цих основних типів сил.
Приклади сил: сила ваги, сила пружності, вага тіла, сила тертя, архімедова
сила, підіймальна сила.
Сила
характеризується: величиною (модулем), напрямком та точкою
прикладання.
З досліду по взаємодії випливає, що: або
.
Величина
характеризує дію другого тіла на перше,
а величина
– характеризує дію першого тіла на друге.
Оскільки взаємодія однакова, то величину, рівну добуткові маси тіла на
прискорення, отриману в даній взаємодії, можна прийняти за міру взаємодії:
.
При цьому вектори прискорення і сили завжди направлені в одному напрямку.
Оскільки сила – векторна величина, то сили
складаються векторно (за правила паралелограма і трикутника). Складати
можна тільки сили, прикладені до одного тіла. Сила,
що дорівнює векторній сумі всіх діючих на тіло сил, називається рівнодійною .
Одиниця сили у системі СІ: – сила дорівнює 1 Н, якщо тіло масою 1 кг
набуває прискорення 1м/с2.
Сили вимірюють динамометром. Суть цього вимірювання полягає у порівнянні величини вимірюваної сили із
силою пружності пружини. Використовується лінійна
залежність між величиною сили пружності і видовженням пружини. Для
правильного виміру сили необхідно, щоб при вимірі тіла були у стані спокою або
рухалися прямолінійно і рівномірно!
Існують такі системи відліку, відносно яких тіло рухається
прямолінійно і рівномірно або перебуває у спокої, якщо на нього не діють інші
тіла або їхні дії скомпенсовані. Інше
формулювання: існують такі системи відліку, відносно яких тіло рухається прямолінійно і
рівномірно або перебуває у спокої, якщо рівнодійна всіх сил, що діють на тіло, дорівнює нулеві.
Як бачимо, 1-й закон Ньютона
визначає, у яких системах відліку виконуються закони динаміки. Усі системи
відліку , у яких виконується 1-й закон Ньютона, називаються інерціальними системами відліку. Інерціальні системи відліку володіють такими
властивостями: усі системи, що рухаються прямолінійно і рівномірно щодо даної
інерціальної, теж є інерціальними; системи, що рухаються відносно будь-якої
інерціальної системи з прискоренням, є неінерціальними.
У
реальному житті абсолютно інерціальної системи відліку не існує. Систему можна
вважати інерціальною з тим або іншим ступенем точності. Наприклад, Землю можна
вважати інерціальною системою відліку при дослідженні руху автомобіля і не
можна – при дослідженні польоту ракети (необхідно враховувати обертання).
Із досліду легко встановити, що чим більше
сила, що діє на тіло, тим більша зміна швидкості тіла, тобто прискорення – . Водночас
із поняття маси відомо, що
– прискорення обернено пропорційне масі тіла
. Таким
чином: прискорення, отримане тілом у
результаті взаємодії, прямо пропорційне рівнодійній всіх сил, що діють на тіло, і обернено пропорційне масі
тіла:
. Це і є
другий закон динаміки (Ньютона). Цей закон справедливий для будь-яких сил
будь-якої природи і стверджує, що тільки сила (рівнодійна
сил) визначає прискорення тіла. Величини швидкості і переміщення можуть бути
будь-якими в залежності від початкових умов.
Другий закон Ньютона можна
сформулювати і так: сила, що діє на тіло чисельно
дорівнює добутку маси даного тіла
на прискорення, якого набуло тіло внаслідок дії
цієї сили, тобто .
Отже, другий закон Ньютона
безпосередньо вирішує основну задачу динаміки, встановлюючи причину руху.
Другий закон Ньютона складає основу не тільки класичної механіки, але і всієї
класичної фізики.
У рамках такого підходу інертна
маса тіла може бути визначена як коефіцієнт пропорційності між силою і прискоренням, що
залишається постійним для даного тіла у відповідності з другим законом: .
Безліччю
дослідів легко переконатись:
1) ;
2) Прискорення взаємодіючих
тіл спрямовані вздовж однієї прямої у протилежних напрямках. Отже, можна
зробити висновок висновок: або
.
Будь-які два тіла
взаємодіють силами однієї природи спрямованими уздовж однієї прямої, рівними за
величиною і протилежними за напрямком.
Для сил характерні дві
основні властивості: завжди діють парами та мають одну природу. Але, сили
прикладені до різних тіл ! (F1 - до першого тіла, F2 - до другого тіла). Тому, їх не можна
складати, вони не врівноважують одна одну.
Таким чином, система законів
динаміки (закони Ньютона) випливають з дослідів. 1-й закон дозволяє відібрати
інерціальну систему відліку. 2-й закон дозволяє за відомими силами знайти
прискорення тіла. 3-й закон дозволяє пов’язати між собою тіла, що взаємодіють.
Сила, з
якою усі тіла діють на горизонтальну опору або вертикальний підвіс унаслідок
притягання Землею, називається вагою тіла.
Вага, як і
сила, отже, вимірюється в Ньютонах. [P] = Н.
Вага тіла
за третім законом Ньютона – сила, парна до сили пружності, реакції опори,
натягу нитки тощо. Значить за своєю природою вага – це сила пружності, що виникає
в опорі або підвісі. Вектор сили ваги тіла прикладений до опори або підвісу.
Отже, якщо немає опори або підвісу, то немає і ваги.
У
загальному випадку виконуються співвідношення: – другий закон Ньютона та
– третій закон Ньютона.
Отже: – це формула для розрахунку ваги тіла в
загальному випадку. У
проекціях на вісь х:
розглянемо три випадки ( рис. 3.2) P=mg – вага
тіла в стані спокою або прямолінійного рівномірного руху. P=m(g-a) – вага
тіла у випадку, коли вектор прискорення збігається за напрямком з вектором
прискорення вільного падіння. У цьому випадку сила ваги за модулем менша
сили ваги. При a=g
P=0 –
стан невагомості. Тобто, якщо тіло вільно падає, то воно не має ваги.
P=m(g+a) – вага тіла у випадку, коли
вектор прискорення протилежний до напрямку вектора прискорення вільного
падіння.
– вираз,
за яким обраховують перевантаження.
Льотчики і космонавти зазнають перевантаження в 5–7 разів. Максимальне статичне
перевантаження для людини – 13 g, динамічне
(короткотривале) – до 20 g.
Розглянемо тепер рух
тіла в інерціальній системі відліку, коли воно взаємодіє з іншими тілами. У фізиці
взаємодія систем означає передачу, якоїсь величини від
однієї системи до іншої. Зрозуміло, щоб передача цієї величини
однозначно характеризувала взаємодію, ця величина не
повинна в даного тіла змінюватися, якщо взаємодія відсутня, тобто вона повинна
змінюватися тільки внаслідок взаємодії. Іншими словами, величина, передача
якої характеризує взаємодію, повинна підкорятися законові збереження: у
замкнутій (ізольованої) системі ця величина повинна залишатися постійною в
часі. Під замкненою системою розуміють
таку, на яку не діють зовнішні сили, або їхня рівнодійна дорівнює нулю.
У механіці
взаємодія має спрямований характер. Тіло, наприклад, може одержати поштовх у
тім або іншому напрямку. Це означає, що в механіці та величина, передача якої
характеризує взаємодію між тілами, повинна мати векторний характер. Вона
називається імпульсом.
Отже, імпульс
тіла є величина, зміна якої в даного тіла є мірою його механічної взаємодії з іншими тілами. Імпульс позначається
буквою , його передача (зміна) –
.
Розглянемо
взаємодію двох тіл. До взаємодії імпульс першого тіла був , , імпульс другого тіла –
, після взаємодії перше тіло буде мати імпульс
, друге –
. Принцип передачі імпульсу означає, що зміна імпульсу
першого тіла дорівнює зміні імпульсу другого тіла, тобто, що сумарний імпульс
системи з часом не змінюється :
.
Ця рівність і
виражає закон збереження імпульсу: сумарний
імпульс замкнутої системи двох тіл до взаємодії дорівнює сумарному імпульсові
тіл після взаємодії. Імпульс тільки передається, він не виникає з
нічого і не зникає сам по собі.
Передача
імпульсу від тіла до тіла може служити мірою взаємодії. Однак сама по собі
передача імпульсу ще не цілком характеризує взаємодію в даний момент часу: вона
може здійснюватися і швидко, і повільно. Бажано ввести таку
характеристику взаємодії, що відбивала би швидкість передачі імпульсу в даний
момент часу. Такою характеристикою і є сила. Нехай за час t одне тіло передає іншому
імпульс
. Середня
швидкість передачі імпульсу за цей час визначається відношенням
.
Але якщо нас
цікавить швидкість передачі, віднесена до даного моменту часу, то варто перейти
до межі, при якій t прагне до нуля:
.
Така межа являє собою похідну від векторної функції за
часом. За визначенням вона і є силою, з якою одне тіло діє на інше.
Отже, сила – це перша
похідна від імпульсу, за часом:
=
.
Може так
статися, що дане тіло взаємодіє відразу з декількома тілами, тому зміна його
імпульсу обумовлена передачею імпульсу від декількох тіл, тобто . Тоді, для результуючої сили, одержуємо
, або
.
Отже, при впливі на дане
тіло одночасно декількох тіл сили від різних тіл геометрично складаються. Може
статися, що при взаємодії тіл діють відразу два або більше механізмів передачі
імпульсу, два або більше типів взаємодій, що підкоряються різним законам.
Наприклад, один механізм обумовлений тертям, а інший – електричною взаємодією.
Очевидно, і в цьому випадку сили, що характеризують різні механізми взаємодії,
геометрично складаються.
Тобто у фізиці усяка взаємодія має взаємний
характер: якщо тіло діє на інше тіло, то останнє діє на перше, сили взаємодії
рівні і протилежно спрямовані. Про це стверджує, як уже ми знаємо, третій закон
Ньютона.
Взаємодія тіл визначає характер їхнього руху. Це
означає, що імпульс тіла повинен бути пов’язаним зі швидкістю. Який же цей зв'язок?
Згідно з другим законом
Ньютона , але ж імпульс пов’язаний з силою
. Із порівняння останніх двох виразів приходимо до
висновку, що імпульс матеріальної точки пропорційний швидкості її руху, а
оскільки імпульс – векторна величина, то він спрямований однаково зі швидкістю,
тобто
.
Імпульс є така величина,
передача якої від тіла до тіла характеризує механічну взаємодію . Останнє має
спрямований характер, а тому імпульс є вектор.
Одиниці вимірювання імпульсу
– .
Значний внесок для розвитку ракетної техніки
мали праці російських дослідників Мещерського та Ціолковського, які вперше описали
рух тіл змінної маси. Розглянемо їх.
Нехай у деякий момент часу
ракета масою має відносно нерухомої системи відліку
швидкість
, тобто
має імпульс
. За
проміжок часу
ракета викидає гази масою
зі швидкістю відносно тієї ж
системи
. В момент викидання газу масою
між ним та
ракетою виникає реактивна сила
, яка для системи ракета-газ є внутрішньою. Знайдемо
зміну імпульсу системи за час
.
Імпульс системи в момент
часу після
викидання газу масою
складатиметься з імпульсу
ракети, швидкість якої збільшилась на
–
та з імпульсу частинок газу
–
. Отже, загальний імпульс
+
. Тоді зміна імпульсу, яка дорівнює імпульсу
зовнішніх сил, що діють на ракету (сила тяжіння, сила опору тощо)
, або
+
–
=
.
Виконавши математичні
перетворення, вважаючи добуток нескінченно малою величиною,
одержимо
,
або розділивши на :
.
У цьому рівнянні – це
швидкість ви кидання частинок газу відносно ракети. Отже, кінцево й маємо
рівняння Мещерського:
.
Останній вираз дуже схожий
на вираз для другого закону Ньютона, але слід пам’ятити, що – у даній задачі – величина
змінна. Другий доданок у правій частині рівності називають реактивною силою з
якою частинки газу масою
діють на масу
ракети при вилітанні.
Ціолковський, скориставшись
рівнянням Мещерського, розв’язав його, розглядаючи рух ракети вертикально
вгору, вважаючи що дія зовнішніх сил зводиться в основному до дії сили земного
тяжіння, тобто . Тоді рівняння можна розв’язати так:
, домноживши на
, маємо
.
Якщо швидкість змінюється в межах , а маса
, то це й будуть межі інтегрування останнього
виразу:
, або
і є так званним рівнянням Ціолковського.
Взаємодія між тілами може мати не тільки
механічний характер. І якщо говорити про взаємодію тіл у більш широкому змісті,
то природно допустити, що вона характеризується передачею ще якоїсь величини,
яка має скалярну природу, оскільки взаємодія тіл може мати і ненаправлений
характер. Дійсно, у природі мається така величина. Вона називається енергією.
Отже, енергією
називається скалярна величина, передача якої від тіла до тіла є універсальною
мірою їхньої взаємодії
як механічного, так і немеханічного.
Як і імпульс, енергія є деяка функція
параметрів стану тіла. Тільки імпульс залежить від одного параметра стану руху,
від швидкості тіла, енергія ж, будучи універсальною мірою взаємодії, може
залежати від багатьох параметрів, що характеризують і зовнішній, і внутрішній
стан тіла. У цьому розумінні енергія представляє більш складне поняття, ніж
імпульс. Однак обидві ці величини підкоряються законові збереження, тобто якщо
взаємодія відсутня, то й енергія, і імпульс повинні залишатися постійними.
Навпаки, якщо імпульс або енергія в тіла змінюються, то це означає, що дане
тіло взаємодіє з іншими і зміна імпульсу або енергії обумовлена винятково
передачею цих величин від одного тіла до іншого.
Як бачимо, питання про енергію не можливо
цілком освітити, залишаючись у межах тільки механіки. Неминуче приходиться
вийти за її межі. Що віднести до параметрів стану? Очевидно, усі ті величини,
що характеризують усілякі зв’язки і відносини тіла з іншими тілами, а також
зв’язок частин тіла усередині його. Це – швидкості (лінійна і кутова ),
координати, що визначають положення тіла серед інших тіл, з якими дане тіло
знаходиться в зв'язку (наприклад, висота тіла над поверхнею Землі), параметри
деформації, температура T і об’єм, параметри, що визначають хімічний склад
тіла, його електричний заряд, струми, що протікають у ньому і т.д. Тому, якщо
формула для імпульсу була простою, то формула для енергії може бути складною,
залежною від багатьох параметрів стану, наприклад: .
У багатьох практичних випадках складається
так, що енергія тіла “розпадається” на доданки , кожен з яких залежить від
одного або декількох параметрів, тобто .
У цьому випадку можна сказати, що енергія тіла або фізичної системи
“розпадається” на види , кожний з яких представлений визначеним членом у сумі
енергій. Так, два перших члени і
представляють кінетичну
енергію для поступального й обертального руху тіла відповідно,
–виражає потенціальну
енергію тіла в полі тяжіння і т.д.
Той факт, що енергію можна представити як суму енергій різних видів,
дозволяє дивитися на закон збереження енергії, як на закон збереження і
перетворення енергії: енергія не тільки передається
від тіла до тіла, але і перетворюється з одного виду в інший.
Наприклад, при коливаннях важкого маятника спостерігається взаємне
перетворення кінетичної енергії маятника і
потенціальної енергії сочевиці цього маятника mgh у полі
тяжіння. Якщо тіло підвішене на пружині і робить вертикальні коливання, то в
перетвореннях беруть участь три види енергії: кінетична
, потенціальна в полі тяжіння mgh і
потенціальна енергія деформації пружини
. При наявності тертя механічна енергія (кінетична і
потенціальна) поступово переходять у внутрішню енергію тіл. Можливі й інші,
більш складні перетворення енергії.
Одиницею будь-якого виду енергії є 1 Джоуль – [1 Дж].
При усіляких взаємодіях
енергія передається від одних тіл до інших. У випадку якщо тіло ізольоване,
його енергія залишається постійною в часі. Існують дві форми передачі енергії
від одного тіла до іншого: робота і теплопередача.
Роботою
називається та форма передачі енергії, що супроводжується передачею імпульсу. Всяка
інша форма передачі, що не супроводжується силовим впливом, називається теплопередачею.
Передана в процесі роботи
енергія також називається роботою, а передана в процесі теплопередачі енергія називається
кількістю теплоти. Таким чином, робота і кількість теплоти – родинні поняття.
Те й інше виражає собою передану енергію (а не енергію, що утримується в тілі),
але тільки передану різними способами.
Проаналізуємо
поняття роботи. Отже, робота є насамперед зміною енергії тіла. З визначення
роботи випливає основна формула, на яку часто доводиться спиратися в
розв’язуванні задач:
.
Припустимо, що на точкове тіло А
діє сила F. Тіло рухається певною
траєкторією і за якийсь час dt
переміщується на dl (рис.3.3).
Запишемо рівняння руху тіла відповідно до другого закону Ньютона: . Помножимо скаляpно обидві частини цього рівняння
на вектор dl. Одержимо рівняння
. Перетворимо праву частину рівняння, приймаючи до
увагу, що dl/dt є швидкість тіла. Запишемо
ланцюг очевидних рівностей:
.
Таким чином, початкове рівняння прийме вигляд
. Тут скалярний добуток Fхdl представлений
як добуток модулів векторів, що перемножуються, на косинус кута між ними.
Вираз у правій частині називається зміною кінетичної енергії. Вираз у
лівій частині має нескінченно мале збільшення, обумовлене саме силою. Це є елементарна
робота. Отже, для елементарної роботи можна записати: . Ця формула показує, що елементарна робота,
виконана за рахунок елементарного переміщення точки, до якої прикладена сила і
дорівнює скалярному добуткові сили на це переміщення.
Остання формула дозволяє
знайти елементарну роботу при елементарному переміщенні тіла. А як обчислити
повну роботу точки на деякій траєкторії? Для цього потрібно розбити ділянку
траєкторії, на якій обчислюється робота, на елементарні ділянки, як показано на
рис. 3.5.
На кожній малій ділянці знайдемо
йому відповідну елементарну роботу. Щоб знайти всю роботу на ділянці, потрібно
скласти елементарні роботи. Однак таке додавання – це додавання нескінчено
малих величин і називається інтегруванням. Звідси, робота на певній ділянці
траєкторії тіла L може бути представлена у
вигляді інтеграла: .
Іноді інтерес представляє робота
сили, виконана в одиницю часу – вона називається потужністю
сили. Якщо за час dt точка
зазнає переміщення dl і робота
дорівнює то потужність
сили буде визначатися виразом
. Потужність сили дорівнює скалярному добуткові сили
на швидкість переміщення.
Одиницею вимірювання потужності є 1 Ватт –
Поняття потенціальної енергії – збірне. Воно
включає поняття зовсім різних за фізичною суттю видів енергії, що володіють
деякою загальною формальною ознакою. Установимо цю ознаку. Вважатимемо, що
енергія тіла складається лише з кінетичної енергії, тобто одержимо рівність . /1/.
Припустимо, що тіло знаходиться в деякому полі сил, тобто кожній точці простору
відповідає деяка сила F, що є
функцією координат положення тіла: F=F(x,y,z)
. Припустимо також, що кожній точці в просторі відповідає значення
потенціальної енергії, що також є функцією координат Еп(x,y,z) і яка
характеризує дане поле сил F(x,y,z). Тоді рух
тіла в полі сил буде підкорятися законові збереження енергії:
/2/.
Якщо при русі тіло перейшло із точки 1(x1,y1,z1) у точку
2(x2,y2,z2), то той же закон
збереження енергії можна представити формулою: /3/.
Але енергія на початку руху дорівнює енергії наприкінці руху, або,
зробивши перегрупування членів цього рівняння, запишемо той же закон у вигляді /4/.
Зіставляючи формули /1/ і /4/, можна записати: /5/. Із цього виразу слідує: якщо
поле сил допускає введення потенціальної енергії, то її збільшення при переході
тіла з однієї точки в іншу дорівнює роботі сили з оберненим знаком.
Для потенціальної енергії існує певна
неоднозначність у її визначенні, яка пов’язана з тим, що нуль потенціальної
енергії вибирається в довільному місці.
Повернемося до визначення потенціальної енергії. Як видно з останньої
рівності, не для кожного поля сил можна ввести потенціальну енергію. Адже тіло
може перейти з першої точки в другу різними траєкторіями (рис. 3.6). Визначення
тільки тоді буде несуперечливим, коли для будь-яких переходів інтеграл праворуч
у /5/ буде той самий. Саме тут і виявляється та формальна ознака сил, що дозволяє
ввести поняття потенціальної енергії. Потенціальну енергію можна ввести тільки
в такому полі сил, у якому робота сили між двома будь-якими точками не залежить
від форми шляху. Сили, робота яких між двома
будь-якими положеннями тіла не залежить від форми шляху, називаються
консервативними. Таким чином, потенціальну енергію можна ввести
тільки для консервативних сил. Приведемо приклади неконсервативної і консервативної
сил. Усі сили тертя є неконсервативними (сили тертя називаються дисипативними,
від слова “дисипація”, що означає “розсіювання” енергії в навколишнє
середовище). Зовсім очевидно, що робота сили тертя залежить від форми шляху,
тому що вона завжди залежить від довжини шляху.
Робота
сили ваги не залежить від форми шляху, і тому поле тяжіння є поле
консервативної сили. Доведемо це. Нехай тіло під дією сили ваги переміщається з
точки 1 у точку 2. Знайдемо роботу при його переміщенні на dl.
З рис. 3.7 бачимо, що
. Отже, робота сили ваги
.
Як бачимо, потенціальна
енергія не залежить від форми шляху.
До механічних видів енергії відносять
два види: кінетична і потенціальна, хоча потенціальна енергія може мати різну
природу. Можна знайти випадки руху, коли механічна енергія не переходить в інші
види енергії, зокрема у внутрішню енергію тіла. Як правило, ці випадки
пов’язані з достатньо малим значенням тертя того або іншого типу. У цих
випадках можна говорити про закон збереження механічної енергії. При збереженні
механічної енергії спостерігається або перехід енергії з кінетичної форми в
потенціальну і назад, або перехід механічної енергії від одного тіла до іншого.
Наприклад, при русі тіла в полі тяжіння спостерігається тільки перехід однієї
механічної форми енергії в іншу, а при пружному зіткненні тіл спостерігається і
перехід енергії з кінетичної форми в потенціальну енергію пружних деформацій, і
передача енергії від одного тіла до іншого. У загальному вигляді закон
збереження механічної енергії для системи тіл записується як: .
Сума механічних форм енергії замкнутої консервативної
системи з часом залишається постійною. При цьому потрібно
пам'ятати завжди, що закон збереження механічної енергії дотримується лише за
умови, що механічна енергія не переходить в інші види енергії, що, зокрема,
тертя в системі несуттєве і ним можна знехтувати. Як уже згадувалося системи, у
яких ця умова дотримується, називаються консервативними. У даному
відношенні закон збереження енергії в механіці відрізняється від закону
збереження імпульсу: імпульс завжди зберігається в замкнутих системах, тоді як
механічна енергія – не завжди, а тільки в консервативних системах.
Моментом імпульсу матеріальної точки відносно
деякої точки О називається векторний добуток радіус-вектора на її імпульс : (рис.3.8а).
Якщо
на матеріальну точку діє сила , то момент сили
відносно точки О – це векторний добуток радіус-вектора на вектор
сили:
. Встановимо зв’язок між
та
. Продиференцюємо за часом
:
.
Оскільки
, то перший доданок дорівнює нулю. Другий доданок
згідно означення – момент сили. Отже,
– похідна за часом моменту імпульсу матеріальної
точки відносно нерухомої точки дорівнює моментові діючої сили відносно тієї
самої точки. Останній вираз називають рівнянням
моментів.
Розглянемо обертальний рух
точки масою m колом радіуса r
під дією сталої сили F (рис.3.9). Виходячи із
другого закону Ньютона: , але
, тобто
. Якщо на точку діє сила, то момент цієї сили
. Так, як точка рухається колом, то кут між
векторами
та
дорівнює 90о, тоді останній
вираз у скалярній формі запишемо у вигляді
. У цьому виразі добуток маси матеріальної точки на
квадрат відстані до осі обертання називається моментом
інерції матеріальної точки, тобто
.
Момент інерції є мірою
інертності в обертальному русі матеріальної точки. Одиницею вимірювання моменту
інерції в СІ є .
З рівняння моментів слідує, що результуючий
момент сил дорівнює швидкості зміни моменту імпульсу.
Аналогічне співвідношення ми одержували при розгляду динаміки поступального
руху, коли результуюча сила дорівнювала швидкості зміни імпульсу матеріальної точки
. Якщо
, то ми приходили висновку, що
. Міркуючи аналогічно про обертальний рух, якщо
момент усіх зовнішніх сил дорівнює
, як результат одержимо
. Це рівняння й виражає закон збереження імпульсу
матеріальної точки відносно нерухомої точки (осі).
Оскільки , то
. Тоді, якщо
. Це ще один із записів закону
збереження моменту імпульсу матеріальної точки відносно нерухомої точки. Отже, момент імпульсу системи залишається незмінним, коли
результуючий момент сил дорівнює нулеві.